704 (2.5), Récréations zoom 1, le 9 novembre 2020

Exercices supplémentaires pendant le 2ème confinement.

01. Nénuphar d'Indonésie

Enoncé

Un certain nénuphar d'Indonésie a la particularité de doubler sa surface chaque jour. Il se trouve qu'un spécimen de cette espèce a recouvert la moitié de la surface d'un étang en 50 jours.

Combien de temps, encore, lui faudra-t-il pour recouvrir la totalité de la surface de l'étang ?

Calcul

Voir : 511.16

Résultat

La dernière moitié de l’étang sera recouverte en 1 jour.

02. Voyage à St-Lin

Enoncé

L I N
+ L I N
+ L I N
= I B L N

Lors d'un voyage à St Lin, Clin d'œil a écrit l'addition ci-contre. Chaque lettre correspond à un chiffre différent des autres. Ainsi L pourrait valoir 2, I pourrait valoir 6 et N pourrait valoir 3. Mais, ce n'est pas le cas pour ces lettres.

Quel est le plus grand nombre qui correspond à LIN ?

Calcul

7 2 5
+ 7 2 5
+ 7 2 5
= 2 1 7 5
Valeur de N Le chiffre des unités de 3N est égal à N : N = 5 ; 3N = 15 ; retenue : 1 A partir de
I = 3
la retenue r2
est différente
de I
Essai avec I = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L = unités de 3I + 1 1 4 7 0 3 6 9 2 5 8
r1 = retenue 1 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2
B = unités de 3L + r1 3 2 1 1 0 9 8 8 7 6
I = retenue 2 0 1 2 0 1 1 2 0 1 2
Remarque Oui Oui Oui I <> I I <> I I <> I I <> I I <> I I <> I I <> I

On n'aurait pas du essayer les valeurs de I supérieures à 3, car la retenue de l'addition de 3 chiffres vaut 2 au maximum.

Résultat

La plus grande valeur de LIN est 725.

03. Léo choisit un nombre

Enoncé

Le premier chiffre a deux unités de moins que le troisième. Le deuxième chiffre à six unités de moins que le troisième. Le troisième est le triple du deuxième.

Quel est ce nombre ?

Calcul

Le nombre est abc (100a + 10b + c)
a = c - 2 b = c - 6 c = 3b b = 3b - 6 b = 3
a = 3b - 2 a = 7 c = 9

Résultat

Ce nombre est 739.

04. Poètes français

Enoncé

Quatre poètes ont donné à la littérature française des œuvres de grande valeur.
Ces poètes sont : Baudelaire, Mallarmé, Rimbaud, Verlaine.
Leurs années de naissance sont : 1821, 1842, 1844, 1854.
Leurs lieux de naissance sont : Charleville, Metz, Paris.

  1. L'aîné des quatre n'est pas Mallarmé.
  2. Rimbaud et Verlaine ne sont pas originaires de Paris.
  3. Le poète de Metz n'est pas né le premier.
  4. Rimbaud est né plus tard que Baudelaire.
  5. Aucun des deux poètes originaires de Paris n'est né en 1844.
  6. Mallarmé et Verlaine ne sont pas nés en 1854.
  7. Verlaine n'est pas né à Charleville.

Trouvez l'année de naissance de chaque poète.

Calcul

Poètes Baudelaire Mallarmé Rimbaud Verlaine
Date de naissance g : 21 1 : pas 21 4 : pas 21 3 : pas 21
e : pas 42 e : 42 e : pas 42 e : pas 42
5 : pas 44 5 : pas 44 f : pas 44 f : 44
g : pas 54 6 : pas 54 4 : 54 6 : pas 54
Lieu de naissance c : pas C c : pas C c : C 7 : pas C
b : pas M b : pas M b : pas M a : M
d : P d : P 2 : pas P 2 : pas P

Résultat

Baudelaire est né en 1821 ; Mallarmé en 1842 ; Rimbaud en 1854 et Verlaine en 1844.

05. Quel âge ont-elles ?

Enoncé

Voici une histoire :
Le Maire et le Shérif d'une petite ville de Californie se promènent dans la rue. Ils croisent trois personnes. Le Shérif dit au Maire :
"La somme des âges de ces 3 personnes est égale au double du vôtre et leur produit est 2450. Pouvez-vous calculer les âges de ces trois personnes ?"
Le Maire fait quelques calculs, puis il répond :
"Je ne peux pas trouver. Il me manque une donnée !"
Le Shérif approuve :
"En effet, j'ajoute que je suis plus âgé que l'ainée de ces trois personnes."
Le Maire conclut alors :
"D'accord, maintenant j'ai trouvé !"

Voici un petit problème :
Les âges de tous les personnages de cette histoire sont des nombres entiers.

Quels sont les âges de ces cinq personnes ?

Ce problème étant long à résoudre, on traitera le problème suivant qui est similaire mais plus simple. Vous pourrez résoudre le problème ci-dessus chez vous !

Un troubadour rencontre un colporteur de ses amis et lui demande quel âge ont, maintenant, ses trois filles. Le colporteur lui répond que le produit de leurs âges est égal à 36. Le troubadour, interloqué, lui indique que cette réponse n'est pas suffisante. Le colporteur poursuit en lui disant que la somme de leurs âges est égale au nombre de personnes qu'il y a dans l'hôtellerie où ils se trouvent. Le troubadour compte le nombre de personnes et dit : "Je ne peux toujours pas répondre". Alors, le colporteur ajoute : "l'ainée est blonde". "Ah ! Bon, maintenant, je sais" conclut le troubadour.

Comment le troubadour a-t-il réussi à trouver les âges des trois filles du colporteur et quels sont ces âges ?

Calcul

voir 501.13 ; 601.13 ; 511.17 et 512.03

36 = 22 x 32 Liste des facteurs : 1, 2, 2, 3, 3

Liste de produits partiels possibles, c’est-à-dire des âges et leur somme :

1 + 1 + 36 = 38 1 + 2 + 18 = 21 1 + 3 + 12 = 16 1 + 4 + 9 = 14 1 + 6 + 6 = 13 2 + 2 + 9 = 13 2 + 3 + 6 = 11 3 + 3 + 4 = 10

Le troubadour connait le nombre de personnes qu’il y a dans l’hôtellerie. S’il ne peut pas conclure c’est qu’il arrive sur deux solutions qui donnent toutes les deux la même somme, en l’occurrence 13. Il y a donc soit deux ainées de 6 ans et une de 1 an ou bien une ainée de 9 ans et deux cadettes de 2 ans. La dernière affirmation indique qu’il n’y a qu’une ainée.

Résultat

Les âges des trois personnes rencontrées sont 5, 10, 49 ans. Celui du Maire est 32 ans et celui du Shérif 50.
Les âges des trois filles du colporteur sont : 9, 2 et 2 ans.

06. Code de Paul

Enoncé

...
E F G H
A
B
C
D

Paul dessine une grille 4 x 4. Dans chaque case, il doit inscrire une figure. Les figures sont données tout à droite pour chaque ligne et pour chaque colonne, pas nécessairement dans l'ordre.

Remplissez la grille. Quel symbole est dans la case AH ?

Calcul

...

Les figures en exemplaire unique trouvent leur place : triangle noir en BF ; 2ème triangle noir en DE ; il reste carré jaune en AE ;
En colonne G il reste deux ronds marrons qui vont en AG et DG ; rond noir en DH ; En AF le seul commun est un rond noir ;
Carré jaune en CF ; rond marron en CH ; carré jaune en AH

Résultat

La case AH reçoit un carré jaune.

07. Œil de lapin

Enoncé

Œil de lapin, c'est son surnom, est gérant d'une épicerie. Un bon matin, il note quil lui reste 15 sacs de carottes en stock. Ce jour-là, il achète 16 saces et il en vend 17. Le lendemain, il en achète 18 et en vend 19. Le jour suivant, il en achète 20 et en vend 21. Dans les jours suivants, il achète toujours deux sacs de carottes de plus que le jour précédent et il en vend toujurs deux sacs de plus.

Combien Œil de lapin aura-t-il vendu de sacs de carottes au moment où son stock sera totalement épuisé ?

Calcul

Voir 504.01

Jour n° Stock Achat Vente Total vendu Nouveau
stock
1 15 16 17 17 14
2 14 18 19 17 + 19 = 36 13
3 13 20 21 36 + 21 = 57 12
. . .
n 16 - n 14 + 2n 15 + 2n n2 + 16n 15 - n
Nouveau stock nul pour : 15 - n = 0 ; c'est à dire n = 15
15 1 44 45 465 0

Complément pour le calcul du total vendu

Somme des k premiers nombres entiers ∑e = k(k + 1)/2
Somme des k premiers nombres pairs ∑p = k(k + 1)
Somme des k premiers nombres impairs ∑i = k2
Total vendu :
Le jour 1, 17 est le 9ème nombre impair (∑i = 81). Le jour 0 cela correspondrait au 8ème nombre impair (k = 8 et ∑i = 64)
Le total vendu au jour n est la somme des (n + 8) premiers nombres impairs diminué de la somme des 8 premiers nombres impairs, c’est-à-dire 64.
Total vendu le jour n (n + 8)2 – 64 = n2 + 16n

Résultat

Œil de lapin a vendu 465 sacs.

08. Jus de fruits

Enoncé

Quatre amis produisent du jus à partir de fruits différents.
Ces quatre amis ont des signes du zodiaque différents.
Ces amis se nomment : Alexis, Etienne, Guillaume, Simon.
Les fruits servant à produire du jus sont : abricot, citron, orange, pruneau.
Leurs signes du zodiaque sont : bélier, lion, poisson, taureau.

  1. Celui qui produit du jus de citron n'est, ni Etienne, ni Guillaume.
  2. Celui qui est bélier ne produit pas de jus d'abricot.
  3. Etienne n'est pas poisson.
  4. Alexis n'est pas lion et ne produit pas de jus d'orange.
  5. Guillaume n'est pas bélier et ne produit pas de jus d'orange.
  6. Celui qui est lion produit du jus de citron.
  7. Celui qui produit du jus d'orange n'est pas bélier.

Quel est le signe du zodiaque de celui qui produit du jus d'abricot ?

Si vous trouvez cette énigme trop facile, regardez l'énigme 5 (cinq candidats) de l'énoncé Enigmes 2. Voir questions 11 et 12.

Calcul

Voir 501.08 avec quelques changements : Anthony devient Alexis, Eddy devient Etienne, Gaël devient Guillaume, Hugo devient Simon, le vin de noix devient jus de citron.

Abricot Citron Orange Pruneau Bélier Lion Poisson Taureau Abricot Citron Orange Pruneau
Alexis n i d n l d l k Bélier b f g h
Etienne j a j j k i c k Lion f f f f
Guillaume n a e n e i l k Poisson m f m h
Simon i i i i i i i i Taureau m f m h

Résultat

Celui qui produit du jus d’Abricot est Poisson

09. Multiple de 15

Enoncé

On cherche un nombre de 6 chiffres, multiple de 15 formé uniquement de 1 et de 5. Quel est le plus grand et le plus petit de ces nombres ? Combien y a-t-il de tels nombres ?

Calcul

Un nombre qui se termine par 1 n'est pas divisible par 15. Le chiffre des unités ne peut être que 5.
Les 5 autres chiffres peuvent prendre les valeurs 1 ou 5. Cela fait 25 = 32 combinaisons à tester.

111 115 111 155 111 515 111 555 115 115 115 155 115 515 115 555 151 115 151 155 151 515 151 555 155 115 155 155 155 515 155 555
Non Non Non Oui Non Oui Oui Non Non Oui Oui Non Oui Non Non Non
511 115 511 155 511 515 511 555 515 115 515 155 515 515 515 555 551 115 551 155 551 515 551 555 555 115 555 155 555 515 555 555
Non Oui Oui Non Oui Non Non Non Oui Non Non Non Non Non Non Oui

Complément du prof

Afin de retrouver plus rapidement les nombres divisibles par 15 (sachant qu'on a déjà sélectionné les nombres divisibles par 5), il suffit de rechercher ceux qui sont divisibles par trois. Il existe une méthode pour cela : il faut que la somme des chiffres du nombre soit un multiple de trois. Les nombres à considérer sont toujours des nombres formés de 1 et de 5, avec un 5 aux unités.

Résultat

Il y a 11 nombres de 6 chiffres formés de 1 et de 5 qui sont divisibles par 15. Le plus grand est 555 555, le plus petit est 111 555.

10. Tuiles de Tom

Enoncé

a b c d
e f 4
g h i j

Dans le sous-sol, Tom a trouvé 15 tuiles carrées : 4 noires et 11 vertes. Il les place comme ci-contre. Il veut maintenant distribuer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 et 11 pièces de monnaie sur les 11 tuiles vertes. Il lui est interdit de placer des pièces sur les cases noires. il doit y avoir quatre pièces sur la tuile centrale et 17 pièces dans chacune des cinq rangées de trois tuiles vertes alignées.
Distribuez les pièces de monnaie.

Quels chiffres sont dans la colonne centrale ?

Calcul

5 6 3 8 7 3 5 9
2 11 4 2 11 4
10 7 1 9 8 10 1 6

Comment faire 17 ?

1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 4 4
+ 5 4 6 5 4 7 6 5 7 6 5 6
+ 11 11 10 10 10 9 9 9 8 8 8 7
e 2 2 2 11 11 3 3 10 10 5 5 8 6 6 7 7 7
f (avec e + f = 13) 11 11 11 2 2 10 10 3 3 8 8 5 7 7 6 6 6
Couple a, g (a + g + e = 17) 5, 10 6, 9 7, 8 1, 5 1, 5 5, 9 5, 9 1, 6 1, 6 1, 11 2, 10 2, 7 1, 10 1, 10 1, 9 1, 9 1, 9
Couple b, h (b + h = 13) 6, 7 3, 10 3, 10 3, 10 6, 7 2, 11 6, 7 2, 11 5, 8 3, 10 6, 7 3, 10 2, 11 5, 8 2, 11 3, 10 5, 8
Couple c, d (b + c + d = 17) 3, 8 5, 9 6, 8 1, 10 7, 8 7, 8 3, 9 5, 10 2, 10
Couple i, j (h + i + j = 17) 1, 9 1, 6
Validité Oui Non Oui Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non

On a deux groupes de solutions. A l'intérieur de chaque groupe, on peut permuter : a et g ; b et h ; c et d ; i et j ; les deux couples (c, d) et (i, j). 25 = 32. On a donc 2 fois 32 = 64 solutions.

Il y a une erreur. Voir la correction sur 705.01.

Résultat

Le couple b, h de la colonne centrale est soit ; 6, 7 ; soit 3, 10.

11. Enigme 5.2 - Fruits tropicaux

1 2 3 4
A O B
B B
C
D A B

Enoncé

On dispose de quatre ananas (A), quatre bananes (B), quatre oranges (O), et quatre pamplemousses (P). On place d'abord cinq fruits dans cette grille (voir ci-contre). Sur chaque ligne et dans chaque colonne, il doit y avoir quatre fruits différents. Dans une diagonale, il doit y avoir deux bananes et deux oranges ; dans l'autre, deux ananas et deux pamplemousses.

Calcul

1 2 3 4
A O B P A
B B O A P
C A P B O
D P A O B

Résultat

C'est une énigme facile, ce n'est pas celle-ci qu'il fallait prendre.

Voir la grille remplie ci-dessus, à droite.

12. Enigme 2.5 - Cinq candidats

Enoncé

Cinq candidats à un examen se présentent à trois épreuves. Les candidats sont Anne, Bertrand, Claude, Damien et Estelle. Les épreuves portent sur les sciences de la vie et de la terre (SVT), les sciences physiques et les mathématiques.

Attribuer à chaque candidat la note qu'il a obtenue en mathématiques sachant que :

Calcul

Résultat