"Les mathématiques sont au savoir ce que la roue est au paon" (proverbe indien).
01. Calcul mental
Enoncé
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
3
4
5
1
2
4
5
1
2
3
2
3
4
5
1
Matamore a écrit les cinq nombres ci-contre et il prétend qu'il peut additionner mentalement ces cinq nombres.
Si vous étiez à sa place comment vous y prendriez-vous ?
Calcul
Il faut remarquer que chaque colonne est constituée des mêmes chiffres dont la somme est : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. On a donc 5 pour le chiffre
des unités de la somme, puis avec le report de la retenue on a 6 sous chacune des autres colonnes, et enfin le 1 de la dernière retenue. La somme est
donc : 166 665.
Résultat
La somme des 5 premiers nombres entiers étant 15, le résulat de l'addition est 1 (dernière retenue), puis 4 fois le chiffre 6 (15 +
1 = 16), puis 5 : 166 665.
02. Tristan et Iseut
Enoncé
Double
Double
Tristan découpe cinq jetons. Il attribue une lettre et une valeur numérique à chaque jeton : A (5), C (3), E (7), I (4), R (2). Il demande à
Iseut de composer un mot dont la deuxième et la quatrième lettre comptent pour le double.
Aidez Iseut à trouver un mot qui contient les cinq lettres données et dont la valeur est 27.
Calcul
Sans doublement, la somme est : 5 + 3 + 7 + 4 + 2 = 21. Il manque 6 pour arriver à 27. La somme 6 est obtenue avec les lettres I et R. Donc I et R
occupent le 2ème et la 4ème place. Le mot recherché est CRAIE.
Résultat
Le mot recherché est : CRAIE.
03. Billes rouges et billes bleues
Enoncé
Rouletabille a deux billes rouges et trois billes bleues. Il les place sur le tableau ci-contre. En voici une représentation possible.
Combien peut-il y avoir de représentations en tout ?
Calcul
Sur le dessin du prof, la 6ème cellule n'est pas fermée. Donc à priori on ne doit pas utiliser cette cellule. Sur les cinq cellules
il y a dix façons d'arranger les deux billes rouges et les trois billes bleues :
Ce sont en fait les combinaisons de 2 parmi 5 ou de 3 parmi 5, ce qui est identique : 5! / 2! / 3! = 10.
Résultat
Il y a 10 représentations en tout.
04. Les neuf facteurs
Enoncé
Il convient d'écrire les nombres de 1 à 9 dans les neuf cases triangulaires de la figure ci-contre (le 1 est déjà
placé), de façon que les produits des trois cases ou des cinq cases d'une même rangée soient ceux indiqué par les flèches.
Calcul
Décomposition en facteurs premiers
48 = 24.3 = 2.4.6 = 2.3.8 = 1.6.8
On a le facteur 2 commun
On voit déjà la place du 1 avec 6 et 8
840 = 23.3.5.7
On voit 5 et 7 qui devraient s'arranger avec 2, 3 et 4
1080 = 23.33.5
On voit le 5 précédent et on devrait pouvoir faire 9 et 4.6.1
1512 = 23.33.7
On voit le 7 et le 9 avec 1.3.8
Voir la solution à droite.
Résultat
ligne 1 : 5 ; ligne 2 : 6, 4, 2 ; ligne 3 : 9, 1, 8, 3, 7.
05. Les cinq escrocs
Enoncé
Cinq escrocs sont accusés de vol. Ils font tous des déclarations, mais deux d'entre elles sont fausses. C'est suffisant pour donner une réponse
décisive à la question qui est coupable ?
A dit : "C'est B le coupable".
B dit : "A ment".
C dit : "D est innocent".
D dit : "E est innocent".
E dit : "D dit la vérité".
Calcul
Hypothèse
Ce que dit A
Ce que dit B
Ce que dit C
Ce que dit D
Ce que dit E
Conclusion
A est coupable
Faux
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Un seul menteur
B est coupable
Vrai
Faux
Vrai
Vrai
Vrai
Un seul menteur
C est coupable
Faux
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Un seul menteur
D est coupable
Faux
Vrai
Faux
Vrai
Vrai
Deux menteurs
E est coupable
Faux
Vrai
Vrai
Faux
Faux
Trois menteurs
Résultat
Le coupable est D.
06. Les fausses pièces d'or et la pesée unique
Enoncé
Aurélien dispose 8 sacs contenant chacun 10 pièces d'or pesant chacune 5 grammes. Cependant, un de ces sacs ne comporte que des fausses pièces
d'or qui ont la caractéristique de ne peser que 4,5 grammes. Il dispose, en outre, d'une balance mono-plateau à affichage numérique, sensible à
0,1 gramme. Elle affiche sur le cadran, la masse de ce qui est posé sur le plateau.
Comment déterminer, en une seule pesée, le sac qui contient les fausses pièces d'or ?
Calcul
Sac n°
1
2
3
4
5
6
7
8
Masse totale si elles étaient toutes vraies
Nombre de billes prélevées
1
2
3
4
5
6
7
8
Masse partielle si les pièces sont vraies
5
10
15
20
25
30
35
40
180
Masse partielle si elles sont fausses
4,5
9
13,5
18
22,5
27
31,5
36
Masse totale si ce sac-là est faux
179,5
179
178,5
178
177,5
177
176,5
176
Résultat
Il faut peser l'ensemble de 1 bille du sac n° 1, 2 billes du sac n°2 , ... 7 billes du sac n° 7 et 8 billes du sac n° 8.
07. Le bon domino
Enoncé
6
1
8
7
5
3
2
9
4
Lequel des trois dominos proposés faut-il placer en bas à droite pour compléter magiquement ce carré ?
Calcul
Le carré magique est constitué de la somme des points de chaque dominos. LA somme de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est 15.
Donc la cellule manquante vaut 4. Le domino à placer ici est le C.
Résultat
Il faut placer en bas à droite le domino C.
Quarante-quatre
Quatorze
Huit
Quatre
Six
Trois
Cinq
?
08. Suite logique
Enoncé
Quel nombre écrit en toutes lettres complète logiquement cette série ?
Calcul
Quatorze est le nombre de lettres de quarante-quatre ; 8 est le nombre de lettres de quatorze; quatorze a 8 lettres ; huit a 4 lettres ; quatre a
6 lettres ; six a 3 lettres ; trois a 5 lettres ; cinq a 4 lettres.
Résultat
Le nombre qui suit est QUATRE.
09. 139 ?
Enoncé
Serez-vous capable d'obtenir 139, à partir de l'égalité reproduite ci-contre ?
Calcul
La transformation n'est pas tout à fait rigoureuse car il y a des tailles différentes d'allumettes. Il nous faut couper une allumette en deux.
Résultat
On obtient 139 par déplacement de quelques allumettes. Correction du professeur : 141 - 2.
10. Carrés presque multiples de 5
Enoncé
Montrez que le carré entier est toujours égal à un multiple de 5 ou un multiple de 5 augmenté ou diminué d'une
unité.
Calcul
Pour cette étude, tous les nombres entiers peuvent se ranger en 5 catégories : 5k - 2 ; 5k -1 ; 5k ; 5k +1 ; 5k + 2.
Catégorie
-2 : (5k - 2)
-1 : (5k - 1)
0 : (5k)
+1 : (5k + 1)
+2 : (5k + 2)
Exemples
3, 8, 13, 18, 23, 28
4, 9, 14, 19, 24, 29
5, 10, 15, 20, 25, 30
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31
2, 7, 12, 17, 22, 27, 32
Valeur du carré
(5k - 2)2 = 25k2 - 20k + 4
(5k - 1)2 = 25k2 - 10k + 1
(5k)2 = 25k2
(5k + 1)2 = 25k2 + 10k + 1
(5k + 2)2 = 25k2 + 20k + 4
Partie multiple de 5
25k2 - 20k
25k2 - 10k
25k2
25k2 + 10k
25k2 + 20k
Décalage par rapport au multiple de 5
4 ou -1
1
0
1
4 ou -1
Résultat
En effet, tous les carrés des nombres entiers sont multiples de 5 à plus ou moins 1 près.
11. Deux petits salaires prometteurs
Enoncé
Stendhal et Sorel sont embauchés en même temps avec un salaire de départ de 10 000 €uros par an. Tous les six mois, la paye de Stendahl augmente
de 500 €uros par rapport à celle de la période de six mois précédente. Tous les ans, la paye de Sorel augmente de 1 600 €uros comparée à celle de
la période de 12 mois précédente.
Au bout de trois ans, qui a gagné le plus ?
Calcul
La première année, Stendhal profite de sa première augmentation au 2ème semestre, soit 1 fois 500 €, qui sont acquis
et vont donc être perçus encore 4 fois pour les années 2 et 3. Total : 5 fois.
La deuxième année, Stendhal reçoit une fois 500 au début de l'année qui vont faire 2 pour toute l'année plus + 1 fois au
2ème semestre. Total : 3 fois plus 2 fois 2 pendant l'année 3. En tout : 7 fois.
La troisième année il reçoit 3 fois les 500 €
Somme de toutes les augmentations reçues par Stendhal en 3 ans : 5 + 7 + 3 = 15 fois 500 = 7 500 €
Les augmentations de Sorel
La première année, Sorel ne reçoit rien de plus que les 10 000 €.
La deuxième année Sorel reçoit 1 fois 1 600 €, qui seront acquis aussi pour la 3ème année. Total : 2 fois.
La troisième année, il reçoit 1 fois de plus.
Somme de toutes les augmentations de Sorel : 3 fois 1 600 = 4 800 €.
Résultat
Au bout de trois ans c'est Stendhal qui a gagné le plus.
12. Echelle pythagoricienne
Enoncé
Lorsque l'échelle de Pythagore est debout (c'est à dire en position verticale) contre le mur du jardin, elle le dépasse de 10 cm. Mais, quand
on écarte son pied de 70 cm, elle arrive juste en haut du mur.
Quelle est donc la longueur de l'échelle ?
Calcul
soit x en cm la longueur de l'échelle. La hauteur du mur est (x - 10). Avec l'échelle inclinée on forme un triangle rectangle.
(x - 10 )2 + 702 = x2 ; x2 - 20x + 100 + 4900 = x2
; x = 250.