01. Rivière Casse-cou
Enoncé
Chez le fermier Duverger, le grand-père rend visite aux veaux et aux vaches qui paissent paisiblement dans un champ près de la rivière Casse-cou.
Il s'adresse à son petit neveu :
- Si chaque vache traversait la rivière accompagnée de trois veaux, 12 veaux resteraient de ce côté-ci de la rivière. Si chaque vache était
accompagnée de cinq veaux, il faudrait emprunter 12 veaux aux voisins pour que les vaches puissent traverser.
Combien y a-t-il de veaux dans ce champ ?
Calcul
| Avec | V, le nombre de vaches | v, le nombre de veaux | |
| 3V = v -12 | 5V = v + 12 | 2V = 24 | V = 12 |
| v = 3.12 + 12 | v = 48 | | |
Résultat
Il y a 48 veaux dans ce champ.
02. Jaune et gris
Enoncé
A + A + A = BC
BC + BC + BC = DB |
Jeannot a formé deux égalités avec des carrés gris et jaunes, puis des cercles gris et jaunes. Il dit à un ami :
- Chacune des quatre figures corespond à un chiffre différent. Les deux figures accolées correspondent à un nombre de deux chiffres.
Quelle est la valeur du cercle gris (B) ?
Calcul
| On peut écrire les relations sous la forme | 3A = 10B + C | |
| | 30B + 3C = 10D + B | 29B + 3C = 10D |
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
9 |
| B = dizaines de 3A | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 |
2 | 2 |
| C = unités de 3A | 3 | 6 | 9 | 2 | 5 | 8 | 1 |
4 | 7 |
| D = (29B + 3C)/10 | 0,9 | 1,8 | 2,7 | 3,5 | 4,4 | 5,3 | 6,1 |
7 | 7,9 |
Résultat
Le cercle gris, ou B = 2.
03. Triangles de William
Enoncé
William a dessiné deux rectangles, puis il a tracé des droites à l'intérieur. Il dit à son amie Koralie :
- J'ai compté 19 triangles de toute grandeur dans cette figure. Certains ne coïncident avec aucun triangle ; d'autres coïncident avec un ou plusieurs
triangles. Pourrais-tu me dire si je les ai tous trouvés ?
Une dizaine de minutes plus tard, Koralie revient et dit :
- J'en ai compté plus de 19.
Combien peut-on compter de triangles de toute grandeur dans cette figure ?
Calcul
Pour ce genre de problème on dispose de deux méthodes - 1 - une méthode topologique, celle utilisée par Christophe le jour du cours - 2 - une méthode
de comptage avec un listing systématique. C'était celle d'Alain, le 14 janvier 2019. Voir 506.04.
Topologie
| Triangles simples | ABE, BCG, ADE, BEF, BFG, CGH, DEI, EFJ, FGJ, GHK, EIJ, GJK | 12 |
| Triangles doubles | AEI, BEJ, BGJ, CGK, BEG, EGJ | 6 |
| Triangles triples | ABI, ABJ, BCJ, BCK, AIJ, BIJ, BJK, CJK | 8 |
| Triangles sextuples | ACJ, BIK | 2 |
| Total | | 28 |
Listing systématique
| Avec | AB | AC | AD | AE | AI | BC | BE | BF | BG |
BI | BJ | CG | CJ | DE | EF | EG | EI | FG | GH | GJ |
| ABE
ABI
ABJ | ACJ | ADE | AEI | AIJ | BCG
BCJ
BCK |
BEF
BEG
BEJ | BFG | BGJ | BIJ
BIK | BJK | CGH
CGK | CJK |
DEI | EFJ | EGJ | EIJ | FGJ | GHK | GJK | Total |
| Nombre | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 1 | 1 | 2 |
1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
3x3 + 2x2 + 15
= 28 |
Résultat
Il y a 28 triangles.
