Exercices supplémentaires pendant le 2ème confinement.
01. Nénuphar d'Indonésie
Enoncé
Un certain nénuphar d'Indonésie a la particularité de doubler sa surface chaque jour. Il se trouve qu'un spécimen de cette espèce a recouvert la
moitié de la surface d'un étang en 50 jours.
Combien de temps, encore, lui faudra-t-il pour recouvrir la totalité de la surface de l'étang ?
Calcul
Voir : 511.16
Résultat
La dernière moitié de l’étang sera recouverte en 1 jour.
02. Voyage à St-Lin
Enoncé
L
I
N
+
L
I
N
+
L
I
N
=
I
B
L
N
Lors d'un voyage à St Lin, Clin d'œil a écrit l'addition ci-contre. Chaque lettre correspond à un chiffre différent des autres. Ainsi L
pourrait valoir 2, I pourrait valoir 6 et N pourrait valoir 3. Mais, ce n'est pas le cas pour ces lettres.
Quel est le plus grand nombre qui correspond à LIN ?
Calcul
7
2
5
+
7
2
5
+
7
2
5
=
2
1
7
5
Valeur de N
Le chiffre des unités de 3N est égal à N : N = 5 ; 3N = 15 ; retenue : 1
A partir de I = 3 la retenue r2 est différente de I
Essai avec I =
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
L = unités de 3I + 1
1
4
7
0
3
6
9
2
5
8
r1 = retenue 1
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
B = unités de 3L + r1
3
2
1
1
0
9
8
8
7
6
I = retenue 2
0
1
2
0
1
1
2
0
1
2
Remarque
Oui
Oui
Oui
I <> I
I <> I
I <> I
I <> I
I <> I
I <> I
I <> I
On n'aurait pas du essayer les valeurs de I supérieures à 3, car la retenue de l'addition de 3 chiffres vaut 2 au maximum.
Résultat
La plus grande valeur de LIN est 725.
03. Léo choisit un nombre
Enoncé
Le premier chiffre a deux unités de moins que le troisième. Le deuxième chiffre à six unités de moins que le troisième. Le troisième est le
triple du deuxième.
Quel est ce nombre ?
Calcul
Le nombre est abc (100a + 10b + c)
a = c - 2
b = c - 6
c = 3b
b = 3b - 6
b = 3
a = 3b - 2
a = 7
c = 9
Résultat
Ce nombre est 739.
04. Poètes français
Enoncé
Quatre poètes ont donné à la littérature française des œuvres de grande valeur.
Ces poètes sont : Baudelaire, Mallarmé, Rimbaud, Verlaine.
Leurs années de naissance sont : 1821, 1842, 1844, 1854.
Leurs lieux de naissance sont : Charleville, Metz, Paris.
L'aîné des quatre n'est pas Mallarmé.
Rimbaud et Verlaine ne sont pas originaires de Paris.
Le poète de Metz n'est pas né le premier.
Rimbaud est né plus tard que Baudelaire.
Aucun des deux poètes originaires de Paris n'est né en 1844.
Mallarmé et Verlaine ne sont pas nés en 1854.
Verlaine n'est pas né à Charleville.
Trouvez l'année de naissance de chaque poète.
Calcul
Poètes
Baudelaire
Mallarmé
Rimbaud
Verlaine
Date de naissance
g : 21
1 : pas 21
4 : pas 21
3 : pas 21
e : pas 42
e : 42
e : pas 42
e : pas 42
5 : pas 44
5 : pas 44
f : pas 44
f : 44
g : pas 54
6 : pas 54
4 : 54
6 : pas 54
Lieu de naissance
c : pas C
c : pas C
c : C
7 : pas C
b : pas M
b : pas M
b : pas M
a : M
d : P
d : P
2 : pas P
2 : pas P
1 : Mallarmé n'est pas né en 21
2 : Rimbaud et Verlaine ne sont pas nés à Paris
6 : Mallarmé et Verlaine ne sont pas nés en 54
7 : Verlaine n'est pas né à Charleville
a : Reste verlaine né à Metz
b : Donc Baudelaire, Mallarmé et Rimbaud ne sont pas nés à Metz
c : Donc Rimbaud est né à Charleville et Baudelaire et Mallarmé ne sont pas nés à Charleville
d : Donc Baudelaire et Mallarmé sont nés à Paris
3 : Verlaine (de Metz) n'est pas né en 21
5 : Baudelaire et Mallarmé (de Paris) ne sont pas nés en 44
e : Donc Mallarmé est né en 42 et Baudelaire, Rimbaud et Verlaine ne sont pas nés en 42
f : Verlaine est né en 44 et Rimbaud pas en 44
4 : Entre 21 et 54, le plus jeune, Rimbaud, est né en 54, donc pas en 21
g : Baudelaire est né en 21 et pas en 54
Résultat
Baudelaire est né en 1821 ; Mallarmé en 1842 ; Rimbaud en 1854 et Verlaine en 1844.
05. Quel âge ont-elles ?
Enoncé
Voici une histoire :
Le Maire et le Shérif d'une petite ville de Californie se promènent dans la rue. Ils croisent trois personnes. Le Shérif dit au Maire :
"La somme des âges de ces 3 personnes est égale au double du vôtre et leur produit est 2450. Pouvez-vous calculer les âges de ces trois
personnes ?"
Le Maire fait quelques calculs, puis il répond :
"Je ne peux pas trouver. Il me manque une donnée !"
Le Shérif approuve :
"En effet, j'ajoute que je suis plus âgé que l'ainée de ces trois personnes."
Le Maire conclut alors :
"D'accord, maintenant j'ai trouvé !"
Voici un petit problème :
Les âges de tous les personnages de cette histoire sont des nombres entiers.
Quels sont les âges de ces cinq personnes ?
Ce problème étant long à résoudre, on traitera le problème suivant qui est similaire mais plus simple. Vous pourrez résoudre le problème
ci-dessus chez vous !
Un troubadour rencontre un colporteur de ses amis et lui demande quel âge ont, maintenant, ses trois filles. Le colporteur lui répond que
le produit de leurs âges est égal à 36. Le troubadour, interloqué, lui indique que cette réponse n'est pas suffisante. Le colporteur poursuit
en lui disant que la somme de leurs âges est égale au nombre de personnes qu'il y a dans l'hôtellerie où ils se trouvent. Le troubadour compte
le nombre de personnes et dit : "Je ne peux toujours pas répondre". Alors, le colporteur ajoute : "l'ainée est blonde". "Ah ! Bon, maintenant,
je sais" conclut le troubadour.
Comment le troubadour a-t-il réussi à trouver les âges des trois filles du colporteur et quels sont ces âges ?
Calcul
voir 501.13 ; 601.13 ; 511.17 et 512.03
36 = 22 x 32
Liste des facteurs : 1, 2, 2, 3, 3
Liste de produits partiels possibles, c’est-à-dire des âges et leur somme :
1 + 1 + 36 = 38
1 + 2 + 18 = 21
1 + 3 + 12 = 16
1 + 4 + 9 = 14
1 + 6 + 6 = 13
2 + 2 + 9 = 13
2 + 3 + 6 = 11
3 + 3 + 4 = 10
Le troubadour connait le nombre de personnes qu’il y a dans l’hôtellerie. S’il ne peut pas conclure c’est qu’il arrive sur deux solutions qui
donnent toutes les deux la même somme, en l’occurrence 13. Il y a donc soit deux ainées de 6 ans et une de 1 an ou bien une ainée de 9 ans et deux
cadettes de 2 ans. La dernière affirmation indique qu’il n’y a qu’une ainée.
Résultat
Les âges des trois personnes rencontrées sont 5, 10, 49 ans. Celui du Maire est 32 ans et celui du Shérif 50.
Les âges des trois filles du colporteur sont : 9, 2 et 2 ans.
06. Code de Paul
Enoncé
E
F
G
H
A
B
C
D
Paul dessine une grille 4 x 4. Dans chaque case, il doit inscrire une figure. Les figures sont données tout à droite pour chaque ligne et
pour chaque colonne, pas nécessairement dans l'ordre.
Remplissez la grille. Quel symbole est dans la case AH ?
Calcul
Les figures en exemplaire unique trouvent leur place : triangle noir en BF ; 2ème triangle noir en DE ; il reste carré jaune en AE ;
En colonne G il reste deux ronds marrons qui vont en AG et DG ; rond noir en DH ; En AF le seul commun est un rond noir ;
Carré jaune en CF ; rond marron en CH ; carré jaune en AH
Résultat
La case AH reçoit un carré jaune.
07. Œil de lapin
Enoncé
Œil de lapin, c'est son surnom, est gérant d'une épicerie. Un bon matin, il note quil lui reste 15 sacs de carottes en stock. Ce jour-là,
il achète 16 sacs et il en vend 17. Le lendemain, il en achète 18 et en vend 19. Le jour suivant, il en achète 20 et en vend 21. Dans les jours
suivants, il achète toujours deux sacs de carottes de plus que le jour précédent et il en vend toujurs deux sacs de plus.
Combien Œil de lapin aura-t-il vendu de sacs de carottes au moment où son stock sera totalement épuisé ?
Calcul
Voir 504.01
Jour n°
Stock
Achat
Vente
Total vendu
Nouveau stock
1
15
16
17
17
14
2
14
18
19
17 + 19 = 36
13
3
13
20
21
36 + 21 = 57
12
. . .
n
16 - n
14 + 2n
15 + 2n
n2 + 16n
15 - n
Nouveau stock nul pour : 15 - n = 0 ; c'est à dire n = 15
15
1
44
45
465
0
Complément pour le calcul du total vendu
Somme des k premiers nombres entiers ∑e = k(k + 1)/2 Somme des k premiers nombres pairs ∑p = k(k + 1) Somme des k premiers nombres impairs ∑i = k2 Total vendu : Le jour 1, 17 est le 9ème nombre impair (∑i = 81). Le jour 0 cela correspondrait au 8ème nombre impair
(k = 8 et ∑i = 64) Le total vendu au jour n est la somme des (n + 8) premiers nombres impairs diminué de la somme des 8 premiers nombres impairs,
c’est-à-dire 64. Total vendu le jour n (n + 8)2 – 64 = n2 + 16n
Résultat
Œil de lapin a vendu 465 sacs.
08. Jus de fruits
Enoncé
Quatre amis produisent du jus à partir de fruits différents.
Ces quatre amis ont des signes du zodiaque différents.
Ces amis se nomment : Alexis, Etienne, Guillaume, Simon.
Les fruits servant à produire du jus sont : abricot, citron, orange, pruneau.
Leurs signes du zodiaque sont : bélier, lion, poisson, taureau.
Celui qui produit du jus de citron n'est, ni Etienne, ni Guillaume.
Celui qui est bélier ne produit pas de jus d'abricot.
Etienne n'est pas poisson.
Alexis n'est pas lion et ne produit pas de jus d'orange.
Guillaume n'est pas bélier et ne produit pas de jus d'orange.
Celui qui est lion produit du jus de citron.
Celui qui produit du jus d'orange n'est pas bélier.
Quel est le signe du zodiaque de celui qui produit du jus d'abricot ?
Si vous trouvez cette énigme trop facile, regardez l'énigme 5 (cinq candidats) de l'énoncé Enigmes 2. Voir questions 11 et 12.
Calcul
Voir 501.08 avec quelques changements : Anthony devient Alexis, Eddy devient Etienne, Gaël devient Guillaume, Hugo devient Simon,
le vin de noix devient jus de citron.
Abricot
Citron
Orange
Pruneau
Bélier
Lion
Poisson
Taureau
Abricot
Citron
Orange
Pruneau
Alexis
n
i
d
n
l
d
l
k
Bélier
b
f
g
h
Etienne
j
a
j
j
k
i
c
k
Lion
f
f
f
f
Guillaume
n
a
e
n
e
i
l
k
Poisson
m
f
m
h
Simon
i
i
i
i
i
i
i
i
Taureau
m
f
m
h
Résultat
Celui qui produit du jus d’Abricot est Poisson
09. Multiple de 15
Enoncé
On cherche un nombre de 6 chiffres, multiple de 15 formé uniquement de 1 et de 5. Quel est le plus grand et le plus petit de ces nombres ?
Combien y a-t-il de tels nombres ?
Calcul
Un nombre qui se termine par 1 n'est pas divisible par 15. Le chiffre des unités ne peut être que 5.
Les 5 autres chiffres peuvent prendre les valeurs 1 ou 5. Cela fait 25 = 32 combinaisons à tester.
111 115
111 155
111 515
111 555
115 115
115 155
115 515
115 555
151 115
151 155
151 515
151 555
155 115
155 155
155 515
155 555
Non
Non
Non
Oui
Non
Oui
Oui
Non
Non
Oui
Oui
Non
Oui
Non
Non
Non
511 115
511 155
511 515
511 555
515 115
515 155
515 515
515 555
551 115
551 155
551 515
551 555
555 115
555 155
555 515
555 555
Non
Oui
Oui
Non
Oui
Non
Non
Non
Oui
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Oui
Complément du prof
Afin de retrouver plus rapidement les nombres divisibles par 15 (sachant qu'on a déjà sélectionné les nombres divisibles par 5), il suffit
de rechercher ceux qui sont divisibles par trois. Il existe une méthode pour cela : il faut que la somme des chiffres du nombre soit un multiple
de trois. Les nombres à considérer sont toujours des nombres formés de 1 et de 5, avec un 5 aux unités.
En tout, on peut avoir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 chiffres 5 et donc 5, 4, 3, 2 , 1 ou 0 chiffres 1.
Il y a 11 nombres de 6 chiffres formés de 1 et de 5 qui sont divisibles par 15. Le plus grand est 555 555, le plus petit est
111 555.
10. Tuiles de Tom
Enoncé
a
b
c
d
e
f
4
g
h
i
j
Dans le sous-sol, Tom a trouvé 15 tuiles carrées : 4 noires et 11 vertes. Il les place comme ci-contre. Il veut maintenant distribuer
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 et 11 pièces de monnaie sur les 11 tuiles vertes. Il lui est interdit de placer des pièces sur les cases noires.
il doit y avoir quatre pièces sur la tuile centrale et 17 pièces dans chacune des cinq rangées de trois tuiles vertes alignées.
Distribuez les pièces de monnaie.
Quels chiffres sont dans la colonne centrale ?
Calcul
5
6
3
8
7
3
5
9
2
11
4
2
11
4
10
7
1
9
8
10
1
6
Comment faire 17 ?
1
2
1
2
3
1
2
3
2
3
4
4
+
5
4
6
5
4
7
6
5
7
6
5
6
+
11
11
10
10
10
9
9
9
8
8
8
7
e
2
2
2
11
11
3
3
10
10
5
5
8
6
6
7
7
7
f (avec e + f = 13)
11
11
11
2
2
10
10
3
3
8
8
5
7
7
6
6
6
Couple a, g (a + g + e = 17)
5, 10
6, 9
7, 8
1, 5
1, 5
5, 9
5, 9
1, 6
1, 6
1, 11
2, 10
2, 7
1, 10
1, 10
1, 9
1, 9
1, 9
Couple b, h (b + h = 13)
6, 7
3, 10
3, 10
3, 10
6, 7
2, 11
6, 7
2, 11
5, 8
3, 10
6, 7
3, 10
2, 11
5, 8
2, 11
3, 10
5, 8
Couple c, d (b + c + d = 17)
3, 8
5, 9
6, 8
1, 10
7, 8
7, 8
3, 9
5, 10
2, 10
Couple i, j (h + i + j = 17)
1, 9
1, 6
Validité
Oui
Non
Oui
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
On a deux groupes de solutions. A l'intérieur de chaque groupe, on peut permuter : a et g ; b et h ; c et d ; i et j ; les deux couples
(c, d) et (i, j). 25 = 32. On a donc 2 fois 32 = 64 solutions.
Il y a une erreur. Voir la correction sur 705.01.
Résultat
Le couple b, h de la colonne centrale est soit ; 6, 7 ; soit 3, 10.
11. Enigme 5.2 - Fruits tropicaux
1
2
3
4
A
O
B
B
B
C
D
A
B
Enoncé
On dispose de quatre ananas (A), quatre bananes (B), quatre oranges (O), et quatre pamplemousses (P). On place d'abord cinq
fruits dans cette grille (voir ci-contre). Sur chaque ligne et dans chaque colonne, il doit y avoir quatre fruits différents. Dans une diagonale,
il doit y avoir deux bananes et deux oranges ; dans l'autre, deux ananas et deux pamplemousses.
Calcul
1
2
3
4
A
O
B
P
A
B
B
O
A
P
C
A
P
B
O
D
P
A
O
B
La quatrième banane trouve sa place en C3.
La diagonale \ se complète avec O en B2.
On complète la colonne 2 : C2 reçoit P.
En D1 on peut avoir A ou P. Mais comme il y a déjà A en D2, D1 ne peut recevoir que P.
Il reste A en C1.
On complète la diagonale / avec A en A4 et A en B3.
Il reste P en A3, P en B4, O en C4 et O en D4.
Résultat
C'est une énigme facile, ce n'est pas celle-ci qu'il fallait prendre.
Voir la grille remplie ci-dessus, à droite.
12. Enigme 2.5 - Cinq candidats
Enoncé
Cinq candidats à un examen se présentent à trois épreuves. Les candidats sont Anne, Bertrand, Claude, Damien et Estelle. Les épreuves portent
sur les sciences de la vie et de la terre (SVT), les sciences physiques et les mathématiques.
Attribuer à chaque candidat la note qu'il a obtenue en mathématiques sachant que :
En SVT les notes vont, de 1 en 1, de 11 à 15, en sciences physiques, de 2 en 2, de 6 à 14, en mathématiques, de 2 en 2, de 8 à 16.
C'est une fille qui a eu la meilleure note en mathématiques.
Estelle n'a eu, ni 11, ni 13 en SVT. Elle a obtenu 2 points de moins en sciences physiques qu'en mathématiques.
Claude a ramené des notes identiques en SVT et en mathématiques et de 2 points supérieures à celles obtenue en sciences physiques.
Anne qui a eu 8 en sciences physiques a obtenu en SVT 1 point de moins que l'élève ayant eu 8 en mathématiques, mais 1 point de plus que
l'élève noté 14 en sciences physiques.
Bertrand a eu 2 points de plus en sciences physiques que l'élève qui a eu 12 en SVT, mais 2 points de moins que l'élève qui a eu 14 en
mathématiques.