609, Récréations géométriques, Le 9 mars 2020

Les portes de l'UIAD étant fermées en raison du confinement décrété à cause de l'épidémie du Covid-19, à partir de ce cours 609 du 9 mars 2020, tout est fait par Internet avec les corrigés reçus une semaine après.

01. Arbres de Jodoin

Enoncé

O O O O O
O O O O O
O O O O O

Jodoin a planté 15 arbres selon le schéma ci-contre. La distance entre deux arbres voisins horizontalement ou verticalement est de deux mètres. La distance entre un arbre et la clôture est d'un mètre. Jodoin veut augmenter de 20 mètres la longueur et de 10 mètres la largeur de cette parcelle plantée.

Combien peut-il planter d'arbres supplémentaires ?

Calcul

On ne parle pas du diamètre de l'arbre. On considère que les distances sont prises à l'axe de l'arbre.
Longueur actuelle du terrain : 2(5 - 1) + 1 + 1 = 10 mètres
Largeur actuelle du terrain : 2(3 - 1) + 1 + 1 = 6 mètres
Nouvelles dimensions de la parcelle plantée Longueur : 10 + 20 = 30 mètres Largeur : 6 + 10 = 16 mètres
Nombre d'arbres dans la longueur : 1 + (30 - 1 - 1)/2 = 15
Nombre d'arbres dans la largeur : 1 + (16 - 1 - 1)/2 = 8
Nombre d'arbres sur la nouvelle parcelle 15 x 8 = 120
Nombre d'arbres ajoutés 120 - 5x3 = 105

Résultat

Jodoin peut planter 105 arbres supplémentaires.

02. Une tortue

Enoncé

...

Une tortue par de la case marquée M et se dirige vers N en passant par le centre des cases. Elle ne doit jamais revenir en arrière ni se déplacer verticalement. Un chemin est donné.

Combien y a-t-il de chemins différents en tout ?

Dessin

...

Résultat

Trouvé, 20 chemins différents.

03. Les deux pylônes

Enoncé

...

Deux pylônes, de hauteurs respectives 30 m et 60 m, sont plantés verticalement, à une certaine distance l'un de l'autre, sur un plan horizontal. Un câble rectiligne joint le sommet de chaque pylône à la base de l'autre.

Donner la hauteur (en mètres, sous forme de fraction irréductible) du point d'intersection des deux câbles.

Calcul

Les deux triangles ECD et EBA sont homothétiques (angles égaux), dans un rapport 2 (60/30). La hauteur h cherchée est en AH1 et CH2.

Les proportions : H2D/H1A = H2C/H1B =(60 - h)/h = h/(30 - h) = CD/AB = 2
1ère équation : 2h = 60 - h ; h = 20
2ème équation : 60 - 2h = h ; h = 20

Résultat

Le point d'intersection des deux câbles est à 20 mètres du sol.

04. Le petit carré blanc

Enoncé

...

Dans un grand carré, on a placé quatre carrés comme l'indique la figure. L'aire d'un des carrés est indiquée.

Quelle est celle du petit carré blanc (exprimée en cm2 et éventuellement arrondie à l'entier le plus proche).

Indice : diagonale d'un carré = C √(2).

Calcul

Le côté du carré vert vaut √(2016). Sa diagonale est √2√2016 = 24√(7)
La diagonale du grand carré rose vaut deux foix celle du carré vert = 48√(7)
Le côté du carré bleu vaut le quart de la diagonale du grand carré rose = 12√(7)
Le côté du carré blanc vaut les 2/3 de celui du carré bleu = 8√(7)
L'aire du carré blanc vaut (8√(7)2 = 64x7 = 448 cm2 exactement

Remarque : on pourrait aussi raisonner en rapport de surfaces, sachant que pour deux carrés dont le deuxième a un côté égal à k fois le côté du premier, la surface du 2ème vaut k2 fois celle du 1er. Ainsi :

Le côté du carré bleu étant √(2)/2 fois celui du vert, sa surface vaut la moitié du celle du vert
Le côté du carré blanc étant les 2/3 de celui du bleu, sa surface est 4/9 de celle du bleu
Produit (1/2)(4/9) = 2/9. Surface du blanc = 2016 x 2 / 9 = 448.

Résultat

L'aire du petit carré blanc est : 448 cm2.

05. Petit Poucet

Enoncé

Au pays du Petit Poucet, les côtés d'un triangle rectangle mesurent respectivement 3, 4 et 5 pucets. Quand on peint la surface de ce triangle, on recouvre 6 pucets carrés.

Trouvez la mesure des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypotènuse est de 13 pucets et dont la surface est de 30 pucets carrés. Les longueurs des côtés de l'angle droit sont des entiers.

Indice : Dans un triangle rectangle le carré de l'hypotènuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

Calcul

Essai n° 1 2 3 4 5
Premier côté de l'angle droit 1 2 3 4 5
Deuxième côté de l'angle droit 60 30 20 15 12
Hypoténuse √(3601) √(904) √(409) √(241) √(169)
Hypoténuse 60,01 30,07 20,22 15,52 13

Il est en effet bien connu que le triangle rectangle 3, 4, 5 est un triangle remarquable, car 32 + 42 = 52 = 9 + 16 = 25. Cette propriété est utilisée par les maçons pour faire des angles droits. La question posée ici tend à montrer qu'il existe un deuxième triangle rectangle remarquable ayant aussi des entiers comme dimensions des côtés. Ce 2ème triangle rectangle a une aire de 30 pucets carrés, donc le produit des deux côtés de l'angle droit vaut 60. Sachant que 60 = 22.3.5 on peut tester les différents possibilités jusqu'à trouver une hypoténuse entière.

Résultat

Le deuxième triangle a comme dimensions des côtés de l'angle droit : 5 et 12 pucets.

06. Carré découpé en 4

Enoncé

...

Dans un carré, on trace une diagonale et la ligne reliant un angle au milieu du côté opposé comme le montre la figure ci-contre. On découpe ainsi le carré en 4 surfaces. Une des surfaces, la plus grande, vaut 5.

Que valent les autres surfaces ?

Calcul

Les triangles AED et BEC sont homothétiques dans un rapport 2 (AD/BC = 2). La hauteur EH (dans AED) n'est pas tracée, elle est égale à FA. Les hauteurs AF et EG (= FC) de ces deux triangles sont aussi dans le rapport 2. Donc en prenant a comme la dimension du côté du carré, AF = 2a/3 et FC = CG = a/3.

Surface du triangle AEC : a.a/3/2 = a2/6
Surface du triangle CEB : a/2.a/3/2 = a2/12
Surface du triangle AED : a.2a/3/2 = a2/3
Surface du grand quadrilatère : a2 - a2/6 - a2/12 - a2/3 = 5a2/12
Facteur de conversion (pour ramener 5) : 5/[5a2/12] = 12/a2
Aire de AED après conversion (par rapport à 5) : [a2/3][12/a2] = 4
Aire de AEC après conversion : [a2/6][12/a2] = 2
Aire de CEB après conversion : [a2/12][12/a2] = 1

Résultat

Les valeurs des autres surfaces (exprimées par rapport à 5) sont : 4, 2 et 1.

07. Le rectangle mystérieux

Enoncé

...

Le plus grand cercle que l'on peut placer dans ce rectangle a un diamètre de 7,2 centimètres. Le plus petit cercle dans lequel le rectangle peut être placé a un diamètre de 12 centimètres.

Quelle est l'aire du rectangle mystérieux (exprimée en cm2 et éventuellement arrondie à l'entier le plus proche) ?

Calcul

7,2 cm représente la largeur du rectangle,
12 cm représente la diagonale du rectangle.
La longueur est le 2ème côté de l'angle droit du triangle rectangle = √(122 - 7,22) = 9,6
Aire du rectangle : 7,2 x 9,6 / 2 = 34,56 cm2. Oh l'erreur ! Ce n'est pas un triangle, c'est un rectangle. Aire = 7,2 x 9,6 = 79,12 cm2.

Résultat

L'aire du rectangle mystétrieux est : 79,12 ≅ 79 cm2.

08. Points de Brigitte

Enoncé

...

Brigitte a dessiné 16 points en un carré. A partir du point A, elle joint les points de façon continue sans jamais passer deux fois sur un même segment de droite. Quand elle aboutit au point B, elle a réalisé six carrés. Voici son tracé, à droite.

...

A votre tour, en partant du même point, réalisez aussi six carrés. Vous devez parcourir 21 segments au lieu de 19 et pouvez vous arrêter sur n'importe quel point.

Dessin

Pour faire le même nombre de carrés avec plus de segments impose de "dissocier", "fragmenter", créer des trous au milieu des côtés.

Deuxième remarque : Les points A et B sont les noeuds impairs de départ et d'arrivée du tracé. Le point B est déplacé.

09. La ficelle

Enoncé

On déroule une ficelle entre deux points distants de 100 m, puis on allonge la ficelle de 1 m. On tire dessus par son milieu vers le haut.

A quelle hauteur peut-on monter ?

Variante : On déroule une ficelle autour de la terre puis on allonge la ficelle de 1 m. On soulève la ficelle du sol (supposé rond) partout à la même hauteur.

A quelle hauteur au-dessus du sol se trouve la ficelle ?

Calcul

Problème principal

Le problème revient à calculer la dimension d'un petit côté de l'angle droit dans un triangle rectangle dont l'hypoténuse vaut 50,5 m et dont le grand côté de l'angle droit vaut 50 m.
Petit côté = √(50,52 - 502) = 7,089

...

Variante

Pour le rayon de la terre nous prendrons la valeur moyenne volumétrique de Wikipédia : R = 6 371 008 mètres.
α doit être tel que AB = l'arc + 0,5. Nous exprimerons α en radians.
Longueur de l'arc : 2πR(α/2π) = Rα
Longueur AB : AB = Rtg(α)
Egalité : Rtgα = Rα + 0,5
On ne peut pas utiliser tgα = α pour les petits angles (cela donnerait Rα = Rα + 0,5 !)
La résolution a été faite par "Valeur cible" d'Excel : α = 0,006175 radians
AB = Rtgα AB = 39340,4 mètres
OB = √(R2 + AB2) OB = 6 371 129,5 mètres
Décollement de la terre : OB - R = 121,5 mètres

Cette résolution (par itération) n'est pas très glorieuse. Je ne sais pas faire autrement.

Variante révisée

Après la remarque de Christophe, il s'agit de faire un nouveau cercle dont la circonférence est augmentée de 1 mètre.

Circonférence de la terre : 2πR
Circonférence de la ficelle : 2πR + 1
Rayon du cercle de la ficelle : (2πR + 1)/2π = R + 1/2π
Hauteur de la ficelle au-dessus du sol : R + 1/2π - R = 1/2π = 0,159 mètres

Résultat

Pour le premier problème, on peut soulever la ficelle de 7,089 mètres. Dans le cas de la variante, la hauteur de la ficelle au-dessus du sol est de 15,9 centimètres.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
Aa Des lettres sont écrites logiquement les unes à la suite des autres. Identifiez la lettre qui manque.
D F ? K N P S
L'écart est alternativement de 2 et 3 lettres. La lettre qui manque est : I.
Ab Léa dit : Mon nombre de médaillons et son quart additionnés donnent 15. Combien Léa a-t-elle de médaillons ? x + x/4 = 15 ; x = 12 Léa a 12 médaillons.
Ac Combien y a-t-il de carrés de toute grandeur dans cette grille ?
10 carrés simples + 4 carrés 2x2 Il y a 14 carrés dans cette grille.
Ad Mario choisit un nombre. Il additionne 10. Il multiplie le résultat par 2. Il soustrait 15. Il obtient ainsi 21. Quel est le nombre choisi par Mario ? 2(x + 10) - 15 = 21 ; x = 8 Le nombre choisi par Mario est 8.
Ba Combien y a-t-il de périodes entières de 25 minutes dans deux heures et quart ? 2 h 1/4 = 135 mn ; 135/25 = 5,4 Il y a 5 fois 25 minutes dans 2 h 1/4.
Bb Combien y a-t-il de nombres qui ont sept lettres entre 15 et 20 ? On a 7 lettres dans : 17, 18 et 19 Trois nombres ont sept lettres.
Bc Quel est le résultat de la division de 345 par 100 Résultat : 3,45.
Bd Combien y a-til de nombres divisibles par 7 dans la suite 21, 28, 35, ... 98 ? 1 + (98 - 21)/7 = 12 Il y a 12 nombres divisibles par 7.
Be A quel nombre fait penser TETRA ? Tétra fait penser à 4.
Bf Combien y a-t-il de jours au minimum dans un trimestre ? Le trimestre de février. 31 + 28 + 31 = 90 Il y a au minimum 90 jours.
Bg Comment écrit-on 0,7 en pourcentage ? 100 x 0,7 = 70 On écrit 70 %.
Bh Combien un octogone a-t-il de côtés ? Un octogone a huit côtés.
Bi Quel mois est le premier en ordre alphabétique ? Août est le premier.
Bj Si Martin reçoit 15 macarons, il en aura plus de 80. Combien Martin a-t-il de macarons au minimum ? 81 - 15 = 66 Martin a 66 macarons au minimum.

11. Le Petit Bateau

Enoncé

...

Comparer les aires de la coque et de la voile du Petit Bateau.

Calcul

Avec R, le rayon du cercle, base de la coque (le cercle tracé entièrement). Le rayon du cercle au-dessus de la coque (cercle non coloré tracé partiellement) est : R√(2).
Surface de la voile : 2R.R/2 = R2
Surface du quart de cercle sous la voile (le cercle incolore) : π[R√(2)]2/4 = πR2/2
Surface de l'espace vide (le segment de cercle) entre la coque et la voile : πR2/2 - R2 = (π - 2)R2/2
Surface du demi cercle (de la coque, celui du cercle tracé entièrement) : πR2/2
Surface de la coque : πR2/2 - (π - 2)R2/2 = R2

Résultat

La coque et la voile ont exactement la même surface.

12. Le rectangle de Harry

Enoncé

...

Où est le problème ?

Calcul

C'est un problème similaire au triangle de Gardner (voir exercice n° 13 de 504) et au carré de Curry (voir exercice 14 de 507). Dans le rectangle n° 2 le ligne oblique n'est pas une ligne droite.

...

13. Marche d'une tortue

Enoncé

Une tortue part de la case 1. Elle atteint en alternance une case voisine horizontalement ou verticalement, puis une case voisine obliquement. Voici ci-dessous à gauche, un exemple où la tortue a pu se rendre jusqu'à la case 10.

En partant de la même case, trouvez un chemin que la tortue peut parcourir de façon à atteindre toutes les cases.

Les Chemins

Exemple
de
l'énoncé
1 10 8 7 ... Une solution
de
l'exercice
1 2 5 6 ...
2 9 6 5 3 4 7 8
3 4 12 10 9 15
11 13 14 16

14. Quel est mon périmètre ?

Enoncé

...

Soit ABC un triangle dont la surface est 96 cm2. Soit O le centre de cercle inscrit (intersection des bissectrices). Le rayon de ce cercle est de 4 cm.

Calculez le périmètre du triangle.

Calcul

L'aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des triangles AOH3 + BOH3 + BOH1 + COH1 + COH2 + AOH2
On a OH1 = OH2 = OH3 = 4 ; Aire ABC = (4/2)(AH3 + BH3 + BH1 + CH1 + CH2 + AH2) = 2 périmètres de ABC
Périmètre = Aire ABC / 2 = 96/2 = 48 cm

Solution du prof

La solution du prof est bien plus simple. Il sufit de considérer seulement les trois triangles ABO, BCO et CAO.
L'aire totale est : ABO + BCO + CAO = AB.OH3/2 + BC.OH1/2 + CA.OH2/2 = (AB + BC + CA).4/2 = 2 fois le périmètre.

Résultat

Le périmètre du triangle vaut 48 centimètres.

Epilogue

Merci à Christophe pour le coup de pouce à deux exercices.

Exercice 9 de la ficelle

Je n'avais pas compris le sens des mots "partout à la même hauteur" de la variante, et je suis resté enfermé dans le modèle de l'exercice précédent.

Le résultat montre que la solution (15,9 cm) est indépendante du rayon R de la terre. Donc on aurait pu commencer par démontrer cela, en disant que :

Soit un cercle quelconque de rayon R
Soit un deuxième cercle obtenu par accroissement du rayon d'une valeur, a
L'accroissement de la circonférence est 2π(R + a) - 2πR = 2πa
Dans l'exercice cet accroissement de circonférence est de 1 mètre 2πa = 1 a = 1/2π ≅ 0,159

Exercice 13 de la marche de la tortue

Petite astuce, qui parait évidente à postériori : rien n'interdit le croisement du chemin, et en effet il n'est pas possible de faire autrement.