615, A la chaumière de Luchon par la nationale 66, Le 13 avril 2020

01. Nationale 66

Enoncé

La numérotation des immeubles est un système permettant d'assigner un nombre unique à un bâtiment donné d'une voie de circulation urbaine afin d'en faciliter la localisation. Dans le système de numérotation métrique, le nombre affecté à une propriété représente la distance (en mètres) qui sépare le bâtiment du début de la voie.

Le numéro de la résidence de la famille Wilson, sur la Route Nationale 66, est un nombre de cinq chiffres qui peut être trouvé au moyen des indices suivants :

  1. Le deuxième chiffre a trois unités de plus que le premier.
  2. Le troisième chiffre a cinq unités de moins que le deuxième.
  3. Le quatrième chiffre est la somme des deux précédents.
  4. Le cinquième chiffre a trois unités de moins que le premier.
  5. La somme des cinq chiffres est supérieure à 20.

Quelle est la distance séparant la résidence de la famille Wilson du début de la Route Nationale 66 ?

Calcul

1er ch 2ème ch 3ème ch 4ème ch 5ème ch
x x + 3 x - 2 2x + 1 x - 3
4 7 2 9 1

Avec x, la valeur du 1er chiffre du nombre à chercher,
Les valeurs des chiffres suivants sont celles du tableau de droite.
Le 5ème chiffre ; x - 3 ; implique que ; x soit >= 3,
Mais par ailleurs, la somme des 5 chiffres vaut : 6x - 1 > 20 ; x > 3 ; strictement.
La valeur du 4ème doit être inférieure à 10 : 2x + 1 < 10 ; 2x < 9 ; x < = 4 ; Donc x = 4.

Résultat

La distance séparant la résidence de la famille Wilson du début de la Route Nationale est : 47,291 km.

02. Caractères spéciaux

Enoncé

& ° ° 18
& ] 15
& ] < 12
12 18 15

On dessine cinq caractères spéciaux dans la grille 3 sur 3 représentée ci-contre. Chaque caractère correspond à un chiffre différent de 3 à 7. La somme de chaque ligne est donnée à droite et celle de chaque colonne en bas.

Reconstituez le tableau.

Calcul

4 7 7
4 6 5
4 5 3

La 1ère colonne nous suggère que : 3& = 12 ; & = 4
La 1ère ligne nous entraine vers : 2° = 18 - 4 ; ° = 7
Avec €, ] et < on a un système de 2 équations à 3 inconnues ; compte tenu des chiffres disponibles restants qui sont 3, 5 et 6,
5 + 6 = 11 sont attribués à € et ], il reste 3 pour <

Résultat

& = 4 ; ° = 7 ; < = 3 ; ] = 5 et € = 6.

03. Bon anniversaire

Enoncé

Quatre familles se réunissent pour fêter un anniversaire de naissance.

Liste des pères : François Gilbert Jean Roger
Liste des mères Aline Claire Lucie Véronique
Liste des fils Benoît Christian David Marc
Liste des filles Elise France Gabrielle Lorraine
  1. Chaque famille est composée de deux enfants : un garçon et une fille.
  2. Le conjoint de Claire n'est ni Gilbert, ni Roger.
  3. Marc et France sont frère et sœur. Leur père n'est pas François.
  4. David est le fils de François. Il n'est le fils ni d'Aline, ni de Claire.
  5. Elise est la fille d'Aline et n'est pas la sœur de Christian.
  6. Roger est le père de Lorraine. Il n'est le conjoint, ni d'Aline, ni de Lucie.

Pour chaque couple parental, quels sont les noms de leur fils et de leur fille ?

Al Cl Luc Vér Ben Ch Dav Marc El Fr Gab Lor
François c 4 3 3 g
Gilbert d l k f
Jean e j h
Roger a k 6
Elise 5 5
France h 3
Gabrielle i
Lorraine b
Benoit
Christian k
David 4 4 c
Marc

Calcul

a. (2, 6) Roger et Véronique sont ensemble.
b. (a, 6) Véronique est la mère de Lorraine.
c. (4) David fils de François mais pas de Aline, ni Claire. Donc François pas mari de Aline ou Claire.
Véronique est prise. François est le mari de Lucie.
d. (2) Lucie et Véronique sont prises, Glibert pas avec Claire, donc avec Aline.
e. Il reste Jean et Claire.
f. (5, d) Elise fille de Gilbert.
g. (3, 6, f) François pas père de France, Elise ou Lorraine. François père de Gabrielle.
h. Il reste France fille de Jean et Claire.
i. Il reste Gabrielle fille de Lucie.
j. (h, 3) Marc fils de Jean et Claire
k. (5) Aline pas sœur de Christian. Christian pas fils d'Aline, pas fils de Gilbert.
Christian est fils de Roger.
l. Il reste Benoit, fils de Gilbert.

Résultat

Les 4 familles sont : François, Lucie, David, Gabrielle - Gilbert, Aline, Benoit, Elise - Jean, Claire, Marc, France - Roger, Véronique, Christian, Lorraine.

04. Cambriolages en série

Enoncé

Plusieurs vols ont été commis au Palace Hôtel. Afin de mieux comprendre ce qui se passe, le docteur Watson choisit de prendre une chambre et de s'y installer quelque temps. Alors qu'il se lave les mains dans la salle de bains, Watson entend frapper à la porte. Il se rince la bouche pour pouvoir aller ouvrir sa porte, mais il n'a pas eu le temps de finir qu'un jeune homme est déjà entré dans sa chambre. En apercevant Watson, le jeune homme, surpris, présente ses excuses expliquant qu'il s'est tout simplement trompé de chambre, la sienne étant juste à côté. Tandis qu'il referme tranquillement la porte de la chambre, Watson se précipite vers lui, persuadé qu'il s'agit du coupable.

Pourquoi Watson veut-il interroger le jeune homme ?

Résultat

Watson veut interroger le jeune homme car il y a une contradiction dans son exposé. Pourquoi a-t-il frappé puisqu'il était persuadé d'entrer dans sa propre chambre ?

05. Les cinq aigrefins

Enoncé

Cinq escrocs sont suspectés d'avoir commis un cambriolage à deux. Ils font tous des déclarations, mais trois d'entre elles sont fausses. Les trois menteurs sont innocents du vol.

Qui sont les deux coupables ?

Calcul

Si B était coupable, il dirait vrai et donc A et C seraient aussi coupables. Il y aurait trois coupables. Donc B n'est pas coupable.
A dit que B est innocent ce qui est vrai, donc A est coupable. Donc il faut chercher le 2ème parmi C, D et E.
Si C est coupable, il dit vrai : D est coupable. Cela fait deux autre coupables. Donc C n'est pas coupable.
Si D est coupable, il dit vrai en affirmant que C dit vrai, c'est à dire que D est coupable. D'accord. Mais alors E doit être innocent et il ment en disant que C est innocent, c'est à dire que C est coupable. Encore un coupable de trop.
Si E est coupable, il dit vrai, donc C est innocent. Cette hypothèse est compatible.

Résultat

Les deux coupables sont : A et E.

...

06. Pluie d'étoiles

Enoncé

Combien d'étoiles distinguez-vous dans la figure ci-contre ?

Calcul

On distingue huit étoiles noires. Il y en a une avec seulement deux branches, non comptée.
Il y a sept étoiles blanches.
Il y a cinq étoiles bleues.

Résultat

20 étoiles sont dénombrées.

07. Triangles de boules

Enoncé

...

Déplacez deux boules pour inverser la pointe du triangle.

Résultat

...

08. Trouvez le domino manquant

Enoncé

...

Quel domino manque dans cette suite ?

Résultat

On obtient la ligne inférieure en prenant le symétrique de la ligne supérieure par rapport à un axe vertical. A remarquer que même la diagonale du trois a été inversée. Donc dans l'image restituée du domino manquant, la diagonale du deux a aussi été inversée.

...
4 1 2 1 3 2 4
3 1 2 3 2 4 1
1 2 1 2 5
2 4 5 3 1 1 2
3 1 2 3 2 1
1 5 3 4 7 2 6
2 2 5 1
3 4 1 4 2 3
4 6 2 1 2

09. Yakazu

Enoncé

Il s'agit d'insérer les chiffres dans les cases blanches de la grille ci-contre (9x9). Chaque groupe de cases blanches (entre les bords de la grille et ou les cases noires) détermine un nombre. Ce nombre est constitué de chiffres différents, consécutifs, mais non ordonnés, à partir de 1. Ainsi un groupe de 2 cases consécutives contient les chiffres 1 et 2. Un groupe de 3 cases consécutives contient les chiffres 1, 2 et 3 ...

Résultat

Une des solutions possibles : On doit d'abord commencer par les plus courts, surtout s'ils se croisent.

10. Cinq poids, deux mesures

Enoncé

...

Robert possède cinq masses A, B, C, D et E toutes différentes les unes des autres, pesant des nombres entiers de kilogrammes, de 1 kg à 5 kg. Avec une balance, Robert constate que :

Quelles est la valeur de chaque masse ?

Calcul

Les deux équations sont : A + B > C + D + E et B + C = E
Il faut que A et B soient le plus grand possible.
Essayons avec 5 + 4 = 9 pour A et B ; il reste 1 + 2 + 3 = 6 pour C, D et E ; (6 < 9 ; bien) . Mais B + C = 5 ou 6 ou 7 ou 6 ou 7 ou 8 tous différents de 1, 2 ou 3.
Essayons avec 5 + 3 = 8 pour A et B ; il reste 1 + 2 + 4 = 7 pour C, D et E ; (7 < 8 ; bien). On peut obtenir 4 avec 3 + 1. Donc : E = 4 ; C = 1 ; B = 3 ; A = 5 ; D = 2

Résultat

A = 5 ; B = 3 ; C = 1 ; D = 2 ; E = 4.

11. Cinq doublons d'or

Enoncé

...

"A l'exercice !" hurla, soudainement mais frénétiquement, le pirate Barberousse. Il aimait bien tenir en alerte l'esprit de ses hommes d'équipage. Ne serait-ce que pour être sûr qu'ils en avaient encore un. Alors, il leur montra quatre pièces d'or, toutes identiques, des doublons d'Espagne.

"Ce que j'attends de vous, c'est de placer ces quatre pièces de façon a ce qu'elles soient équidistantes". Devant l'attitude consternée de son équipage, Barberousse s'expliqua : "Ce que je veux dire, c'est que la distance entre deux pièces quelles qu'elles soient, doit être la même que celle entre deux autres pièces quelles qu'elles soient."

A la grande surprise du capitaine, le second remarqua immédiatement que travailler dans le plan ne suffisait pas et que la solution du problème requérait l'utilisation de la troisième dimension. Il justaposa trois pièces en triangle et plaça la quatrième au sommet de ce socle. Toutes les pièces se touchant, leurs distances mutuelles étaient toutes nulles, donc égales.

...

Barberousse, un tantinet déçu et légèrement décontenancé, réfléchit un instant et s'exclama : "Tu te crois fort, hein ? Alors, essaye un peu avec cinq pièces pour voir ... Cinq pièces toutes équidistantes les unes des autres !". Ce ne fut pas facile, mais pourtant, le second finit par trouver une solution.

Avez-vous une idée de la manière dont il a procédé ?

Résultat

La solution trouvée est un exercice d'équilibre. On pourrait améliorer la stabilité en plaçant d'abord les quatre sur la tranche sur une table, puis en posant la cinquième au-dessus.

12. La chaumière de Luchon

Enoncé

Pour admirer le site de Luchon, je voudrais monter à la chaumière. On peut y aller à pied ou en funiculaire. Le départ du funiculaire se trouve à 20 mètres au-dessus de Luchon. Sa vitesse est de 30 mètres par minute. A pied, je parcours 5 mètres par minute à la montée et 20 mètres par minute à la descente. Il est 9 h 50 min et je dois être redescendu pour midi. Si je prends le funiculaire, je pourrai passer en haut deux fois plus de temps, mais si j'y vais à pied ce sera un bon exercice. J'hésite ... Mais dites-moi d'abord à quelle altitude se trouve la chaumière , sachant que Luchon est à 600 mètres d'altitude ?

Calcul

Temps aller et retour à pied de Luchon au départ du funiculaire : 20/5 + 20/20 = 4 + 1 = 5 mn
Durée totale disponible hors trajet Luchon au funiculaire : (12h00 - 9h50) ; 130 - 5 = 125 minutes
Avec x le dénivelé du funiculaire, durée aller et retour : 2x/30 = x/15
Durée "funiculaire", à pied, aller et retour : x/20 + x/5 = x/4
Le temps passé en haut est double avec le funiculaire : 125 - x/15 = 2(125 - x/4) x = 3750/13 ≅ 288,46
Altitude de la Chaumière : 600 + 288,5 = 888,5 mètres.

Résultat

La Chaumière est à une altitude de 888,5 mètres.