617, Tristan et Iseut, Le 27 avril 2020

"Les mathématiques sont au savoir ce que la roue est au paon" (proverbe indien).

01. Calcul mental

Enoncé

1 2 3 4 5
5 1 2 3 4
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
2 3 4 5 1

Matamore a écrit les cinq nombres ci-contre et il prétend qu'il peut additionner mentalement ces cinq nombres.

Si vous étiez à sa place comment vous y prendriez-vous ?

Calcul

Il faut remarquer que chaque colonne est constituée des mêmes chiffres dont la somme est : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. On a donc 5 pour le chiffre des unités de la somme, puis avec le report de la retenue on a 6 sous chacune des autres colonnes, et enfin le 1 de la dernière retenue. La somme est donc : 166 665.

Résultat

La somme des 5 premiers nombres entiers étant 15, le résulat de l'addition est 1 (dernière retenue), puis 4 fois le chiffre 6 (15 + 1 = 16), puis 5 : 166 665.

02. Tristan et Iseut

Enoncé

Double Double

Tristan découpe cinq jetons. Il attribue une lettre et une valeur numérique à chaque jeton : A (5), C (3), E (7), I (4), R (2). Il demande à Iseut de composer un mot dont la deuxième et la quatrième lettre comptent pour le double.

Aidez Iseut à trouver un mot qui contient les cinq lettres données et dont la la valeur est 27.

Calcul

Sans doublement, la somme est : 5 + 3 + 7 + 4 + 2 = 21. Il manque 6 pour arriver à 27. La somme 6 est obtenue avec les lettres I et R. Donc I et R occupent le 2ème et la 4ème place. Le mot recherché est CRAIE.

Résultat

Le mot recherché est : CRAIE.

03. Billes rouges et billes bleues

Enoncé

Rouletabille a deux billes rouges et trois billes bleues. Il les place sur le tableau ci-contre. En voici une représentation possible.

Combien peut-il y avoir de représentations en tout ?

Calcul

Sur le dessin du prof, la 6ème cellule n'est pas fermée. Donc à priori on ne doit pas utiliser cette cellule. Sur les cinq cellules il y a dix façons d'arranger les deux billes rouges et les trois billes bleues :

Ce sont en fait les combinaisons de 2 parmi 5 ou de 3 parmi 5, ce qui est identique : 5! / 2! / 3! = 10.

Résultat

Il y a 10 représentations en tout.

04. Les neuf facteurs

...

Enoncé

Il convient d'écrire les nombres de 1 à 9 dans les neuf cases triangulaires de la figure ci-contre (le 1 est déjà placé), de façon que les produits des trois cases ou des cinq cases d'une même rangée soient ceux indiqué par les flèches.

Calcul

Décomposition en facteurs premiers 48 = 24.3 = 2.4.6 = 2.3.8 = 1.6.8
On a le facteur 2 commun On voit déjà la place du 1 avec 6 et 8
840 = 23.3.5.7 On voit 5 et 7 qui devraient s'arranger avec 2, 3 et 4
1080 = 23.33.5 On voit le 5 précédent et on devrait pouvoir faire 9 et 4.6.1
1512 = 23.33.7 On voit le 7 et le 9 avec 1.3.8
Voir la solution à droite.

Résultat

ligne 1 : 5 ; ligne 2 : 6, 4, 2 ; ligne 3 : 9, 1, 8, 3, 7.

05. Les cinq escrocs

Enoncé

Cinq escrocs sont accusés de vol. Ils font tous des déclarations, mais deux d'entre elles sont fausses. C'est suffisant pour donner une réponse décisive à la question qui est coupable ?

Calcul

Hypothèse Ce que dit A Ce que dit B Ce que dit C Ce que dit D Ce que dit E Conclusion
A est coupable Faux Vrai Vrai Vrai Vrai Un seul menteur
B est coupable Vrai Faux Vrai Vrai Vrai Un seul menteur
C est coupable Faux Vrai Vrai Vrai Vrai Un seul menteur
D est coupable Faux Vrai Faux Vrai Vrai Deux menteurs
E est coupable Faux Vrai Vrai Faux Faux Trois menteurs

Résultat

Le coupable est D.

06. Les fausses pièces d'or et la pesée unique

Enoncé

Aurélien dispose 8 sacs contenant chacun 10 pièces d'or pesant chacune 5 grammes. Cependant, un de ces sacs ne comporte que des fausses pièces d'or qui ont la caractéristique de ne peser que 4,5 grammes. Il dispose, en outre, d'une balance mono-plateau à affichage numérique, sensible à 0,1 gramme. Elle affiche sur le cadran, la masse de ce qui est posé sur le plateau.

Comment déterminer, en une seule pesée, le sac qui contient les fausses pièces d'or ?

Calcul

Sac n° 1 2 3 4 5 6 7 8 Masse totale
si elles étaient
toutes vraies
Nombre de billes prélevées 1 2 3 4 5 6 7 8
Masse partielle si les pièces sont vraies 5 10 15 20 25 30 35 40 180
Masse partiell si elles sont fausses 4,5 9 13,5 18 22,5 27 31,5 36
Masse totale si ce sac-là est faux 179,5 179 178,5 178 177,5 177 176,5 176

Résultat

Il faut peser l'ensemble de 1 bille du sac n° 1, 2 billes du sac n°2 , ... 7 billes du sac n° 7 et 8 billes du sac n° 8.

07. Le bon domino

Enoncé

...
6 1 8
7 5 3
2 9 4

Lequel des trois dominos proposés faut-il placer en bas à droite pour compléter magiquement ce carré ?

Calcul

Le carré magique est constitué de la somme des points de chaque dominos. LA somme de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est 15. Donc la cellule manquante vaut 4. Le domino à placer ici est le C.

Résultat

Il faut placer en bas à droite le domino C.

Quarante-quatre
Quatorze
Huit
Quatre
Six
Trois
Cinq
?

08. Suite logique

Enoncé

Quel nombre écrit en toutes lettres complète logiquement cette série ?

Calcul

Quatorze est le nombre de lettres de quarante-quatre ; 8 est le nombre de lettres de quatorze; quatorze a 8 lettres ; huit a 4 lettres ; quatre a 6 lettres ; six a 3 lettres ; trois a 5 lettres ; cinq a 4 lettres.

Résultat

Le nombre qui suit est QUATRE.

09. 139 ?

Enoncé

...

Serez-vous capable d'obtenir 139, à partir de l'égalité reproduite ci-contre ?

Calcul

La transformation n'est pas tout à fait rigoureuse car il y a des tailles différentes d'allumettes. Il nous faut couper une allumette en deux.

Résultat

On obtient 139 par déplacement de quelques allumettes. Correction du professeur : 141 - 2.

10. Carrés presque multiples de 5

Enoncé

Montrez que le carré entier est toujours égal à un multiple de 5 ou un multiple de 5 augmenté ou diminué d'une unité.

Calcul

Pour cette étude, tous les nombres entiers peuvent se ranger en 5 catégories : 5k - 2 ; 5k -1 ; 5k ; 5k +1 ; 5k + 2.

Catégorie -2 : (5k - 2) -1 : (5k - 1) 0 : (5k) +1 : (5k + 1) +2 : (5k + 2)
Exemples 3, 8, 13, 18, 23, 28 4, 9, 14, 19, 24, 29 5, 10, 15, 20, 25, 30 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32
Valeur du carré (5k - 2)2 = 25k2 - 20k + 4 (5k - 1)2 = 25k2 - 10k + 1 (5k)2 = 25k2 (5k + 1)2 = 25k2 + 10k + 1 (5k + 2)2 = 25k2 + 20k + 4
Partie multiple de 5 25k2 - 20k 25k2 - 10k 25k2 25k2 + 10k 25k2 + 20k
Décalage par rapport au multiple de 5 4 ou -1 1 0 1 4 ou -1

Résultat

En effet, tous les carrés des nombres entiers sont multiples de 5 à plus ou moins 1 près.

11. Deux petits salaires prometteurs

Enoncé

Stendhal et Sorel sont embauchés en même temps avec un salaire de départ de 10 000 €uros par an. Tous les six mois, la paye de Stendahl augmente de 500 €uros par rapport à celle de la période de six mois précédente. Tous les ans, la paye de Sorel augmente de 1 600 €uros comparée à celle de la période de 12 mois précédente.

Au bout de trois ans, qui a gagné le plus ?

Calcul

La première année, Stendhal profite de sa première augmentation au 2ème semestre, soit 1 fois 500 €, qui sont acquis et vont donc être perçus encore 4 fois pour les années 2 et 3.
Total : 5 fois.
    La deuxième année, Stendhal reçoit une fois 500 au début de l'année qui vont faire 2 pour toute l'année plus + 1 fois au 2ème semestre.
    Total : 3 fois plus 2 fois 2 pendant l'année 3. En tout : 7 fois.
    La troisième année il reçoit 3 fois les 500 €
    Somme de toutes les augmentations reçues par Stendhal en 3 ans : 5 + 7 + 3 = 15 fois 500 = 7 500 €
    Les augmentations de Sorel
La première année, Sorel ne reçoit rien de plus que les 10 000 €.
La deuxième année Sorel reçoit 1 fois 1 600 €, qui seront acquis aussi pour la 3ème année. Total : 2 fois.
La troisième année, il reçoit 1 fois de plus.
Somme de toutes les augmentations de Sorel : 3 fois 1 600 = 4 800 €.

Résultat

Au bout de trois ans c'est Stendhal qui a gagné le plus.

12. Echelle pythagoricienne

Enoncé

Lorsque l'échelle de Pythagore est debout (c'est à dire en position verticale) contre le mur du jardin, elle le dépasse de 10 cm. Mais, quand on écarte son pied de 70 cm, elle arrive juste en haut du mur.

Quelle est donc la longueur de l'échelle ?

Calcul

soit x en cm la longueur de l'échelle. La hauteur du mur est (x - 10). Avec l'échelle inclinée on forme un triangle rectangle.
(x - 10 )2 + 702 = x2    ;    x2 - 20x + 100 + 4900 = x2    ;    x = 250.

Résultat

La longueur de l'échelle est de 2 mètres 50.