703 (02), Récréations numériques, Le 12 octobre 2020

01. Sac de bonbons

Enoncé

Mario et Mariette ont reçu ensemble 50 bonbons. Mariette est bien peinée : elle a moins de bonbons que Mario. Le nombre de bonbons de Mario multiplié par le nombre de bonbons de Mariette est égal à 616.

Combien Mario et Mariette ont-ils de bonbons ?

Calcul

Il y a deux façon d'aborder le problème : 1 - chercher le couple médian puis dévier - 2 - faire la décomposition en facteurs premiers.

A partir du couple médian

Racine de 616 = 24,8

Décomposition en facteurs premiers

616 = 2³.7.11 = 22.28

Résultat

Mario a 28 bonbons et Mariette en a 22.

02. Lapins de Lorrain

Enoncé

Lorrain a disposé 67 lapins dans trois enclos : A, B et C. Lorrain dit à Jacqueline :
- Si je prenais deux fois le nombre de lapins de l'enclos A, puis ceux de l'enclos B, j'aurais C lapins.
Jacqueline reprend :
- Si je prenais le nombre de lapins de l'enclos A, puis deux fois le nombre de ceux de l'enclos B, j'aurais (C + 1) lapins.

Combien y a-t-il de lapins dans l'enclos C ?

Calcul

Résultat

Il y a 40 lapins dans l'enclos C.

03. Camp Vent-Soleil

Enoncé

Dans un camp de vacances où vent et soleil font bon ménage, cinq dortoirs ont été aménagés pour recevoir 256 lits. Les noms des dortoirs sont ceux des planètes.

1. Mercure et Saturne ont ensemble 94 lits.
2. Jupiter a 17 lits de plus que Neptune.
3. Uranus a 10 lits de moins que Jupiter.
4. Neptune et Mercure ont ensemble 99 lits.

Deux dortoirs ont le même nombre de lits. Lesquels ?

Calcul

Nous disposons d'un système de cinq équations à cinq inconnus. La résolution se simplifie à condition de prendre les équations dans le bon ordre.

Résultat

Les deux dortoirs Mercure et Uranus ont le même nombre (53) de lits.

04. Indices de Ginette

Enoncé

A la façon des Mots croisés, Ginette noircit des cases dans une grille 4 x 4. Elle donne des indices pour trouver chaque nombre, même les nombres d'un seul chiffre.

Remplissez cette grille en plaçant un chiffre par case d'après les indices donnés.

• Horizontalement
1. A. J'ai deux 5 et un 6.
2. B. La somme de mes chiffres est 7. - Je suis pair.
3. C. J'ai deux 5 et deux 8.
4. D. Je suis pair. - J'ai un 7 et un 9.
• Verticalement
1. E. J'ai un 4, un 5, deux 8.
2. F. J'ai un 3, un 5 et un 6.
3. G. Je suis impair. - J'ai un 8 et un 9.
4. H. J'ai un 2, un 5 et un 7.

Calcul

Par le jeu des chiffres communs et uniques entre deux définitions, l'ordre des introductions dans la grille est le suivant :
7 en DH ; 9 en DG ; 8 en CG ; 2 en BH ; 5 en CH ; 5 en AE ; 6 en AF ; 5 en AG ; 5 en CF ; 3 en BF ; 4 en BE ; 8 en CE ; 8 en DE.

Résultat

Voir la grille remplie à droite.

05. Pluie de castors

Enoncé

Lors de jeux sportifs, le grand maréchal a fait frapper des pièces de monnaie à l'effigie du castor. A la fin des jeux, il invite les athlètes les plus méritants à se présenter devant lui. Au premier, il donne trois castors, au deuxième quatre castors, au troisième cinq castors et ainsi de suite en donnant un castor de plus par athlète. L'intendant qui l'a regardé agir lui dit :
- Si j'avais été à ta place, j'aurais donné 4 castors à chacun. Cela aurait exigé la moitié moins de castors.

Combien d'athlètes ont reçu des castors ?

Résolution à tatons

On peut aller à tatons. S'il y a par exemple 10 athlètes, ils reçoivent en tout : 3 + 4 + 5 + ... + 11 + 12 = 75 castors. L'intendant aurait donné : 10 x 4 = 40 castors. 75/4 est inférieur à 2. Essayons 11 ...

Résolution plus algébrique

Résultat

Les castors ont été distribués à 11 athlètes.

06. Mal d'Adam

Enoncé

Adam recherche deux nombres de trois chiffres dont la somme est 876. Il écrit l'addition ci-contre. Chaque lettre représente un chiffre différent de 1 à 6.

Combien y a-t-il de solutions ? Quelle est la plus grande valeur de MAL ?

Calcul

Remarque : il n'y a pas de retenue. En effet 16, et à fortiori 17 et 18, ne peut être obtenu qu'avec 8 + 8, chiffres non autorisés.

En prenant 6 pour M (6 et 2 utilisés), puis 4 pour A (4 et 3 utilisé), il reste 5 pour L. C'est la plus grande valeur de MAL (645).
Parmi les solutions, il y a 2 possibilités pour chaque couple et avec 3 couples : 8 solutions. Il faut y ajouter 5 pour M (5 ou 3), 6 pour A (6 ou 1) et 4 pour L (4 ou 2). Cela nous fait 16 solutions.

Résultat

Il y a 16 solutions et la plus grande valeur de MAL est 645.

07. Surprise de Désirée

Enoncé

A 85 ans, Désirée se mit à aligner des chiffres. Elle eut la surprise de constater comment les nombres étaient dociles par rapport à l'addition. C'est comme s'ils prenaient des rangs de doyens. En fin de compte, Désirée a écrit d'abord les trois égalités ci-contre, puis elle a continué selon le même modèle.

Sur quelle ligne Désirée écrira-t-elle son âge ?

Calcul

Résultat

Désirée écrira son âge sur la ligne n° 9.

08. Panneau de Léa

Enoncé

sous un panneau, Léa a caché un nombre de trois chiffres. Je prends un quinzième de ce nombre, auquel je soustrais 46. Je prends un douzième du même nombre, auquel je soustrais 55. Je prends un dixième toujours du même nombre, auquel je soustrais 65. En multipliant ensemble les trois résultats précédents, qui sont tous entiers, je retrouve mon nombre.

Quel est ce nombre ?

Calcul

On sait que x < 1000 et x/15 > 46, donc x > 690 - De plus (ppcm de 10, 12, 15 = 60) ; x est multiple de 60 - Cela entraine 5 valeurs à tester : 720, 780, 840, 900 et 960.

Résultat

Ce nombre est 780.

09. Noix de COCO

Enoncé

Trois naufragés font tomber les noix des cocotiers qui les entourent. Le soir venu, ils décident de se les partager également le lendemain.

Ne dormant pas, l'un des naufragés se dirige vers le tas pour y prendre sa part sans attendre. Il essaye de faire trois tas égaux, mais il y a une noix de trop qu'il jette à la mer. Il prend le tiers du reste et le porte dans une caverne.

Un deuxième naufragé se lève à son tour. Ne se doutant pas qu'il a été précédé par un de ses compagnons, il tente de faire trois tas égaux, trouve une noix de trop qu'il jette à la mer, prend le tiers du reste et le met de côté.

Le même scénario se reproduit pour le troisième naufragé. Au matin, comme s'il ne s'était rien passé pendant la nuit, ils partagent en 3 le tas restant. Il y a encore une noix en trop.

Combien y avait-il de noix à l'origine ? (on prendra le plus petit nombre de solution).

Calcul

81k + 65 doit être divisible par 8 ou 81k + 1 divisible par 8. Dans 81 il n'y a que des 3.
Si on fait k = 8 ; 81k = 648 ; 649/8 = 81,125 ; on dépasse.
Si on fait k = 7 ; 81k = 567 ; 568/8 = 71 ; (7 x 81 + 65)/8 = 79.

Résultat

A l'origine il y avait 79 noix.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
Aa	Le quart d'un nombre, augmenté de 5, est égal à 14. Quel est ce nombre ?	x/4 + 5 = 14	Ce nombre est 36.
Ab	Quel est le nombre qui a le plus de lettres entre 20 et 30 ?		C'est 24.
Ac	On accole deux carrés dont l'aire de chacun est 25 cm2. Quel est le périmètre de la nouvelle figure ?	Racine(25) = 5 ; 6 x 5 = 30	Le périmètre est 30 cm.
Ad	Combien doit-on utiliser de traits droits pour écrire la deuxième lettre du huitième mois de l'année ?		Il faut 4 traits droits.
Ae	Dans un carré, le tiers du côté mesure quatre centimètres. Quelle est son aire ?	4.3 = 12 ; 122 = 144	L'aire est 144 cm2.
Af	Combien y a-t-il de centièmes dans 10 ?		Il y a 1 000 centièmes dans 10.
Ag	Combien chacune recevra-t-elle si on partage 98 €uros entre 4 personnes ?		Chacune recevra 24,50 €uros.
Ah	France est née en 1972. Quel âge a-t-elle eu en 2008 ?	2008 - 1972 = 36	France a eu 36 ans en 2008.
Ai	Combien d'allumettes a-t-on besoin pour écrire 33 en chiffres romains ?	XXXIII	On a besoin de 9 allumettes.
Aj	Dans un triangle rectangle, l'un des côtés de l'angle droit est la hauteur. Comment appelle-t-on l'autre côté de l'angle droit ?		La base.
Ba	Tristan a écrit 10 ♦ 2 ♦ 3 = 4 ♦ 6. Mettez un signe +, -, x ou ÷ à la place des losanges pour que l'égalité soit vraie (en mettant des parenthèses si nécessaire).		(10 - 2) x 3 = 4 x 6.
Bb	Ruth soutient qu'elle peut tracer cette figure sans lever le crayon et sans passer plus d'une fois sur une même ligne. A-t-elle raison ?	Voir 604.10.Aa ; On a deux noeuds impairs, donc on devrait pouvoir, à condition de partir d'un et arriver à un noeud impair. Mais comme la figure incite à partir de l'extérieur, on ne peut pas.
Bc	33 x 33 = 1 089 333 x 333 = 110 889 3 333 x 3 333 = 11 108 889 Emma a fait les opérations ci-contre à gauche. En vous basant sur ces résultats, quel est le carré de 3 333 333 ?	Le carré de 3 333 333 pourrait être 11 111 108 888 889. Vérification : exact.
Bd	Chaque lettre a sa propre valeur et correspond à un chiffre. PS ÷ T = 18 et TS + P = 39. Quelle est la valeur de TPS ?	S + P = 9 (pas de retenue) ; T = 3 PS = 18.3 = 54	TPS = 354.

11. L'héritage des frères Picstick

Enoncé

Les deux frères Picstick ont hérité d'un troupeau de vaches, et ont vendu les animaux, recevant pour chacune autant de dollars qu'il y a de vaches dans le troupeau. Ils ont été payés en billets de dix dollars, le solde en pièces de un dollar. Ils se partagent l'argent en mettant les billets sur une table, et en en prenant alternativement un chacun, jusqu'à épuisement.

Lorsque cette opération est terminée, le plus jeune dit à l'aîné :
Ce n'est pas juste. Tu as pris le premier et le dernier billet, tu as donc 10 dollars de plus que moi.
- Exact. En compensation, prend toutes les pièces.
- Ce n'est pas suffisant, tu as pris 10 dollars de plus que moi et les pièces ne font pas 10 dollars.
- C'est encore exact reconnait l'aîné.
- Il tire d'autres pièces de sa poche et les donne à son frère. Voilà, comme ça c'est équitable.

Combien de pièces l'aîné a-t-il tiré de sa poche ?

Calcul

• S'il y a v vaches, la somme reçue est v², un carré.
• Le nombre de billets de 10 $ est impair.
• Génération du carré à partir du nombre de vaches v sous la forme 10u + w ; (10u + w)² = 100u² + 20uw + w².
100u² + 20uw est toujours pair. Pour qu'il soit impair il faut lui ajouter une retenue impaire.

Toutes les retenues sont paires, sauf avec u = 4 et u = 6. Dans ces deux cas le chiffre des unités de u², donc de v², est toujours 6. Donc quel que soit le nombre de vaches v, le cadet a toujours récupéré 6 pièces de 1 $. Donc au dernier ajustement, Il y a 4 $ d'écart. Après partage en deux, l'ainé a donné 2 pièces de 1 $ supplémentaires.

Résultat

L'ainé a tiré 2 pièces de 1 doller de sa poche.

12. Problème d'Euler

Enoncé

Voici un problème posé par Euler dans son traité d'Algèbre.
Un groupe formé d'hommes et de femmes s'arrêtent dans une auberge. Les hommes payent tous 19 €uros et les femmes 13.
La recette de l'aubergiste est de 1000 €uros.

Sachant qu'il y avait un peu plus de femmes que d'hommes, combien y avait-il d'hommes et combien de femmes.

Calcul

Nombre moyen d'hommes + femmes : 1000/(19 + 13) = 31,1.

Résultat

Il y avait 28 hommes et 36 femmes.

13. Multiple de 5 et 9

Enoncé

Nous vous proposons le problème suivant : "On souhaite "ajouter" à droite du nombre 579 trois chiffres de manière à ce que le nombre obtenu (de 6 chiffres) soit divisible par 5 et par 9.

Combien de tels triplets de nombres peut-on ajouter ?"

Calcul

579 000/45 = 12 866,7 ; 12867 x 45 = 579 015 ; 580 000/15 = 12 888,9 ; 12 888 x 45 = 579 960 ; (579 960 - 579 015)/45 + 1 = 22.

Résultat

Il existe 22 triplets.