701, Récréations ludiques, Le 28 septembre 2020

7 5 2 8 8
8 8 5 0
5 7 1 7 5
6 3 2 4
4 8 7 6 4
7 5 9 2 5

01. François noircit

Enoncé

François écrit des chiffres dans une grille 6 x 6 et noircit des cases à la façon des Mots croisés.

Remplissez la grille en écrivant les nombres suivants :

28 45 51 57 72 88 175 289 632 746 752 805 885 5647 5873 7592 8764
a b c d e f g h i j k l m n o p q

Calcul

Ordre de l'ajout des nombres : n, p, i, o, d, k, h, q, b, j, a, g, m, l, f. Les nombres c et e sont déjà introduits par les ajouts précédents.

Résultat

Voir tout à droite.

02. Vaches et chevaux

Enoncé

Karmen, Justine et Luigi ont chacun une vache et un cheval. Les vaches s'appellent : Bleuette, Caillette et Rougette. Les chevaux s'appellent Frileux, Merveilleux et Siffleux.

Personnes
Vaches
Chevaux
  1. La vache de Luigi n'est pas Caillette.
  2. Le cheval de Luigi n'est pas Siffleux.
  3. La vache de Justine n'est pas Caillette.
  4. Celui ou celle qui a Merveilleux possède aussi Bleuette.
  5. Celui ou celle qui a Frileux possède aussi Caillette.

Trouvez les noms de la vache et du cheval de chacune des trois personnes.

Calcul

Personnes Karmen Justine Luigi
Vaches a : Caillette 3 : pas Caillette ; d : Rougette 1 : pas Caillette ; 4 : Bleuette
Chevaux 5 : Frileux b : Siffleux 2 : pas Siffleux ; c : Merveilleux

Résultat

Caillette et Frileux pour Karmen ; Rougette et Siffleux pour Justine et ; Bleuette et Merveilleux pour Luigi.

03. Oranges de Paul

Enoncé

Paul a un sac d'oranges. Pour pouvoir donner un tiers du contenu de son sac, il doit retirer deux oranges. Pour pouvoir donner un quart du contenu de son sac, il doit retirer trois oranges. Paul a plus d'oranges que Marie qui en a 11 et moins que Pauline qui en a 35.

Combien Paul a-t-il d'oranges ?

Calcul

Le nombre d'oranges n de Paul est compris entre 11 et 35 (bornes non comprises). 11 < n < 35
n = 3k1 + 2 ou n = 3k1' - 1 14 ; 17 ; 20 ; 23 ; 26 ; 29 ; 32
n = 4k2 + 3 ou n = 4k2' - 1 15 ; 19 ; 23 ; 27 ; 31
Valeur commune aux deux listes : 23
Résolution de Bernard : n + 1 est multiple de 3 et de 4, donc multilple de 12. Entre 11 et 35, on a : 24. n = 24 - 1 = 23

Résultat

Paul a 23 oranges.

04. Bac de Sylvianne

Enoncé

BB + AA + CC = 242
B x A x C = 360

En déposant son bac de récupération sur le trottoir, Sylvianne fut frappée du fait qu'elle avait obtenu son BAC au lycée en travaillant plus fort que cela. Aussi, elle s'empressa d'agencer les lettres B, A, C dans deux égalités. La valeur de B est plus grande que celle de A ; celle de A est plus petite que celle de C ; B n'est pas égal à 9. Deux lettres accolées forment un nombre de deux chiffres. Voici (à droite) ce qu'elle a écrit :

Quelles sont les valeurs de A, de B et de C ?

Calcul

On peut écrire la première égalité sous la forme : 10A + A + 10B + B + 10C + C = 242 11(A + B + C) =242 A + B + C = 22
On peut faire : 22 = 9 + 8 + 5 = 9 + 7 + 6. Les produits correspondants sont : 9.8.5 = 360 ; 9.7.6 = 378
Les valeurs 9, 8 et 5 conviennent. En respectant les inégalités : A = 5 ; B = 8 ; C = 9

Résultat

A = 5 ; B = 8 ; C = 9.

05. Pistoles de Sébastien

Enoncé

S B
+ E B
= A S

Sébastien fouille dans sa tirelire. Il y trouve SB pièces de deux pistoles et EB pièces de trois pistoles. Il fait le compte : AS pièces et 100 pistoles. Chacune des quatre lettres a une valeur différente. Deux lettres accolées forment un nombre de deux chiffes.

Combien y a-t-il de pièces de deux ou de trois pistoles dans la tirelire de Sébastien ?

Calcul

Comptage des pièces 10S + B + 10E + B = 10A + S 9S + 2B + 10E = 10A
Comptage des pistoles 20S + 2B +30E + 3B = 1000 20S + 30E + 5B = 100
De plus S > 0 : E > 0
Avec B = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S = 2B - 10 retenue 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
E = (100 - 20S - 5B)/30 S < 1 fract fract E < 1 E < 1 S < 1 1 E < 1 E < 1 E < 1
A = (9S + 2B + 10E)/10 4
SB = 10S + B 26
EB = 10E + B 16

Résultat

Sébastien a 26 pièces de 2 pistoles et 16 pièces de 3 pistoles.

06. Pommes de Tancrède

Enoncé

100
90
110

Tancrède possède un carré de neuf pommiers. Quand vient le temps de la cueillette, Tancrède prend le temps de compter les pommes en bon état sur chaque arbre. Surprise, Il y a successivement 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110 pommes sur ses arbres. Le nombre de pommes est le même dans chaque rangée horizontale et dans chaque rangée verticale. Tancrède a bien voulu me souffler à l'oreille le nombre de pommes sur trois pommiers. Ces nombres sont inscrits dans le tableau de droite.

Combien y a-t-il de pommes sur chacun des six autres pommiers ?

Calcul

100 50 100 70 100 40 100 80 60 100 50 30 100 80
90 90 90 90 40 80 90 70 50 90
110 70 110 50 110 80 110 40 110 30 70 110 60 40

Résultat

Les deux solutions sont à droite.

07. Edouard et ses jetons

Enoncé

...

Edouard a des jetons de même circonférence. Dans l'une des piles, la hauteur des jetons est de deux centimètres ; dans l'autre, elle est de trois centimètres ; dans la troisième, elle est de cinq centimètres. Edouard veut faire une pile de 15 jetons dont la hauteur est de 59 centimètres. Il doit prendre au moins un jeton par pile et le plus grand nombre possible de jetons de cinq centimètres.

Combien devra-t-il prendre de jetons dans chacune des trois piles ?     Même question, mais avec une pile de 18 jetons.

Calcul

Je ne comprends pas très bien le problème. On ne connait que la hauteur des jetons. Tous ou l'unité ? Je suppose que c'est l'unité, mais alors, ce ne sont plus des jetons, mais des cylindres (sauf s'ils ont un diamètre de plusieurs dizaines de centimètres).

Donc, pour utiliser le maximum de jetons de 5 cm, il faut prendre le minimum de jetons de 2 et de 3 cm. En ayant choisi le nombre de jetons de 5 et de 3, il faut arriver à un total de 57, 55, 53 ...

On peut faire 59 avec 9.5 + 2.3 + 4.2 - Dans ce cas le nombre de jetons est bien : 9 + 2 + 4 = 15.

On peut faire 59 avec 7.5 + 2.3 + 9.2 - Dans ce cas le nombre de jetons est : 7 + 2 + 9 = 18.

Résultat

Pour obtenir 59 avec 15 jetons, il faut en prendre 9 de 5 cm + 2 de 3 cm + 4 de 2 cm. Et pour obtenir 59 avec 18 jetons, il faut en prendre 7 de 5 cm + 2 de 3 cm + 9 de 2 cm.

08. Les pages du dictionnaire

Enoncé

Pour paginer un dictionnaire, il a fallu utiliser 3893 caractères. Combien de pages a ce dictionnaire ? (Toutes les pages en dehors des 4 pages de couverture sont numérotées).

Calcul

Pour numéroter les pages de 1 à 9, il faut 9 x 1 = 9
Pour les pages de 10 à 99 90 x 2 = 180
Pages à 3 caractères de 100 à 999 900 x 3 = 2 700 Total : 9 + 180 + 2 700 = 2 889
Nombre de page à 4 chiffres (3 893 - 2 889)/4 = 251
N° de la dernière page 1 000 + 251 - 1 = 1 250

Résultat

Ce dictionnaire a 1 250 pages.

09. Classe de Sara

Enoncé

353, 4 635, 50 813 sont dilatés
237, 5 044, 5 763 ne sont pas dilatés.

Sara a inventé une nouvelle classe de nombres. Un nombre est dilaté quand deux chiffres voisins ne sont pas identiques (comme 88) ou ne sont pas consécutifs en ordre numérique (comme 23 ou 32). Par exemple, voir ci-contre.

Combien y a-t-il de nombres de cinq chiffres pris entre 1 et 5 tous différents (composés d'un 1, d'un 2, d'un 3, d'un 4 et d'un 5) qui sont dilatés ?

Calcul

Il y a 120 arrangements de 5 objets parmi 5 (= 5!). Ce n'est pas énorme. Par construction, aucun chiffre n'est égal à un autre. Nous n'avons qu' à examiner les écarts entre 2 chiffres consécutifs. On élimine tous les écarts de 1.

Les deux premiers chiffres possibles sont : 13 ; 14 ; 15 ; 24 ; 25 ; 31 ; 35 ; 41 ; 42 ; 51 ; 52 ; 53. Certains de ces arrangements ne permettent pas d'aller jusqu'au bout, comme 15 ; 51. La majorité ne donne qu'un arrangement possible avec les 5 chiffres. Quelques uns donnent deux arrangements possibles, comme 24 ; 31 ; 35 ; 42. En difinitive, il y a 14 solutions :

13524 14253 24135 24153 25314 31425 31524 35142 35241 41352 42513 42531 52413 53142

Résultat

Il y a 14 nombres de cinq chiffres pris enyre 1 et 5, tous différents, qui sont dilatés.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
Aa Combien de 0 sont nécessaires pour paginer un livre de la page 33 à la page 213 ? 6 + 11 + 9 + 11 + 1 Il faut 38 chiffres 0.
Ab
...
Rosalie a écrit les chiffres de 0 à 4 au moyen de cure-dents. quel est le plus grand nombre de trois chiffres qui nécessite 15 cure-dents ?
997 s'écrit avec 6 + 6 + 3 cure-dents
En se limitant aux chiffres 0 à 4,
430 s'écrit avec 4 + 5 + 6 = 15 cure-dents
Le plus grand nombre écrit est : 997.
Le plus grand nombre écrit est : 430.
Ac
D T Q Q
Mathieu a écrit la première lettre de quatre nombres. Trouvez le nombre qui devrait logiquement suivre.
Douze, Treize, Quatorze, Quinze Le nombre qui suit est Seize.
Ad Emmanelle est quatre fois plus âgée que sa petite nièce. Elles ont 51 ans de différence. Quel est l'âge de la petite nièce ? (x + 51)/x = 4 ; x = 17 La petite nièce a 17 ans.
Ba Quelle est la somme des angles intérieurs d'un triangle équilatéral ? 180°
Bb Combien y a-t-il de jours de la semaine qui ont huit lettres ? Mercredi, vendredi, dimanche Trois jours de la semaine ont 8 lettres.
Bc Luc donne les 2/3 de ses macarons. Il lui en reste 12. Combien avait-il de macarons ? 12 x 3 = 36 Luc avait 36 macarons.
Bd Comment appelle-t-on un nombre qui peut-être divisé seulement par lui-même et par 1 ? C'est un nombre premier.
Be Si le 4 juillet d'une année bissextile est un dimanche, quel jour de la semaine est le 4 juillet de l'année suivante ? L'année suivante, le 14 juillet est un lundi.
Bf Combien y a-t-il de voyelles dans le résultat de 132 divisé par 2 ? Soixante quatre Il y a six voyelles.
Bg Comment écrit-on 0,75 en une fraction ordinaire ? 3/4.
Bh Combien y a-t-il de N dans l'ensemble des jours de la semaine ? Lundi, vendredi, dimanche Il y a trois N.
Bi Quelle est la moitié du double de 50 ? C'est 50.
Bj Un bassin qui contient 48 litres d'eau est rempli aux trois quarts. Combien manque-t-il de litres d'eau pour que le bassin soit plein ? 48/3 = 16 Il manque 16 litres.

11. Léon et son vieux camion

Enoncé

Léon est au voalnt de son vieux camion qui a presque roulé 6 000 000 km (ne rigolez pas, en Afrique, j'ai vu des camions aux kilométrages impressionnants). Il regarde son compteur à sept chiffres et se rend compte que le nombre à sept chiffres qui est affiché est un carré. Or, il se souvient qu'il y a exactement 10 ans, 10 mois, 10 jours et dix heures, le nombre qui était alors affiché au compteur de son camion était déjà un carré, mais que chacun des sept chiffres était inférieur d'une unité au chiffre affiché aujourd'hui.

Quel est le kilométrage actuel du camion de Léon ?

Calcul

La solution a été trouvée à l'aide d'Excel. Balayage des nombres n de 1000 à 2211 (dont les carrés valent de 1 000 000 à 4 888 521). On construit ensuite le nombre constitué de chacun des chiffres augmenté de 1, de n2 et on regarde s'il s'agit d'un carré parfait (sauf s'il y a un 9). Il n'y a qu'une solution : 5 973 136 est le carré de 2444 et 4 862 025 est le carré de 2205.

Résultat

Le compteur du camion de Léon indique aujourd'hui 5 973 136 kilomètres.

La solution du prof

Soit a2 le compteur aujourd'hui et b2 le compteur il y a 10 ans.
b2 - a2 = 1 111 111 = (a + b)(a - b) = 239 . 4649     a + b = 4649 et a - b = 239     a = 2444 et b = 2205     a2 = 5 973 136.

12. En pleine inflation

Enoncé

Le Franc, hélas, s'est effondré, et le ministre des Finances produit au Conseil un projet de budget qui se traduit par un nombre astronomique. Trouvant la somme abusive, le Président de la République ordonne :

Mais un de ses collègues, qui a des notions d'arithmétique, lui déclare :

Quel était le chiffre du budget ?

Calcul

Donc on a, deux budgets B1 et B2, avec B2 qui est le tiers de B1. Concernant B2, on connait le chiffre des unités qui est 8. Cela nous permet de calculer le chiffre des unités de B1 (3 fois B2). Ce dernier chiffre est aussi le chiffre des dizaines de B1. Ce qui nous permet de calculer le chiffre des dizaines de B2 et ainsi se suite jusqu'à arriver à un 8 sans retenue, 8 qui est le premier chiffre de B1. On obtient ainsi pour B1 et B2, deux nombres de 28 chiffres.

Retenue 2 121 002 221 110 201 012 200 011 120
B2 2 758 620 689 655 172 413 793 103 448
B1 8 275 862 068 965 517 241 379 310 344

Résultat

Budget initial (B1) : 8 275 862 068 965 517 241 379 310 344 ; Budget final (B2) : 2 758 620 689 655 172 413 793 103 448.

13. Multiple de 11

Enoncé

De combien de manières différentes peut-on placer les chiffres 1, 2, 4, 7 et 9 pour former un nombre de cinq chiffres qui soit multiple de 11 ? (On n'utilise chacun de ces chiffres qu'une fois).

Calcul

A l'aide d'Excel, parmi les 120 arrangements des chiffres 1, 2, 4, 7 et 9, il y a 12 nombres formés qui sont multiples de 11.

Arrangement 12749 12947 14729 14927 72149 72941 74129 74921 92147 92741 94127 94721
Arrangement/11 1159 1177 1339 1357 6559 6631 6739 6811 8377 8431 8557 8611

Résultat

Il y a douze arrangements possibles des chiffres 1, 2, 4, 7, et 9 qui forment des nombres divisibles par onze.