703 (02), Récréations numériques, Le 12 octobre 2020
En préambule et après la réception des mini CV, Christophe constate que beaucoup d'entre nous aiment la montagne. Il nous communique donc quelques
sites : OpenRunner ; Visorando ; SityTrail. Sur un autre sujet : ScienceClic.
01. Sac de bonbons
Enoncé
Mario et Mariette ont reçu ensemble 50 bonbons. Mariette est bien peinée : elle a moins de bonbons que Mario. Le nombre de bonbons de Mario
multiplié par le nombre de bonbons de Mariette est égal à 616.
Combien Mario et Mariette ont-ils de bonbons ?
Calcul
Il y a deux façon d'aborder le problème : 1 - chercher le couple médian puis dévier - 2 - faire la décomposition en facteurs premiers.
A partir du couple médian
Racine de 616 = 24,8
Couples
24 x 26
23 x 27
22 x 28
Produit
624
621
616
Décomposition en facteurs premiers
616 = 23.7.11 = 22.28
Résultat
Mario a 28 bonbons et Mariette en a 22.
02. Lapins de Lorrain
Enoncé
Lorrain a disposé 67 lapins dans trois enclos : A, B et C. Lorrain dit à Jacqueline :
- Si je prenais deux fois le nombre de lapins de l'enclos A, puis ceux de l'enclos B, j'aurais C lapins.
Jacqueline reprend :
- Si je prenais le nombre de lapins de l'enclos A, puis deux fois le nombre de ceux de l'enclos B, j'aurais (C + 1) lapins.
Combien y a-t-il de lapins dans l'enclos C ?
Calcul
(1)
2A + B = C
(2
A + 2B = C + 1
(3)
A + B + C = 67
(4) = (1) et (3)
A + B + 2A + B = 67
3A + 2B = 67
(5) = (2) et (3
A + 2B = 2A + B + 1
B - A = 1
(6) = (4) et (5)
3A + 2A + 2 = 67
5A = 65
A = 13
B = A + 1 = 14
C = 2A + B = 26 + 14 = 40
Résultat
Il y a 40 lapins dans l'enclos C.
03. Camp Vent-Soleil
Enoncé
Jupiter
Mercure
Neptune
Saturne
Uranus
Dans un camp de vacances où vent et soleil font bon ménage, cinq dortoirs ont été aménagés pour recevoir 256 lits. Les noms des dortoirs sont ceux
des planètes.
Mercure et Saturne ont ensemble 94 lits.
Jupiter a 17 lits de plus que Neptune.
Uranus a 10 lits de moins que Jupiter.
Neptune et Mercure ont ensemble 99 lits.
Deux dortoirs ont le même nombre de lits. Lesquels ?
Calcul
Nous disposons d'un système de cinq équations à cinq inconnus. La résolution se simplifie à condition de prendre les équations dans le bon
ordre.
M + S = 94
M = 94 - S
N + M = 99
N = 99 - (94 - S) = 5 + S
J - N = 17
J = 17 + 5 + S = 22 + S
J - U = 10
U = 22 + S - 10 = 12 + S
J + M + N + S + U = 22 + S + 94 - S + 5 + S + S + 12 + S = 3S + 133 = 256
S = (256 - 133)/3
S = 41
J = 22 + 41 = 63
M = 94 - 41 = 53
N = 5 + 41 = 46
U = 12 + 41 = 53
Résultat
Les deux dortoirs Mercure et Uranus ont le même nombre (53) de lits.
04. Indices de Ginette
Enoncé
E
F
G
H
A
B
C
D
A la façon des Mots croisés, Ginette noircit des cases dans une grille 4 x 4. Elle donne des indices pour trouver chaque nombre, même les
nombres d'un seul chiffre.
Remplissez cette grille en plaçant un chiffre par case d'après les indices donnés.
Horizontalement
A. J'ai deux 5 et un 6.
B. La somme de mes chiffres est 7. - Je suis pair.
C. J'ai deux 5 et deux 8.
D. Je suis pair. - J'ai un 7 et un 9.
Verticalement
E. J'ai un 4, un 5, deux 8.
F. J'ai un 3, un 5 et un 6.
G. Je suis impair. - J'ai un 8 et un 9.
H. J'ai un 2, un 5 et un 7.
Calcul
E
F
G
H
A
5
6
5
B
4
3
2
C
8
5
8
5
D
8
9
7
Par le jeu des chiffres communs et uniques entre deux définitions, l'ordre des introductions dans la grille est le suivant :
7 en DH ; 9 en DG ; 8 en CG ; 2 en BH ; 5 en CH ; 5 en AE ; 6 en AF ; 5 en AG ; 5 en CF ; 3 en BF ; 4 en BE ; 8 en CE ; 8 en DE.
Résultat
Voir la grille remplie à droite.
05. Pluie de castors
Enoncé
Lors de jeux sportifs, le grand maréchal a fait frapper des pièces de monnaie à l'effigie du castor. A la fin des jeux, il invite les athlètes les
plus méritants à se présenter devant lui. Au premier, il donne trois castors, au deuxième quatre castors, au troisième cinq castors et ainsi de suite
en donnant un castor de plus par athlète. L'intendant qui l'a regardé agir lui dit :
- Si j'avais été à ta place, j'aurais donné 4 castors à chacun. Cela aurait exigé la moitié moins de castors.
Combien d'athlètes ont reçu des castors ?
Résolution à tatons
Nombre d'athlètes
9
10
11
12
Nombre de castors distribués par le grand maréchal
63
75
88
102
L'intendant en aurait donné
36
40
44
48
Rapport Grand Maréchal / Intendant
1,75
1,875
2
2,125
On peut aller à tatons. S'il y a par exemple 10 athlètes, ils reçoivent en tout : 3 + 4 + 5 + ... + 11 + 12 = 75 castors. L'intendant aurait
donné : 10 x 4 = 40 castors. 75/4 est inférieur à 2. Essayons 11 ...
Résolution plus algébrique
La somme de n nombres entiers (de 1 à n) vaut
n(n + 1)/2.
L'ensemble de x joueurs reçoit (3 + 4 + ... + (x + 1) + (x + 2)) castors, c'est à dire la somme x + 2 nombres entiers - 3,
c'est à dire : (x + 2)(x + 3)/2 - 3 = (x2 + 5x)/2.
Egalité avec la distribution supposée de l'Intendant :
(x2 + 5x)/2 = 8x
x(x - 11) = 0
x = 11
Le professeur passe par la moyenne distribuée qui doit être égale à
2 x 4 = 8
(x2 + 5x)/2x = (x + 5)/2 = 8
x = 11
Résultat
Les castors ont été distribués à 11 athlètes.
06. Mal d'Adam
Enoncé
M
A
L
+
V
U
E
=
8
7
6
Adam recherche deux nombres de trois chiffres dont la somme est 876. Il écrit l'addition ci-contre. Chaque lettre représente un chiffre différent
de 1 à 6.
Combien y a-t-il de solutions ? Quelle est la plus grande valeur de MAL ?
Calcul
Remarque : il n'y a pas de retenue. En effet 16, et à fortiori 17 et 18, ne peut être obtenu qu'avec 8 + 8, chiffres non autorisés.
Couple des variables
M et V
A et U
L et E
valeurs possibles
6 + 2
5 + 3
6 + 1
5 + 2
4 + 3
5 + 1
4 + 2
En prenant 6 pour M (6 et 2 utilisés), puis 4 pour A (4 et 3 utilisé), il reste 5 pour L. C'est la plus grande valeur de MAL (645).
Parmi les solutions, il y a 2 possibilités pour chaque couple et avec 3 couples : 8 solutions. Il faut y ajouter 5 pour M (5 ou 3), 6 pour A
(6 ou 1) et 4 pour L (4 ou 2). Cela nous fait 16 solutions.
645
641
635
631
245
241
235
231
564
562
514
512
364
362
314
312
231
235
241
245
631
635
641
645
312
314
362
364
512
514
562
564
876
876
876
876
876
876
876
876
876
876
876
876
876
876
876
876
Résultat
Il y a 16 solutions et la plus grande valeur de MAL est 645.
07. Surprise de Désirée
Enoncé
1 + 2
=
3
4 + 5 + 6
=
7 + 8
9 + 10 + 11 +12
=
13 + 14 + 15
A 85 ans, Désirée se mit à aligner des chiffres. Elle eut la surprise de constater comment les nombres étaient dociles par rapport à l'addition.
C'est comme s'ils prenaient des rangs de doyens. En fin de compte, Désirée a écrit d'abord les trois égalités ci-contre, puis elle a continué selon
le même modèle.
sous un panneau, Léa a caché un nombre de trois chiffres. Je prends un quinzième de ce nombre, auquel je soustrais 46. Je prends un douzième du
même nombre, auquel je soustrais 55. Je prends un dixième toujours du même nombre, auquel je soustrais 65. En multipliant ensemble les trois
résultats précédents, qui sont tous entiers, je retrouve mon nombre.
Quel est ce nombre ?
Calcul
On sait que x < 1000 et x/15 > 46, donc x > 690 - De plus (ppcm de 10, 12, 15 = 60) ; x est multiple de 60 - Cela entraine 5 valeurs à
tester : 720, 780, 840, 900 et 960.
x
720
780
840
900
960
a = x/15 - 46
2
6
10
14
18
b = x/12 - 55
5
10
15
20
25
c = x/10 - 65
7
13
19
25
31
abc
70
780
2850
7000
13950
Résultat
Ce nombre est 780.
09. Noix de COCO
Enoncé
Trois naufragés font tomber les noix des cocotiers qui les entourent. Le soir venu, ils décident de se les partager également le lendemain.
Ne dormant pas, l'un des naufragés se dirige vers le tas pour y prendre sa part sans attendre. Il essaye de faire trois tas égaux, mais il y a
une noix de trop qu'il jette à la mer. Il prend le tiers du reste et le porte dans une caverne.
Un deuxième naufragé se lève à son tour. Ne se doutant pas qu'il a été précédé par un de ses compagnons, il tente de faire trois tas égaux, trouve
une noix de trop qu'il jette à la mer, prend le tiers du reste et le met de côté.
Le même scénario se reproduit pour le troisième naufragé. Au matin, comme s'il ne s'était rien passé pendant la nuit, ils partagent en 3 le tas
restant. Il y a encore une noix en trop.
Combien y avait-il de noix à l'origine ? (on prendra le plus petit nombre de solution).
Calcul
Au dernier partage, il y a 3k +1 noix, 1 est jetée et chacun reçoit k noix.
a laissé
Il a pris
Il a trouvé en arrivant
le 3ème naufragé
3k + 1
(3k + 1)/2
1 + 3(3k + 1)/2 = (9k + 5)/2
le 2ème naufragé
(9k + 5)/2
(9k + 5)/4
1 + 3(9k + 5)/4 = (27k + 19)/4
le 1er naufragé
(27k + 19)/4
(27k + 19)/8
1 + 3(27k + 19)/8 = (81k + 65)/8
81k + 65 doit être divisible par 8 ou 81k + 1 divisible par 8. Dans 81 il n'y a que des 3.
Si on fait k = 8 ; 81k = 648 ; 649/8 = 81,125 ; on dépasse.
Si on fait k = 7 ; 81k = 567 ; 568/8 = 71 ; (7 x 81 + 65)/8 = 79.
Le 1er
Le 2ème
Le 3ème
Partage final
trouve
jette 1, reste
prend 1/3, reste 2/3
trouve
jette 1, reste
prend 1/3, reste 2/3
trouve
jette 1, reste
prend 1/3, reste 2/3
jette 1, reste
1/3 chacun
79
78
52
52
51
34
34
33
22
21
7
Résultat
A l'origine il y avait 79 noix.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
Aa
Le quart d'un nombre, augmenté de 5, est égal à 14. Quel est ce nombre ?
x/4 + 5 = 14
Ce nombre est 36.
Ab
Quel est le nombre qui a le plus de lettres entre 20 et 30 ?
C'est 24.
Ac
On accole deux carrés dont l'aire de chacun est 25 cm2. Quel est le périmètre de la nouvelle figure ?
Racine(25) = 5 ; 6 x 5 = 30
Le périmètre est 30 cm.
Ad
Combien doit-on utiliser de traits droits pour écrire la deuxième lettre du huitième mois de l'année ?
Il faut 4 traits droits.
Ae
Dans un carré, le tiers du côté mesure quatre centimètres. Quelle est son aire ?
4.3 = 12 ;
122 = 144
L'aire est 144 cm2.
Af
Combien y a-t-il de centièmes dans 10 ?
Il y a 1 000 centièmes dans 10.
Ag
Combien chacune recevra-t-elle si on partage 98 €uros entre 4 personnes ?
Chacune recevra 24,50 €uros.
Ah
France est née en 1972. Quel âge a-t-elle eu en 2008 ?
2008 - 1972 = 36
France a eu 36 ans en 2008.
Ai
Combien d'allumettes a-t-on besoin pour écrire 33 en chiffres romains ?
XXXIII
On a besoin de 9 allumettes.
Aj
Dans un triangle rectangle, l'un des côtés de l'angle droit est la hauteur. Comment appelle-t-on l'autre côté de
l'angle droit ?
La base.
Ba
Tristan a écrit 10 ♦ 2 ♦ 3 = 4 ♦ 6. Mettez un signe +, -, x ou ÷ à la place des losanges pour que
l'égalité soit vraie (en mettant des parenthèses si nécessaire).
(10 - 2) x 3 = 4 x 6.
Bb
Ruth soutient qu'elle peut tracer cette figure sans lever le
crayon et sans passer plus d'une fois sur une même ligne. A-t-elle raison ?
Voir 604.10.Aa ; On a deux noeuds impairs, donc
on devrait pouvoir, à condition de partir d'un et arriver à un noeud impair. Mais comme la figure incite à partir de l'extérieur, on ne peut pas.
Bc
33 x 33 = 1 089
333 x 333 = 110 889
3 333 x 3 333 = 11 108 889
Emma a fait les opérations ci-contre à gauche. En vous basant sur ces résultats,
quel est le carré de 3 333 333 ?
Le carré de 3 333 333 pourrait être 11 111 108 888 889. Vérification : exact.
Bd
Chaque lettre a sa propre valeur et correspond à un chiffre. PS ÷ T = 18 et TS + P = 39. Quelle est la valeur de
TPS ?
S + P = 9 (pas de retenue) ; T = 3 PS = 18.3 = 54
TPS = 354.
11. L'héritage des frères Picstick
Enoncé
Les deux frères Picstick ont hérité d'un troupeau de vaches, et ont vendu les animaux, recevant pour chacune autant de dollars qu'il y a de vaches
dans le troupeau. Ils ont été payés en billets de dix dollars, le solde en pièces de un dollar. Ils se partagent l'argent en mettant les billets sur
une table, et en en prenant alternativement un chacun, jusqu'à épuisement.
Lorsque cette opération est terminée, le plus jeune dit à l'aîné :
Ce n'est pas juste. Tu as pris le premier et le dernier billet, tu as donc 10 dollars de plus que moi.
- Exact. En compensation, prend toutes les pièces.
- Ce n'est pas suffisant, tu as pris 10 dollars de plus que moi et les pièces ne font pas 10 dollars.
- C'est encore exact reconnait l'aîné.
- Il tire d'autres pièces de sa poche et les donne à son frère. Voilà, comme ça c'est équitable.
Combien de pièces l'aîné a-t-il tiré de sa poche ?
Calcul
S'il y a v vaches, la somme reçue est v2, un carré.
Le nombre de billets de 10 $ est impair.
Génération du carré à partir du nombre de vaches v sous la forme 10u + w ; (10u + w)2 = 100u2 + 20uw + w2.
100u2 + 20uw est toujours pair. Pour qu'il soit impair il faut lui ajouter une retenue impaire.
u
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
u2
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
Toutes les retenues sont paires, sauf avec u = 4 et u = 6. Dans ces deux cas le chiffre des unités de u2, donc de v2,
est toujours 6. Donc quel que soit le nombre de vaches v, le cadet a toujours récupéré 6 pièces de 1 $. Donc au dernier ajustement, Il y a 4 $
d'écart. Après partage en deux, l'ainé a donné 2 pièces de 1 $ supplémentaires.
Résultat
L'ainé a tiré 2 pièces de 1 doller de sa poche.
12. Problème d'Euler
Enoncé
Voici un problème posé par Euler dans son traité d'Algèbre.
Un groupe formé d'hommes et de femmes s'arrêtent dans une auberge. Les hommes payent tous 19 €uros et les femmes 13.
La recette de l'aubergiste est de 1000 €uros.
Sachant qu'il y avait un peu plus de femmes que d'hommes, combien y avait-il d'hommes et combien de femmes.
Nous vous proposons le problème suivant : "On souhaite "ajouter" à droite du nombre 579 trois chiffres de manière à ce que le nombre obtenu
(de 6 chiffres) soit divisible par 5 et par 9.
Combien de tels triplets de nombres peut-on ajouter ?"