707 (04), Des Jeux, le 7 décembre 2020

01. Une boîte à billets

Enoncé

Dans une boîte en fer blanc, Jean a placé 10 billets de 5 €uros, 10 billets de 10 €uros et 10 billets de 20 €uros, tous mélangés.

Sans regarder, il pioche un par un les billets jusqu'à ce qu'il en ait trois semblables (de même valeur).

Combien d'€uros peut-il espérer au maximum ? et au minimum ?

Calcul

Avec beaucoup de chance, il peut sortir 2 billets de 5, 2 billets de 10 et 3 billets de 20 €, ce qui lui rapporte : 5.2 + 10.2 + 20.3 = 90 €.
Avec beaucoup de malchance, il peut sortir 3 billets de 5 €, ce qui lui rapporte : 5.3 = 15 €

Résultat

Il peut espérer 90 € au maximum et 15 € au minimum.

02. Poids d'un nombre

Enoncé

Si le poids d'un nombre est égal à la somme de ses chiffres, quel plus petit nombre pèsera 25 ?

Calcul

Parmi les nombres de deux chiffres, celui qui a le poids le plus élevé est 99 avec un poids égal à 9 + 9 = 18. Pour aller à 25 il faut ajouter un chiffre des centaines égal à 25 - 18 = 7. Le nombre recherché est : 799.

Résultat

Le plus petit nombre qui a un poids de 25 est 799.

03. Enigme des papous

Enoncé

Sur cette île, il y a 2 fois plus de papous pas papas que de papous papas. Il y a 3 fois plus de papoux à poux que de papous pas à poux, et 6 fois plus de papoux pas papys que de papous papys. Enfin, il y a 27 papous pas papys de plus que de papoux à poux.

Combien y a-t-il de papous sur cette île ?

Calcul

Résultat

Il y a 252 papous sur cette île.

04. L'énigme des trois pots

Enoncé

Vous avez 3 pots (dont on ne peut voir le contenu) qui contiennent 2 billets de 10 €uros (1^er pot), 2 billets de 20 €uros (2^ème pot) et 1 billet de 10 + 1 billet de 20 €uros (3^ème pot). Devant chaque pot est posée une étiquette indiquant le montant contenu (20, 30 ou 40 €uros).

Un petit malin mélange les étiquettes de façon à ce que le montant de chaque étiquette ne corresponde pas à la somme contenue dans chaque pot.

En tirant un billet dans un pot, comment déduire le contenu de chaque pot ?

Calcul

Résultat

On ne peut connaître le contenu des trois pots qu'en tirant un billet de celui qui accompagne l'étiquette 30 €, et , s'il s'agit d'un billet de 10, ce pot de l'étiquette 30 contient 10 + 10, le pot de l'étiquette 20 contient 20 + 20 et le pot de l'étiquette 40 contient 10 + 20. Par contre si on a sorti un billet de 20, ce pot de l'étiquette 30 contient 20 + 20, le pot de l'étiquette 20 contient 10 + 20 et le pot de l'étiquette 40 contient 10 + 10.

05. Hoquet au parc

Enoncé

Dans un parc verdoyant, le Père Hoquet regarde quatre écureuils de couleurs différentes. Chacun ressemble à un gros animal et regarde dans un sens.

Couleurs : brun, gris, roux, vert
Ressemblance : jaguar, lion, ours, tigre
Sens ; au ciel, à terre, à gauche, à droite

1. L'écureuil vert ne regarde ni à terre ni au ciel.
2. Celui qui ressemble à un jaguar regarde vers le ciel.
3. Celui qui ressemble au lion n'est ni l'écureuil roux ni le gris.
4. L'écureuil brun regarde à droite.
5. L'écureuil vert ne ressemble ni à un tigre ni à un jaguar.
6. Celui qui regarde à gauche ne ressemble pas au lion.
7. L'écureuil gris ne ressemble pas au jaguar.

Déterminez à qui ressemble chaque écureuil et dans quel sens chacun regarde-t-il ?

Calcul

Résultat

Ecureuil brun, lion, à droite --- Gris, tigre, à terre --- Roux, jaguar, au ciel --- Vert, Ours, à gauche.

06. Clémentines

Enoncé

Nous sommes 7 copains. On a 28 clémentines à se partager. Chacun veut un nombre impair.

Comment faire ?

Calcul

Voir 613.19

On ne peut pas obtenir un nombre pair en ajoutant un nombre impair de nombres impairs.

Résultat

Il n'y a pas de solution.

07. Les cloches

Enoncé

Les cloches mettent 12 secondes pour sonner quatre heures. Combien mettront-elles de temps pour sonner midi ?

Calcul

Il y a 3 intervalles pour sonner 4 coups et 11 intervalles pour sonner 12 coups --- 12 x 11 / 3 = 44.

Résultat

Il faut 44 secondes pour sonner midi.

08. Tom et Jerry

Enoncé

Une souris est à 20 pas de son trou. Un chat est à 5 bonds de la souris. Pendant que le chat fait un bond, la souris fait 3 pas. Un bon de chat a la même longueur que 10 pas de la souris. Le chat rattrapera-t-il la souris ?

Calcul

Résultat

Le chat ne rattrapera pas la souris. Mais cela n'est vrai que si le chat est parfaitement opposé au trou par rapport à la souris.

09. Les dés pipés

Enoncé

Innumeratus et Mathophila, les jumeaux terribles, s'ennuient. "J'ai une idée ! s'écrie Mathophila. Jouons aux dés !" - J'aime pas les dés.
"Oui, mais ceux-ci ne sont pas comme les autres", dit Mathophila en sortant trois dés d'une vieille boîte de chocolats. L'un est rouge, l'autre jaune et le troisième bleu.
Innumeratus se saisit du rouge. "Tiens, c'est bizarre, observe-t-il. Il y a deux 3, deux 4 et deux 8".
Ils sont tous comme ça, dit Mathophila avec un haussement d'épaules. Le jaune a deux 1, deux 5 et deux 9, et le bleu a deux 2, deux 6 et deux 7.
Ils sont truqués tes dés ! fait Innumeratus d'un air soupçonneux.
Absolument pas. Toutes les faces ont la même chance d'être tirées.
Comment on joue ?
Chacun choisit un dé. On les lance en même temps, et celui qui a tiré le chiffre le plus élevé a gagné. On peut jouer pour des sous !"
Comme Innumeratus reste sceptique, sa sœur s'empresse d'ajouter : "Je suis bonne joueuse, je te laisse choisir le premier ! Comme ça, tu peux prendre le meilleur dé ...
Euh ... Ben ...", fait Innumeratus, hésitant.

Doit-il jouer ? Sinon pourquoi ?

Calcul

Chacun des trois dés a des chances de gagner identiques. Par contre le premier dé étant choisi, l'adversaire a le choix.

Résultat

Innumeratus ne doit pas jouer, car c'est le 2^ème qui a plus de chances de gagner.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. L'oliveraie

Enoncé

Doumé, un ami corse, décida après une brillante carrière dans le trading haute fréquence, de changer de vie pour retrouver les valeurs vraies.

Héritier d'un beau terrain familial dans le maquis avoisinant le village de ses ancêtres, il décida de se lancer dans la culture des oliviers pour tuer l'oisiveté. Il planta un olivier par m² sur les 2534 m² de son terrain, pour en faire vente à Jardiland, chez qui un ami trader c'était lui aussi recyclé pour se rapprocher de la nature.

L'affaire marcha très bien, au point que rapidement le terrain familial devint trop petit. Doumé décida de voir plus grand, beaucoup plus grand, comme il a toujours fait.

Il acheta donc le grand domaine attenant à son terrain, dénouant à l'occasion une indivision séculaire entre 283 héritiers. Ce domaine, carré parfait d'un nombre entier de mètres de côté, lui coutât 6 € du m² et lui permit d'augmenter considérablement sa production, à raison toujours d'un olivier par m², mais désormais sur les deux terrains.

Un jour malheureusement, il découvrit un olivier atteint par la Xylella Fastidiosa. Le nom est sympa, mais impossible de lutter contre cette bactérie tueuse. "Encore un cadeau des italiens", disait Doumé. Et à partir de là, une descente aux enfers. Chaque semaine, il constatât que le nombre de nouveaux oliviers touchés par la bactérie doublait par rapport au nombre de nouveaux oliviers touchés la semaine précédente, si bien qu'au bout d'un nombre pair de semaines, le dernier doublement fit (exactement) que tous les oliviers des deux terrains étaient atteints, sans espoir de rémission ... "Beaucoup plus douloureux que la crise des subprimes" se lamentait Doumé devant son domaine ravagé ...

Au fait, combien lui avait-il coûté ?

Calcul

La somme des surfaces des deux terrains est une puissance de 2 avec un exposant pair.
Si on retire la surface du premier terrain (celui hérité), on obtient la surface du deuxième terrain, celui qui est acheté.
Ce terrain acheté est un carré parfait.

A 6 € le m² --- Le terrain acheté vaut : 6 x (251² - 2534) = 362 802.

Résultat

Le terrain acheté lui a coûté 362 802 €.

12. La course de fond

Enoncé

Deux athlètes disputent, au cours d'un match international, une course de fond. L'un accomplit tout le parcours à une vitesse uniforme de 360 mètres à la minute. L'autre part très vite et couvre la première moitié de la distance à la vitesse de 400 mètres à la minute, puis il faiblit et couvre la dernière moitié à la vitesse de 320 mètres.

Lequel des deux arrivera le premier ? Sachant que la différence des temps est 20 sec 9/10, de quelle épreuve s'agit-il ?

Calcul

Résultat

C'est le premier athlète, celui qui coure à vitesse constante, qui arrivera la premier. Il s'agit d'une épreuve de 10 000 mètres.

13. Opération sur des nombres

Enoncé

Avec deux nombres entiers non nuls on effectue successivement les quatre opérations suivantes :

L'addition des quatre résultas ainsi obtenus donne 243. Quels sont ces deux nombres ? (Deux solutions possibles).

Calcul

Résultat

Solution 1 : a = 54 et b = 2 ; Solution 2 : a = 24 et b = 8.

14. Jeu de dés

Enoncé

Lançons trois dés : un jaune, un vert, un rouge. Si cela donne au moins deux fois le même nombre, vous avez gagné. On parie chaque fois 1 €uro chacun. On joue 36 fois.

Qui va s'enrichir, vous ou moi ?

Calcul

Le 2^ème dé a 5 chances sur 6 d'être différent du premier.
Le 3^ème dé a 4 chances sur 6 d'être différent des deux précédents.
Globalement au cours d'un lancer de trois dés il y a 20/36 = 5 chances sur 9 que tous les trois soient différents et donc que le prof gagne.
L'élève a 1 - 5/9 = 4/9 chances de gagner au cours d'un lancer.
En cumulant 36 lancers des dés, pour connaître les probabilités de gain il faut utiliser la loi binomiale.
Sur 36 épreuves à 2 issues (succès du prof = 5/9, ou bien succès de l'élève = 4/9), la probabilté de gagner 1 fois, 2 fois ... k fois est donnée par la formule 36!/k!/(36 - k)!
Ensuite on cumule les résultats pour k de 0 à 17 cela donne la probabilité que le prof perde. On cumule les résultats pour k de 18 à 36, ce qui aboutit aux chances de gain du prof. La valeur pour k = 18 est celle de l'égalité des gains du prof et de l'élève.

Résultat

C'est le prof qui s'enrichit. Sur 36 lancers, l'élève gagne 0,2005 fois (sur 1), il y a égalité 0,1056 fois et le prof gagne 0,6939 fois.

15. Points entiers à trouver sur une courbe

Enoncé

Quels sont les points à coordonnées entières de la courbe d'équation
x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y² ?

Calcul

Il s'agit d'un produit de facteurs qui s'annule lorsqu'un des facteurs est nul.
La racine du produit est également nulle.
On a donc déjà 4 coordonnées entières : (0, 0) ; (-1, 0) ; (-7, 0) et (-8, 0).
Ensuite l'ordonnée est entière si le produit est un carré parfait.
Il est à remarquer une symétrie possible. Faisons un changement de variable avec,
x' = x + 4 --- ou --- x = x' - 4. La fonction devient :
y² = (x' - 4)(x' - 3)(x' + 3)(x' + 4)
Avec x" = -x' --- On a y² = (-x" - 4)(-x" - 3)(-x" + 3)(-x" + 4 )
y² = (-1)(x" + 4)(-1)(x" + 3)(-1)(x" - 3)(-1)(x" - 4) = (x' - 4)(x' - 3)(x' + 3)(x' + 4)
On a encore --- y² = (x'² - 16)(x'² - 9) = x'⁴ - 25x'² + 144
La symétrie est démontrée, on peut étudier les réponses à partir de x' = 0
A remarquer la discontinuité pour 3 < x' < 4. C'est à dire pour -8 < x < -7 et -1 < x < 0
Dans cette plage y² est négatif, donc y est un nombre complexe.

Question : est-ce qu'il peut y avoir d'autres carrés parfaits de y² pour les valeurs supérieures de x' ?

La racine carrée de y² semble tendre vers un double impair. Je suppose que cela se démontre. Je ne sais pas faire. Il n'y a pas d'autre carré parfait.

Résultat

Il y a 7 points à coordonnées entières : (-9, 12) ; (-8, 0) ; (-7, 0) ; (-4, 12) ; (-1, 0) ; (0, 0) et (1,12).