614, Probabilités, Le 30 mars 2020

01. Jeu de dés

Enoncé

Gabriel a deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Si Gabriel jette les deux dés et additionne les valeurs des deux faces, quelle est la valeur la plus probable pour cette somme ?

Calcul

Liste des combinaisons et sommes possibles :

La somme 7, dans la diagonale, est obtenue 6 fois.

Résultat

Pour la somme, c'est la valeur 7 qui apparaittra le plus souvent, mais avec une probabilité de 6/36 = 1/6 seulement.

02. Dés pipés

Enoncé

Karim dispose de trois dés à six faces dont une face affiche un 1, deux faces des 2, et trois faces des 3.

Quelle est la probabilité pour qu'en lançant ces trois dés, la somme des chiffres obtenus donne 8 ?

Calcul

A partir des chiffres 1, 2 et 3 on ne peut obtenir la somme de 8 qu'avec 2 + 3 + 3
Avec ces dés "pipés", la probabilité d'apparition du 2 est de 2/6 = 1/3
La probabilité d'apparition du 3 est de 3/6 = 1/2
La probabilité d'obtenir les chiffres 2, 3 et 3 avec chacun des 3 dés est : 1/3 x 1/2 x 1/2 = 1/12
Mais on peut aussi faire 3 avec le 1^er dé, puis 2 puis 3, ou bien 3 puis 3 puis 2
On a donc 3 chances sur 12 d'obtenir la somme de 8, c'est à dire 1 chance sur 4.
Le nombre total de possibilités est 6³ = 216. La somme 8 apparaitra 54 fois.

Résultat

On a une chance sur 4 d'obtenir une somme égale à 8.

03. Dés tricolores

Enoncé

Nous disosons de trois dés de couleurs différentes. Un dé est rouge. Le second est vert et le troisième jaune. On lance simultanément ces trois dés qui sont (chacun) marqués sur leurs faces, des valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Si le lancer donne au moins deux fois le même chiffre, vous avez gagné. Sinon, vous avez perdu. Si vous avez gagné, vous empochez 1 €uro. Si vous avez perdu, vous déboursez 1 €uro. On procède à 36 lancers.

Pensez-vous qu'à la fin vous aurez plus d'argent qu'avant l'opération ou moins ?

Calcul

On doit faire le calcul à partir des cas défavorables.
A partir d'un chiffre quelconque donné par le 1^er dé, on a 5 chances sur 6 d'obtenir un chiffre différent avec le 2^ème dé.
Le troisième dé a 4 chances sur 6 (= 2/3) de donner un chiffre différent des deux autres.
On a donc (5/6)(2/3) = 10/18 = 5/9 possibilités de perdre et 1 - 5/9 = 4/9 possibilités de gagner.
Ce résultat est confirmé par Excel. Sur 500 groupes de 36 tirages aléatoires (180 000 tirages), la moyenne globale des cas favorables est 4,04 sur 9. Au niveau de chaque groupe de 36 : on a perdu 347 fois, on est à égalité 50 fois et on a gagné 103 fois.

Résultat

A la fin des 36 lancers on aura perdu en moyenne 4(5 - 4) = 4 €uros.

04. Fontillac au Canada

Enoncé

Nous sommes en l'an de grâce 1613. Jacques-René-François-Xavier de Fontillac se promène tranquillement dans les environs d'Hochelaga (aujourd'hui Montréal) lorsqu'une bande d'indiens Peaux-Rouges fond sur lui et s'empare de sa personne. Ils le jettent dans un tipi.

Lorsqu'il fut revenu de sa surprise, il se prit à réfléchir sur son avenir qu'il pressentait assez sombre. "Il y a, ici, des Sioux, des Algonquins (deux fois plus nombreux que les Sioux) et des Mohicans (deux fois plus nombreux que les Algonquins)" se dit-il à lui-même.

Et il poursuivit son soliloque par la pensée suivante : "Je sais que les Sioux massacrent systématiquement tous leurs prisonniers dès la première nuit de captivité, que les Algonquins ne le font qu'une fois sur deux et que les Mohicans une fois sur quatre. Quelle angoisse !"

Le lendemain matin, notre héros, Jacques-René-François-Xavier de Fontillac était toujours vivant. Non seulement, il était toujours vivant, mais il fut même libéré.

Quelle est la probabilité qu'il ait été le prisonner des Mohicans ?

Calcul

Le raisonnement va être discutable, car les tribus sont en partie groupées. Mais le principe du problème est de raisonner sur l'ensemble des Indiens comme s'ils étaient uniformément mélangés. Donc pour un Sioux, on a 2 Algonquins et 4 Mohicans. Donc on a 4 Mohicans pour 7 indiens. Donc JRFX de Fontillac a 4 chances sur 7 de rencontrer un Mohicans.

Le massacre par les Sioux a lieu dans tous les cas dès la première nuit. Donc on peut exclure les Sioux.
Le massacre par les Algonquins a lieu 1/2 des 2/7, donc globalement 1/7, c'est à dire épargné 1/7.
Le massacre par les Mohicans a lieu 1/4 des 4/7, donc globalement 1/7, c'est à dire émargné 3/7.
1/7 + 3/7 = 4/7 ; (3/7)/(4/7) = 3/4.

Résultat

Il y a 3 chances sur 4 (0,75) que JRFX de Fontillac ait été fait prisonnier des Mohicans.

05. Dans les petits papiers

Enoncé

On écrit 1, 2, 3, 4 sur quatre petits papiers que l'on place dans une boîte. Si l'on tire au hasard deux de ces papiers, quelle est la probabilité pour que la somme des deux chiffres soit un multiple de trois ?

Calcul

Liste des tirages possibles des petits papiers.

Donc on a 2 sommes multiples de 3 (y compris 3 lui-même), pour 6 possibilités.

Résultat

On a une chance sur 3 d'avoir une somme multiple de trois.

06. Les 3 commodes

Enoncé

Nous allons, maintenant, utiliser le concours de Shéhérazade qui ne dédaigne pas d'opérer dans le domaine des probabilités.

"Noble roi, commença-t-elle, Abdoul le joailler possédait 3 commodes à tiroirs ; chaque commode avait 2 tiroirs. Dans la première commode, chaque tiroir contenait un rubis. Dans la deuxième commode, chaque tiroir contenait une émeraude. Dans la troisième commode, un tiroir contenait un rubis et l'autre une émeraude. Supposons que vous choisissiez l'une de ces commodes au hasard, que vous ouvriez l'un des tiroirs et que vous y trouviez un rubis. Quelle est la probabilité pour que l'autre tiroir contienne aussi un rubis ?

• Laisse-moi réfléchir, dit le roi. Les chances sont de cinquante pour cent. Parce qu'une fois que tu as ouvert un tiroir et trouvé un rubis, la commode contenant les deux émeraudes étant éliminée d'office, tu as donc affaire ou bien à la commode mixte ou bien à la commode des deux rubis, et les chances sont égales.

Le roi avait-il raison ?

Calcul

A la première réflexion, la tentation est en effet grande de dire qu'il y a une chance sur deux. Cependant, même si on élimine les cas où au premier choix on trouve une émeraude, ce premier choix a tout de même une influence. En effet, il y a deux possibilités, et ce n'est pas la même chose d'avoir choisi la commode RE que la commode RR.

En fait il faut raisonner au niveau du tiroir. On a six tiroirs qui contiennent chacun un bijou mais globalement il y a 3 rubis et 3 émeraudes. On a une chance sur 2 de trouver une émeraude et on élimine. La deuxième chance sur deux est de trouver un rubis. Dans ce deuxième cas, quel est le contenu de l'autre tiroir ? Réponse : une fois sur trois ce sera une émeraude et deux fois sur trois ce sera un rubis.

Résultat

Le roi a tort. Deux fois sur trois le contenu du deuxième tiroir sera un rubis, si le premier contenait bien un rubis.

07. Les 10 commodes

Enoncé

Il fallut un certain temps pour convaincre le roi que la bonne réponse à ce dernier problème n'était pas celle qu'il croyait, mais elle y parvint.

"J'ai pensé à un problème similaire, dit Shéhérazade. Supposons, maintenant, qu'il y ait 10 commodes au lieu de trois et que chacune soit dotée de trois tiroirs. Chacun de ces trente tiroirs contiendrait un diamant ou une émeraude ou encore un rubis. Les pierres seraient disposées de la manière suivante :

(Vous vous en doutez, D représente un diamant, E une émeraude et R un rubis : par exemple, la commode 4 contient 1 diamant et 2 émeraudes, tandis que la commode 7 contient 2 émeraudes et 1 rubis ; il y a donc 10 joyaux de chaque sorte, distribués de dix manières possibles).

Vous ouvrez l'un des trente tiroirs au hasard et trouvez un diamant. Puis vous ouvrez un autre tiroir de la même commode.

Quelle est la probabilité pour qu'il contienne également un diamant ?

Calcul

On doit passer en revue les réponses pour chacun des 30 tiroirs.

On trouve :

10 tiroirs qui ont un diamant. Ce sont les tiroirs 1a, 1b, 1c, 2a, 2b, 3a, 3b, 4a, 5a et 6a.
Le 1^er diamant tiré, il y a 2 façons d'ouvrir le 2^ème tiroir (le n° 2 ou le n° 3). D'où 20 possibilités.
Parmi ces 10 tiroirs (qui contiennent un diamant), on peut exclure ceux des commodes 4, 5 et 6 qui n'ont pas de 2^ème diamant.
Il reste 2 cas, celui des commodes 2 et 3 (qui contiennent 2 diamants) et celui de la commode 1 (qui en contient 3).
Pour chacune des commodes 2 et 3, on a une chance sur 2 d'avoir le 2^ème diamant. Donc, pour les 8 possibilités (2a avec 2b, 2a avec 2c, 2b avec 2a, 2b avec 2c, idem avec la commode 3) des 2 commodes 2 et 3, il y a 4 cas favorables.
Pour la commode 1, les cas favorables sont de 100 %. Le nombre de possibilités est 6 (1a avec 1b, 1a avec 1c, 1b avec 1a, 1b avec 1c, 1c avec 1a, 1c avec 1b), donc 6 cas favorables.
Nombre total de cas favorables : 6 + 4 = 10. Ramené aux 20 possibilités, cela donne une chance sur deux.

Résultat

Il y a 1 chance sur 2 d'ouvrir un deuxième tiroir qui a un diamant, lorsqu'on a déjà ouvert un premier tiroir avec un diamant.

08. Histoires de chats

Enoncé

08.a

"Voici une autre énigme, dit Shéhérazade. Un homme possède deux chats dont l'un au moins est un mâle. Quelle est la probabilité pour que tous les deux soient mâles ?

• C'est évident !", se gaussa le roi.

Quelle est la réponse ?

08.b

"Une autre. Un homme possède deux chats, un blanc et un noir. Le chat noir est un mâle. Quelle est la probabilité pour que tous les deux soient mâles ?

• De toute évidence, la réponse est la même que pour le problème précédent. La couleur n'y change rien !"

Le roi avait-il raison ?

Calcul

08a

Parmi les possibilités d'association de deux chats il y en a quatre : MM, MF, FM , FF
La possibilité FF est à exclure puisque, un des chats est mâle. Il reste 3 possibilités, avec une seule combinaison MM.

08b

Dans la question précédente il s'agissait d'un des chats. Ici, le chat noir est mâle, il ne peut pas être femelle.
Donc il n'y a que deux possibilités : le 2^ème chat est soit mâle, soit femelle.

Résultat

On a une chance sur trois d'avoir deux chats mâles pour la première question. Pour la deuxième question il n'y a qu'une chance sur deux d'avoir deux mâles.

09. Encore une émeute ?

Enoncé

Voici une histoire que nous avons déjà envisagée sous une autre forme sous le titre de "Emeute à Polytecnique". La voici. Elle engendre toujours des discussions âpres.

Supposons que je vous propose trois boîtes identiques, mais marquées, respectivement, A, B et C. L'une d'entre elles (et une seule) contient une récompense. Les deux autres sont vides. Moi, qui suis le meneur du jeu, je sais quelle boîte contient la récompense, mais pas vous. Vous choisissez l'une de ces boîtes au hasard. Mais, pour faciliter la suite de l'énoncé, supposons que vous ayez choisi la boîte A. Et, avant que vous ne l'ouvriez, j'ouvre l'une des deux boîtes restantes que je sais être vide. Supposons que ce soit la boîte B. Je vous montre qu'elle est, effectivement vide. Vous avez, alors le choix de prendre le contenu de la boîte A (que vous avez désignée en premier lieu) ou de l'échanger pour celui de la boîte C.

En termes de probabilité, avez-vous intérêt à faire l'échange ou non ?

Calcul

Contrairement aux commodes, ici on doit dissocier les deux choix, le choix initial et le choix final après connaissance de la boîte vide.
On a une chance sur trois de faire un choix initial sur la bonne boîte, et pour chaque réponse initiale on a 2 choix finaux, d'où 6 possibilités.
Dans le cas où le premier choix est le bon, si on change son choix après connaissance de la boîte vide, on perd à tous les coups.
Il ne reste qu'une chance sur 6 de gagner si le premier choix est le bon.
Par contre on a 2 chances sur trois de faire un mauvais premier choix.
Dans ce cas le deuxième choix peut-être soit égal au premier et on a perdu, soit la boîte C (qui n'a pas été montrée), et on a gagné.
Donc la moitié de 2/3, on a une chance sur trois de gagner en faisant un deuxième choix différent du premier.

Résultat

En conclusion on a intérêt à faire l'échange.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. 10 cartes

Enoncé

Dans une boîte, il y a dix cartes présentant chacune un nombre distinct entre 1 et 10. Si l'on pioche 3 cartes au hasard, quelle est la probabilité que l'on sorte les cartes dans un ordre croissant ?

Calcul

Etude d'un tirage de 3 parmi 4

Les arrangements, il y en a 4!/(4 - 3)! = 4! = 24.

Les combinaisons de 3 parmi 4. Il y en a 4!/[3!(4 - 3)!] = 4. Ce sont justement : 123, 124, 134, 234.

Etude des arrangements et combinaisons de 3 parmi 5

Nombre d'arrangements : 5!/(5 - 3)! = 120/2 = 60. Nombre de combinaisons : 5!/[3!(5 - 3)!] = 20/2 = 10.
Liste des combinaisons : 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345.
Extraits des arrangements :

On retrouve bien les 5 x 4 x 3 = 60 arrangements et les 10 combinaisons.

Cas de notre problème de 3 tirages parmi 10

Nombre d'arrangements : 10!/(10 - 3)! = 8 x 9 x 10 = 720
Nombre de combinaisons : 10!/[3!(10 - 3)!] = 8 x 9 x 10 / 3! = 120
Probabilité du tirage en ordre croissant : on a déjà la réponse dans les expressions développées : 1/6 = 120/720.

Résultat

La probabilité de sortir les cartes dans l'ordre croissant est de 1/6.

Sans connaître les formules il faut dresser les listes. Le nombre d'arrangements se calcule aisément. En effet au tirage du premier chiffre, on dispose de 10 papiers (chiffrés). Au deuxième tirage, on dispose de 9 chiffres (il en reste 9) et au troisième tirages on dispose de 8 chiffres. Donc le nombre de tirages différents est 10 x 9 x 7 = 720. C'est tout à fait ce que la formule des arrangements montre en fin du calcul. Pour les combinaisons dans l'ordre, il faut les écrire, et on en trouve bien 120.

Le chiffre 0 a été utilisé à la place du nombre 10.

12. Dé magique

Enoncé

Un dé magique présente, sur ses six faces, les nombres 1, 2, 3, 4, 6 et 8. Après chaque lancer, les valeurs affichées sur les faces changent. Si un nombre pair vient à sortir, tous les nombres pairs sont divisés par 2. Si c'est un nombre impair, les nombres impairs sont multipliés par 2.

Quelle est la probabilité d'obtenir un "2" au second lancer (juste avant que les numéros ne rechangent) ?

Calcul

Au 1^er tirage, 4 fois sur 6 (2/3), on obtient un chiffre pair. Dans ce cas pour le 2^ème tirage on dispose de 1 fois le chiffre 2, c'est à dire 1 fois sur 6. Globalement dans ce cas de figure, les chances d'avoir un 2 au 2^ème tirage sont de (2/3) x (1/6) = 1/9.
Au 1^er tirage, 2 fois sur 6 (1/3), on obtient un chiffre impair. Dans ce cas pour le 2^ème tirage on dispose de 2 fois le chiffre 2, c'est à dire 2 fois sur 6 = 1/3. Globalement pour l'ensemble des cas correspondants à un chiffre impair au 1^er tirage, les chances d'avoir un 2 pour le 2^ème tirage sont de 1/3 x 1/3 = 1/9
Donc en cumulant les deux cas de figures on a 1/9 + 1/9 = 2/9 chances d'avoir un 2.

Résultat

La probabilité d'avoir un "2" au second lancer est de 2/9.