610, Ali Baba et les quarante voleurs, Le 26 mars 2020

Nous voici revenu en compagnie de Shéhérazade qui nous entretient, aujourd'hui, du célébre Ali Baba et de ses 40 compagnons.

01. Abdoul victime des voleurs

Enoncé

Ainsi commença Shéhérazade : "Il m'a été raconté Bienvaillant Souverain, qu'un jour, l'un des quarante voleurs d'Ali Baba cambriola la boutique d'Abdoul, le joailler et lui déroba plusieurs diamants. On retrouva, fort heureusement, tous les diamants et on put même déterminer que le voleur était ou Sabir, ou Salim ou Shamir, trois des voleurs de la célèbre bande. Lors du procès, les trois hommes s'accusèrent mutuellement, mais Shamir fut le seul à mentir. Etait-il obligatoirement le coupable ?

- Pas nécessairement, répondit le roi. Un homme innocent du vol peut très bien mentir pour protéger un ami.

Shamir était-il le coupable ?

Calcul

Hypothèse n° Si le coupable est : Les accusations possibles Conclusion
1 Sabir Salim peut accuser Sabir,
Shamir qui ment peut accuser Salim,
mais Sabir ne peut accuser personne d'autre.
Non plausible
2 Salim Sabir peut accuser Salim,
Shamir peut accuser Sabir à tort,
Mais Salim ne peut accuser personne d'autre.
Non plausible
3 Shamir Sabir et Salim peuvent accuser Shamir,
et Shamir peut accuser à tort l'un des deux autres
Plausible

Résultat

Shamir était bien le coupable.

02. D'autres cambriolages

Enoncés et traitements

Question 02a

"Une fois encore, la boutique d'Abdoul fut la cible des voleurs, mais, encore une fois, le butin fut récupéré. On trouva, à nouveau, trois suspects : Abou, Ibn et Hasib. Voici les dépositions qu'ils firent au procès :

Par la suite, deux d'entre eux confirmèrent avoir menti au procès.

Qui a commis le cambriolage ?

Traitement 02a

Le suspect qui dit vrai Les affirmations et déductions Conclusion
Abou Hasib Ibn
Pas moi, Abou C'est moi, Hasib Pas Hasib (Affirmation initiale)
Abou dit vrai Pas Abou Pas Hasib C'est Hasib Résultats contradictoires
Hasib dit vrai C'est Abou C'est Hasib C'est Hasib Contradictoire
Ibn dit vrai C'est Abou Pas Hasib Pas Hasib Plausible

Question 02b

Peu de temps après, il y eut un nouveau cambriolage et les mêmes suspects, Abou, Ibn et Hasib furent jugés. Voici ce qu'ils déclarèrent :

Assez curieusement, le vrai coupable avait dit la vérité, mais tous n'en avaient pas fait autant.

Qui était le vrai coupable ?

Traitement 02b

Le coupable qui dit vrai Les affirmations et déductions Conclusion
Abou Hasib Ibn
Pas Ibn Ce n'est pas moi Pas Hasib (Affirmation initiale)
Le coupable est Abou qui dit vrai Les trois disent vrai, ce qui est contraire à l'énoncé
Le coupable est Hasib qui dit vrai L'affirmation d'Hasib est fausse, contraire à l'énoncé
Le coupable est Ibn qui dit vrai Ce que dit Ibn est vrai (ce n'est pas Hasib) et il y a un menteur (Abou). Correct.

Question 02c

Un fois encore, Abou, Ibn et Hasib passèrent en jugement. On savait que seul l'un d'entre eux était coupable. Abou clama son innocence ; Ibn reconnut qu'Abou était innocent et Hasib avoua sa cupalbilité. Il s'avéra que le coupable mentait.

Qui était-ce ?

Traitement 02c

Le coupable est
(On ne sait pas la valeur des
réponses des non coupables)
Les affirmations et déductions Conclusion
Abou Hasib Ibn
Pas Abou C'est moi, Hasib Pas Abou (Affirmation initiale)
Abou (il ment) C'est Abou Plausible
Hasib (il ment) Pas Hasib Contradictoire avec l'hypothèse
Ibn (il ment) C'est Abou Contradictoire

Question 02d

Encore un cambriolage chez ce pauvre Abdoul. Décidément, les joaillers attisent la convoitise des cambrioleurs ! Cette fois, l'un des voleurs subtilisa un tiers des émeraudes du joailler. Survint un second voleur qui prit les deux tiers des émeraudes restantes. Il n'en restait,alors, plus que douze.

Combien le premier voleur en avait-il trouvées ?

Traitement 02d

Après le 1er vol, il en reste les 2/3 2x/3
Après le 2ème vol il reste 1/3 du reste 2x/9 = 12 x = 54

Résultat

02a : C'est Abou qui a commis le cambriolage.
02b : Le coupable est Ibn.
02c : Le coupable est Abou
02d : Face au premier voleur, il y avait au départ 54 émeraudes.

03. Un vol hypothétique

Enoncé

Peu de temps après poursuivit Shéhérazade, Abdoul reconstitua son stock d'émeraudes. Il emmagasina, également, de bonnes quantités de diamants, de saphirs et de rubis. Pendant quelques temps, il s'en tint à ces quatre sortes de joyaux.

Quel nombre minimum de joyaux faudrait-il voler dans sa boutique pour être sûr d'avoir cinq joyaux de la même sorte ?

Calcul

Si on a beaucoup de chance, on peut voler cinq joyaux et obtenir la même espèce du premier coup. Mais, dans l'énoncé il y a les mots "être sûr". Dans le pire des cas, on peut obtenir un maximum de 4 joyaux de chacune des 4 catégories, c'est à dire 16 joyaux au total. Au 17ème retrait on va obligatoirement compléter un des tas à cinq.

Résultat

Le nombre minimum de joyaux à voler est : 17.

04. Les sacs d'or

Enoncé

En voici une simple dit Shéhérazade. Un jour, l'un des quarante voleurs vola plusieurs sacs d'or. Chacun de ces sacs contenait, soit seize pièces, soit dix-sept, soit vingt-trois, soit trente-neuf, soit encore quarante pièces. Après avoir ouvert les sacs, il compta les pièces et en trouva cent.

Quels sacs avait-il pris ?

Résultat

On peut faire : 4x17 + 2x16 = 100, c'est à dire 4 sacs de 17 et 2 sacs de 16.

Corrigé du prof

Le professeur complète par un balayage systématique de toutes les possibilités d'assemblages.

05. Le sabre

Enoncé

Voici un nouveau problème de logique : un jour, un sabre de grande valeur fut volé. Une fois encore les trois suspects étaient Ibn, Asib et Abou. Ibn accusa accusa Hasib qui accusa Abou. On n'était pas vraîment sûr que le coupable se trouvât parmi eux, mais il apparut par la suite qu'aucun innocent n'avait menti et que le sabre avait été volé par une seule personne.

Est-il possible de savoir qui a volé ce sabre ?

Calcul

Le coupable est Les affirmations et déductions Conclusion
Abou Hasib Ibn
C'est Abou C'est Hasib (Affirmation initiale)
Abou (Hasib et Ibn disent vrai) C'est Abou C'est Hasib Contradictoire
Hasib (Abou et Ibn disent vrai) C'est Hasib C'est Hasib
Ibn (Abou et Hasib disent vrai) C'est Abou Incompatible avec l'hypothèse

Résultat

C'est Hasib qui a volé le sabre.

06. Encore un cambriolage

Enoncé

Cette fois, c'est une horloge précieuse qui fut dérobée. Pour ce vol, on était sûr que le voleur se trouvait parmi nos trois suspects habituels : Ibn, Hasib ou Abou. Abou affirma que Hasib était innocent et celui-ci jura qu'Ibn l'était. Le témoignage d'Ibn ne fut pas enregistré. Assez curieusement, le coupable avait dit la vérité et les deux innocents avaient menti. Alors, qui a volé l'horloge ?

Calcul

Le coupable est Les affirmations et déductions Conclusion
Abou Hasib Ibn
Pas Hasib Pas Ibn (Affirmation initiale)
Abou (qui dit vrai) Pas Hasib C'est Ibn Faux, ce n'est pas Ibn, c'est Abou
Hasib (qui dit vrai) Hasib Pas Ibn Juste
Ibn (qui dit vrai) Hasib Ibn Incompatible

Résultat

C'est Hasib qui a volé l'horloge.

07. Le partage du butin

Enoncé

Une nuit, Abou et Ibn volèrent des pièces d'or qui avaient toutes la même valeur.

Quelle est la réponse ?

Calcul

En partant de x pièces pour Ibn
Abou en a 3x
Après transfert de 10 pièces de Abou à Ibn Abou en a : 3x -10 Ibn en a : x + 10
Le double pour Abou 3x - 10 = 2(x + 10) x = 30
Le nouveau transfert à faire est [(3x - 10) - (x + 10)]/2 = (2x - 20)/2 = 20

Résultat

Abou doit donner à nouveau 20 pièces à Ibn.

08. Encore plus cupide

Enoncé

Cette fois, Hasib se joignit à Abou et à Ibn pour voler des pièces d'or. Abou fut encore le plus cupide : il prit trois fois plus de pièces qu'Ibn. Ce dernier, qui ne valait guère mieux, en prit deux fois plus que Hasib. Plus tard, revenu à une attitude plus charitable et un peu gêné vis-à-vis de Hasib, Abou lui donna dix pièces. Les deux comparses se retrouvaient ainsi avec le même nombre de pièces.

Combien les trois larrons en avaient-ils volées ?

Calcul

Si Hasib a    x pièces Ibn en a    2x et Abou en a    6x
Après le transfert de 10 pièces de Abou à Hasib Il en reste 6x - 10 à Abou Hasib en a x + 10
Egalité 6x - 10 = x + 10 x = 4
Nombre de pièces x + 2x + 6x = 9x = 36 9x = 36

Résultat

Les trois larrons ont volé 36 pièces.

09. Une affaire d'honneur chez les voleurs

Enoncé

Ils s'associèrent à nouveau pour voler des pièces d'or toutes de même valeur. Cette fois, Abou se les appropria toutes sans rien laisser aux deux autres. Ces derniers se vengèrent ! Le premier, Ibn profita du sommeil d'Abou pour pénétrer chez lui et lui voler cinq seizièmes des pièces. Plus tard, dans la même nuit, Hasib vola les sept onzièmes des pièces restantes. Lorsqu'Abou se réveilla le lendemain matin, il constata avec colère qu'il ne lui restait plus que huit pièces.

Combien de pièces Ibn et Hasib avaient-ils, chacun, dérobées à Abou ?

Calcul

Si Abou s'est approprié x pièces d'or
Ibn en retire 5x/16 il en reste : 11x/16
Hasib retire à son tour 7/11 de 11x/16 = 7x/16 il en reste : 11x/16 - 7x/16 = 4x/16 = x/4
Ce reste vaut 8 x/4 = 8 x = 32
Retrait de Ibn 5x/16 = 10 Retrait de Hasib : 7x/16 = 14

Résultat

Pièces dérobées à Abou, 10 par Ibn et 14 par Hasib.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
Aa Coralie plante cinq rangées de fleurs. Elle met deux fleurs de plus d'une rangée à l'autre. Elle a ainsi planté 55 fleurs. Combien y a-t-il de fleurs dans la première rangée ? 5x + 2 + 4 + 6 + 8 = 55
x = 7
7 fleurs dans la première rangée.
Ab
2 4 6 8 10 12 14
22 24 26 28 30 32 34
42 44 46 48 50 52 54
62 64 66 68 70 72 74
Cette grille contient des nombres pairs. Trouvez quatre nombres dont la somme est 252 et qui sont disposés en T dans la position illustrée (en rose).
4x + 18 + 20 + 22 = 252
x = 48
Les nombres sont illustrés en jaune
48 + 66 + 68 + 70 = 252.
Ac Quatre jeunes font régulièrement la visite de personnes âgées. Ils se déplacent toujours en équipes de deux. Combien de visites ont été faites par des couples différents ? Les couples différents sont :
ab, ac, ad, bc, bd et cd
Il y a 6 visites par des couples différents.
Ad Partagez ces huit nombres en trois groupes. La somme des nombres de chaque groupe doit être identique.
3 4 5 7 8 9 10 11
Trouvé 3 solutions 3+4+5+7 = 8+11 = 9+10 = 19
3+5+11 = 4+7+8 = 9+10 = 19
3+7+9 = 4+5+10 = 8+11 = 19.
Ba Je divise 60 par 1/3. Quel est le résultat ? Résultat : 180.
Bb Quelle est la différence entre le septième et le troisième multiple de 10 ? 10(7 - 3) = 40 = 80 - 40 La différence est 40.
Bc Quel est le résultat si on divise le carré de 4 par le cube de 2 ? 42/23 = 24.2-3 = 2 Le résultat est 2.
Bd Quel le plus petit nombre de quatre chiffres distincts formé des entiers pris de 0 à 5 ? Le plus petit nombre est : 1023.
Be Pierre a obtenu 15 % de réduction sur un achat de 60 €uros. Quel est le montant de la facture ? 60 x 0,85 = 51 Le montant de la facture est : 51 €uros.
Bf Pascale lance un dé. Quelle est la probabilité d'avoir un nombre de points supérieur à 4 ? Deux chiffres, le 5 et le 6, sur 6 chiffres La probabilité est de 1/3.
Bg Comment écrit-on 30 % en une fraction ordinaire ? On écrit 30/100 = 3/10.
Bh Dans quel nombre d'un seul mot trouve-t-on un F et un U ? Ce nombre est neuf.
Bi Mini est née en 1979. Quel âge a-t-elle en 2008 ? 2008 - 1979 = 29 Mini a 29 ans en 2008.
Bj Quelle est la figure qui est formée par deux rectangles accolés par un côté et qui n'est pas un simple rectangle ? Avec des concditions particulières, Un carré

11. Qui a volé quoi ?

Enoncé

Pour le vol suivant, qui relève de la logique, on retrouve Abou, Ibn et Hasib. L'un d'eux vola un cheval, un autre une mule et le dernier un chameau. Ils finirent par être rattrapés, mais ...

Il apparut que le voleur du chameau mentait et que celui du cheval disait la vérité. Qui a volé quel animal ?

Calcul

Est-ce que Abou peut avoir volé le cheval ? Dans ce cas, il dit sans mentir que Ibn a volé le cheval. C'est faux, cela ne marche pas.
Est-ce que Ibn peut avoir volé le cheval ? Si oui, il dit sans mentir qu'il n'a rien volé, ce qui est faux.
Est-ce que Hasib peut avoir volé le cheval ? Si c'est le cas, il dit sans mentir que Ibn a volé la mule. Ce n'est pas incompatible.
C'est Hasib qui a volé le cheval.
Est-ce que Ibn a pu voler le chameau ? Si oui il affirme en mentant qu'il n'a rien volé. C'est compatible.
Est-ce que Abou a pu voler le chameau ? Si oui il affirme en mentant que c'est Ibn qui a volé le cheval. C'est compatible.
On ne peut pas départager la mule et le chameau entre Abou et Ibn.
Il faut revenir sur ce qu'a dit Hasib qui a volé le cheval et qui donc ne ment pas : Ibn a volé la mule.

Résultat

Abou a volé le chameau, Hasib a volé le cheval et Ibn a volé la mule.

12. Qui a volé quoi à qui ?

Enoncé

"Il se fait tard, dit le roi, mais je pense que nous avons le temps pour une dernière énigme. Fais en sorte que ce soit une bonne !

  1. Le voleur du diamant était célibataire et c'était le plus dangereux des trois voleurs.
  2. Amina était plus jeune que la propriétaire de l'émeraude.
  3. Le beau-frère d'Abou, Amr, qui avait volé l'ainée des trois dames, était moins dangereux que le voleur de l'émeraude.
  4. L'homme qui avait volé Amina était fils unique.
  5. Abdou Abou n'avait pas volé Fatima (la correction a été apportée le 30 mars).

Qui a volé quoi à qui ?

A ce stade de l'énigme, le roi avait sombré dans un profond sommeil. Fort heureusement, se réveillant le lendemain de bonne humeur, il accorda un nouveau jour de répit à Shéhérazade. Ceci nous laisse l'espoir de pouvoir envisager une autre nuit avec Shéhérazade.

Calcul

On doit en préalable préciser, qu'une personne célibataire et fils unique ne pas pas être à coup sûr, beau-frère (ou belle-soeur). Cependant un célibataire peut avoir un frère ou une soeur marié et donc être beau-frère ; ou bien, un fils unique peut se marier et avoir un beau-frère du côté de la belle famille.

Groupement des données sous forme de tableau.

Ligne Info n° Les dames Les voleurs Les bijoux Compatibilité avec
Nom Âge Nom Parenté Dangereux d c b
a 3 Ainée Amr Beau-frère Moins que ... Pas Emeraude I1 I2 I3
b 3, 5 Pas Fatima Abou Beau-frère I4 I5
c 1 Célibataire Plus Diamant Oui
d 2, 4 Amina Plus jeune que ... Fils unique Pas Emeraude

Les incompatibilités

Repère Les lignes observations
I1 ad L'ainée des dames n'est pas celle qui est plus jeune que la propriétaire de l'émeraude
I2 ac Le voleur le plus dangereux et celui qui est moins dangereux que le voleur de l'émeraude sont différents
I3 ab Les voleurs Amr et Abou sont différents
Ici la ligne a doit rester isolée et comme ce n'est ni l'émeraude ni le diamant, elle reçoit le bijou Bx (non cité)
I4 bd Cette mise en commun entrainerait l'impossibilité de placer l'émeraude (car b serait non émeraude)
I5 bc Cette mise en commun entrainerait l'impossibilité de placer l'émeraude (car b serait diamant)
Deuxième conclusion : la ligne b doit rester isolée. Donc on groupe les lignes c et d.

L'Emeraude trouve sa place en b. En b, la dame n'est ni Fatima, ni Amina, c'est Nassima. Abdou a sa place en c. Tableau du résultat :

Ligne Info n° Les dames Les voleurs Les bijoux
Nom Âge Nom Parenté Dangereux
a 3 Fatima Ainée Amr Beau-frère Moins que ... Bx
b 3, 5 Nassima Abou Beau-frère Emeraude
c, d 1, 2, 4 Amina Plus jeune que ... Abdou Célibataire et fils unique Plus Diamant

Résultat

13. Et voilà ce qui arrive quand on met tous ses oeufs dans le même panier !

Enoncé

[Cet énoncé est relatif à un problème ancien tiré du « Traicté de la praticque d’algorisme », Cesena. Bibl. Malatestina (vers 1476), traduit en français actuel].

« Une jeune fille de ferme portait ses œufs au marché, dans un panier posé sur sa tête. Dans une ruelle étroite, un cavalier en passant la bouscula et brisa entièrement sa charge. Voulant la dédommager de cette perte, il lui demanda combien d’œufs elle avait. Cette dernière ignorant le nombre exact, répondit innocemment : en les assemblant par deux il m’en restait finalement un, par trois il en restait deux, par quatre, trois, puis cinq, quatre, six, cinq, et enfin les comptant par sept je n’avais aucun reste ».

On demande combien d’œufs il y avait dans le panier.

Retour en arrière

Ce problème a été posé le 25 mars 2019 et résolu. Voir 510, exercice n° 13.