607, Récréations cryptarithmiques, Le 27 janvier 2020

Il s'agit de décoder des messages. Les militaires parlent de chiffrement et déchiffrement. Un code très ancien, utilisé par César , consistait à remplacer une lettre par une autre, en la décalant de trois vers la gauche dans l'alphabet.

01. Code César

Enoncé

Décoder SBKF SFAF SFZF.

On peut imaginer de nombreuses règles de substitution 26 lettres vers 26 lettres. Il y a 25 décalages possibles mais 26 ! (soit 4.1026) substitutions.

Pour décoder, il faut la table de correspondance ou mot de passe ou clé. Dans cet algorithme de codage, la clé sert à coder et la même clé sert à décoder. Casser le code, c'est le deviner, à partir d'indices. Par exemple on sait qu'en français, les lettres E et A sont utilisées souvent ce qui aide à deviner. Dans ce code, chaque lettre est codée par une autre de manière unique. On peut aussi faire intervenir la position de la lettre dans le message. Exemple : pour la première lettre, on décale de -2, la deuxième on décale de +1, la troisième on décale de -3, puis on recommence. C'est le chiffrage de Vigenère (1586). La clé est -2 1 -3 ou YBX. Il faut transmettre la clé indépendamment du message. Si le message et la clé sont interceptés, le pirate peut décoder.

Dans les exercices d'aujourd'hui, on va chercher à trouver des clés de codage à partir d'indices. Maintenant, on utilise des codages à deux clés : une pour coder , une pour décoder. Le destinataire envoie la clé de codage, l'émetteur code le message et l'expédie vers le destinataire. Celui-ci utilise la clé de décodage pour décoder le message. Si le pirate trouve la clé de codage, il est quasiment impossible d'en déduire la clé de décodage. Voir par exemple http://villemin.gerard.free.fr/Crypto/RSA.htm.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
S B K F S F A F S F Z F
V E N I V I D I V I C I
A L E A J A C T A E S T
X I B X G X Z Q X B P Q

Calcul

En option, Alain nous a proposé de faire l'opération inverse, de coder l'expression "ALEA JACTA EST".

Résultat

Décodage : "VENI VIDI VICI" ; Codage : "XIBX GXZQX BPQ".

02. Mat de Mathieu

Enoncé

r2 r1
M A M
+ M A T
+ M T T
= 1 4 1 6

Mathieu prend des jetons marqués M, A et T. Il les dospose comme ci-contre. Ensuite, il cherche à remplacer chacune des trois lettres par un chiffre différent de telle manière que la somme des trois nombres soit égale à 1416.

Quelle valeur doit-on donner à MAT pour que l'addition soit vraie ?

Calcul

4 7 4
+ 4 7 6
+ 4 6 6
= 1 4 1 6
On a aux centaines : 3M + r2 = 14 Seule la valeur M = 4 convient 3 x 4 + 2 = 14
Colonne des unités : 4 + 2T = 6 ou 16 T = 1 ou 6
Choix 1 : T = 1 Aux dizaines : 2A + 1 = 21 Pas possible
Choix 2 : T = 6 (avec r1 = 1) Dizaines : 1 + 2A + 6 = 21 A = 7

Résultat

MAT = 476

03. Insectes d'Eric

Enoncé

M/3 + M/4 - M/6 = 30
B + C - D = 30

Eric parle de sa collection d'insectes à Johanne. Cette dernière lui demande combien il en a. Voilà, dit-il à Johanne. J'ai M insectes. Le tiers de mes insectes est égal à B. Le quart de mes insectes est égal à C et le sixième est égal à D. De plus, la somme de B et C à laquelle on soustrait D est égale à 30.

Combien Eric a-t-il d'insectes ?

Calcul

Somme B + C - D 4M/12 + 3M/12 - 2M/12 = 5M/12 = 30 M = 72

Résultat

Eric a 72 insectes.

04. Dame, oui !

Enoncé

D + D = MA
D - D = E
D x D = AM

Etonnée d'avoir résolu un problème difficile, Anna s'exclama : Dame, oui ! Elle écrivit alors trois égalités avec les lettres de DAME. Elle dit à sa soeur :
Sans autre indice, tu dois trouver la valeur de chaque lettre de DAME ; puis tu pourras écrire le nombre qui correspond à DAME.

A quel nombre correspond DAME ?

Calcul

D 1 2 3 4 5 6 7 8 9
MA = 2D 02 04 06 08 10 12 14 16 18
AM = D2 01 04 09 16 25 36 49 64 81
D - D = E = 0 "MA", 10M + A = 2D "AM", 10A + M = D2
Le tableau ci-contre nous montre que seule la valeur de D = 9 permet d'inverser les chifres de "MA" et "AM".

Résultat

DAME correspond à 9810.

05. Mon Pierre

Enoncé

P I
+ E R
= R E

Chaque lettre représente un chiffre différent. Indice : I = 4

Quelle est la valeur de P ?

Calcul

L'addition 10P + 4 + 10E + R = 10R + E 9(R - E) = 10P + 4
10P + 4 est un multiple de 9 qui se termine par 4 ; (6 x 9 = 54) 10P + 4 = 54 et P = 5
A remarquer qu'il y a 4 solutions pour R et E, mais ce n'est pas la question posée : (54 + 6 = 60 ; 54 + 17 = 71 ; 54 + 28 = 82 ; 54 + 39 = 93)

Résultat

La valeur de P est 5.

06. Calculs de Yannick

Enoncé

1 9 5 7
+
+ 5 2 0 4
+
= 1 4 1 8 5

Yannick a additionné quatre nombres de quatre chiffres. Il a effacé deux nombres. Il s'adresse à sa voisine de pupitre. L'un des deux nombres effacés est suérieur de 52 à l'autre.

Trouvez les deux nombres qui manquent.

Calcul

L'addition 1957 + x + x + 52 + 5204 = 14185 2x = 6972 ; x = 3486
x = 3486 x + 52 = 3538

Résultat

Les deux nombres manquants sont 3486 et 3538.

07. Hermione soustrait

......
- ......
= ......

Enoncé

Hermione a tracé six cercles comme ci-contre. Elle a ajouté le signe - indiquant ainsi qu'elle veut faire une soustraction. Elle veut écrire les chiffres 2, 3, 5, 6, 7 et 8 dans les cercles. Hermione m'a confié que 8 est le dernier chiffre du résultat.

a b
- c d
= e 8

Disposez les cinq autres chiffres.

Calcul et Résultats

6 5 6 5
- 2 7 - 3 7
= 3 8 = 2 8
Utilisons les cinq lettres a, b, c, d et e comme ci-contre. b + d = 8 ou 18
Les possibilités sont : 12 - 4 = 8 (non, pas de 4) ; 13 - 5 = 8 ; 14 - 6 = 8 (non, pas de 4) ;
15 - 7 = 8 ; 16 - 8 = 8 (non)
Avec b = 3 et d = 5 ; il reste 2, 6 et 7 Avec la retenue de 1, on ne peut pas faire a - 1 - c = e
Avec b = 5 et d = 7 ; il reste 2, 3 et 6 On peut faire a = 6 ; c = 2 et e = 3 ou bien a = 6 ; c = 3 et e = 2

08. Pour toi Oscar

Enoncé

... ......
- ... - ... - ...
= ... = ... = ...

Oscar aime les soustractions. Son enseignante Clairette lui donne neuf jetons numérotés de 1 à 10, sauf le 9. Place, dit-elle, chacun des jetons sur les cercles du tableau que j'ai préparé pour toi. Trois fois, tu pourras lire deux nombres et leur différence. De plus, les cercles rouges doivent recevoir des jetons impairs.

ai dp gp
- bp - ei - hp
= ci = fi = ip
5 8 10
- 2 - 7 - 6
= 3 = 1 = 4

Placez les neuf jetons de façon à ce que la somme des trois jetons du bas soit 8.

Calcul et Résultat

Utilisons les lettres ci-contre
ci + fi + ip = 8 il y a 2 triolets possibles (1, 2, 5) ou (1, 3, 4) ; ce qui conduit à 4 cas avec la permutation des impairs
A remarquer que pour chaque cas, il ne reste que 2 impairs, donc 2 sous-groupes à tester, c'est à dire 8 cas à examiner en tout.
On énoncera dans l'ordre : ci, fi, ip, ai et ei
Cas n° 1.1 1, 5, 2, 3, 7 (ci = 1 ; fi = 5 ; ip = 2 ; ai = 3 ; ei = 7)
Il faudrait placer 2 en bp, mais 2 est déjà pris
Cas n° 1.2 1, 5, 2, 7, 3 bp = 6 ; dp = 8 ; Les pairs gp et hp ne marchent pas
Cas n° 2.1 5, 1, 2, 3, 7 ai < ci
Cas n° 2.2 5, 1, 2, 7, 3 bp = 2 déjà pris
Cas n° 3.1 1, 3, 4, 5, 7 bp = 4 déjà pris
Cas n° 3.2 1, 3, 4, 7, 5 bp = 6 ; dp = 8 ; les pairs 2 et 10 restants ne conviennent pas
Cas n° 4.2 3, 1, 4, 7, 5 bp = 4 déjà pris
Cas n° 4.1 3, 1, 4, 5, 7 bp = 2 ; dp = 8 ; gp = 10 ; hp = 6 ; c'est la solution.

09. Fête d'Augustin

Enoncé

r2 r1
A U
+ G U S
= T I N

Chaque lettre représente un chiffre différent. Indices : N = 4, pas de 1.

Déchiffrez cette addition. Y a-t-il plusieurs dipositions possibles ?

Calcul

U + S = 4 ou U + S = 14.     4 = 0 + 4 (déjà pris) = 1 + 3 (1 interdit) = 2 + 2 (U = S interdit). Donc r1 = 1 et U + S = 14.
G étant différent de T, r2 = 1 et T = G + 1
1 + A + U = 10 + I A - I = 9 - U
6 5
7 5 9
8 2 4
U S A I G T
5 9 7 3 Non
5 9 6 2 7 8
6 8 5 2 Non
8 6 3 2 Non
9 5 A = I ; Non

Résultat

Il n'y a qu'une solution. Voir ci-contre à droite.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
Aa
2 6 12
7 21 42
12 36 ?
Roasalie a écrit huit nombres dans cette grille. Logiquement, trouvez le nombre qui manque.
Cel(3,3) = 36 x 2 = 42 + 30 = 72 Le nombre qui manque est 72.
Ab Florence fait la somme de quatre nombres différents et obtient 15. Combien y a-t-il de façons de réaliser cette somme en excluant le 0 ? 1+2+3+9 = 1+2+4+8 = 1+2+5+7 =
1+3+4+7 = 1+3+5+6 = 2+3+4+6 = 15
Il y a 6 façons de faire.
Ac
G E S N A L O
Je suis une figure géométrique dont les lettres sont données. Dans la case rouge, la lettre est dans la bonne position. Qui suis-je ?
Je suis le losange.
Ad Juliette met des crayons dans une boite. Elle retire le tiers des crayons. La boite contient alors 58 crayons. Combien y avait-il de crayons dans la boite initialement ? 3/2 de 58 = 87 Initialement il y avait 87 crayons.
Ba Combien peut-on compter de diagonales dans un triangle ? Il y a 0 diagonale dans un triangle.
Bb Trouvez le nombre manquant x dans 2/54 = 6/x. x = 54 x 6 / 2 x = 162.
Bc Comment appelle-t-on le résultat de la division de deux nombres ? Le résultat de la division est le quotient.
Bd J'ai quatre douzaines d'oeufs ; je casse 11 oeufs. Combien me reste-t-il de douzaines entières d'oeufs ? Il me reste 3 douzaines entières
(+ 1 oeuf).
Be Quel est le quantième de décembre qui est le 360e jour d'une année bissextile ? 366 - 360 = 6 ; 31 - 6 = 25 C'est le 25 décembre.
Bf Combien de groupes de deux lettres peut-on faire avec les lettres de MARCO ? 2[5!/(2!.3!)] = 20 On peut faire 20 groupes de 2 lettres.
Bg Combien y a-t-il d'heures en trois jours et quart ? 24 x 3,25 ou 24 x 3 + 24/4 = 78 I y a 78 heures en 3 j 1/4.
Bh Agencez deux 2 et un 3 pour que le résultat soit 6. 23 - 2 = 6.
Bi Quelle est la lettre de rang 22 dans l'alphabet ? 26 - 22 = 4. VWXYZ La lettre V est la 22ème.
Bj Manon achète 12 livres à 10 € chacun. Il lui reste 23 €. Combien d'argent Manon avait-elle avant de faire ses achats ? 23 + 10 x 12 = 143. Manon avait 143 € avant ses achats.

11. Primeur de Nérée

Enoncé

1 ME est le double de PI
2 MI augmenté de 5 est égal à RM
3 EU est le double de MP
4 UU diminué de 6 est égal à PE
5 RU est le triple de PR

Nérée a composé un tableau dans lequel chaque lettre est mise pour un chiffre différent. Deux lettres accolées correspondent à un nombre de deux chiffres.

Quel est le nombre qui correspond à PRIMEUR ?

Calcul

Relation n° 5 10R + U = 30P + 3R 30P = 7R + U 7R + U est multiple de 30
Avec P = 1 On peut faire R = 4 et U = 2
Avec P = 2 On peut faire R = 8 et U = 4
Relation n° 4 10U + U - 6 = 10P + E E = 11U - 10P - 6
Avec P = 1 R = 4 et U = 2 E = 22 - 10 - 6 = 6
Avec P = 2 ; R = 8 et U = 4 E = 44 - 20 - 6 = 18 ; interdit Solution 1 : P = 1 ; R = 4 ; U = 2 ; E = 6
Relation n° 3 10E + U = 20 M + 2P M = (10E + U - 2P)/20 = 3 M = 3
Relation n° 2 10M + I + 5 = 10R + M I = 10R - 9M - 5 = 8 I = 8
Relation n° 1 Elle est redondante 10M + E = 20P + 2I = 30 + 6 = 36 = 20 + 16 = 36

Résultat

Le nombre correspondant à PRIMEUR est : 1 483 624.

12. Donald, Gérald et Robert

r5 r4 r3 r2 r1
D O N A L D
+ G E R A L D
= R O B E R T

Enoncé

On donne D = 5 au départ pour faciliter la recherche. Beau, car tous les chiffres sont présents. Solution unique , bien sûr.

Calcul et Résultat

colonnes des unités D = 5 ; 2 x 5 = 10 D = 5 ; T = 0 ; r1 = 1
Dans la colonne des 10 000 : r4 + O + E = O + 10 r5 ; c'est à dire : E = 10r5 - r4
Si r4 = 0 et r5 = 0 Si r4 = 0 et r5 = 1 Si r4 = 1 et r5 = 0 Si r4 = 1 et r5 = 1
E = 0 ; déjà pris E = 10 ; non autorisé E = -1 ; non autorisé E = 9
Colonne des centaines : r2 + 2A = 10r3 + 9 ; c'est à dire : A = (10r3 + 9 - r2)/2
Si r2 = 0 et r3 = 0 Si r2 = 0 et r3 = 1 Si r2 = 1 et r3 = 0 Si r2 = 1 et r3 = 1
A = 9/2 ; non a A = 19/2 ; non A = 4 ; oui A = 9 ; déjà pris
5 2 6 4 8 5
+ 1 9 7 4 8 5
= 7 2 3 9 7 0
r5 r4 r3 r2 r1 D T E A R L G B N O
Déjà connus 1 1 0 1 1 5 0 9 4
Dizaines : L = (R + 10r2 - r1)/2
Col des 100 000 : r5 + D + G = R ; G = R - 6
1 1 0 1 1 5 0 9 4 3
7
6
8
-3 ; non
1
Col des milliers : N = B + 10 - R 1 1 0 1 1 5 0 9 4 7 8 1 3 6
Ol reste O = 2 1 1 0 1 1 5 0 9 4 7 8 1 3 6 2

13. Rage en gare

Enoncé

G A
x R E
= R A G E

Chaque lettre représente un chiffre différent.

Déchiffrez cette multiplication. Il y a deux dispositions possibles.

Résulats de la relation I
A 1 de 2 à 9 3 6 6 6 7 9
E de 2 à 9 0 5 2 4 8 5 5
r1 0 0 1 1 2 4 3 4

Calcul

Relation dans la colonne des unités : A.E = 10r1 + E I : E(A - 1) = 10r1
Calcul de G, somme des produits en croix : G.E + A.R + r1 = G + 10r2 II : G(E - 1) + A.R = 10r2 - r1
Calcul de "RA" G.R + r2 = 10R + A III : R(10 - G) = r 2 - A
8 1
x 2 7
= 2 1 8 7
9 3
x 1 5
= 1 3 9 5
Résultats de la relation II et confrontation avec la relation III - Avec A = 1
r1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
E 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9
G 3 4 6 7 2 4 6 7 8 9 6 7 8 9 3 7 9 3 7 9 2 3 4 6 8 9 2 3 4 9 2 3 4 6 7 8
R 7 6 4 3 6 2 8 6 4 2 2 9 6 3 8 2 4 5 5 5 8 2 6 4 2 6 6 9 2 7 4 6 8 2 4 6
r2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 4 2 4 5 2 2 3 4 5 6 2 3 3 7 2 3 4 5 6 7
Rel III N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N Oui N N N N N N N N N N N
Résultats de la relation II et confrontation avec la relation III - Avec A > 1
r1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 3 3 3 3 4 4 4 4 4
A 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 9 9 3 3 3 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 9 9 9 9 9
E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 2 2 2 2 2 4 8 5 5 5 5 5 5 5 5 5
G 4 6 8 1 2 4 6 7 8 9 2 6 8 8 8 1 2 3 4 6 8 2 4 6 2 3 4 5 7 8 2 8 9 1 1 3 5 9 2 4 1 4 6 9 1 3 6 7 6
R 7 8 9 7 4 8 2 9 6 3 3 9 2 7 3 3 6 9 2 8 4 4 3 2 8 7 6 6 3 2 7 9 1 3 8 1 4 5 7 3 9 3 9 3 8 6 8 2 8
r2 1 1 1 2 1 2 0 2 1 0 1 3 0 2 1 2 4 6 1 5 2 3 2 1 7 6 5 5 2 1 3 6 4 2 5 1 3 4 5 5 7 4 9 6 8 7 10 5 9
Rel III N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N Oui N N N N N N N N N N N N N N N N

Résultat

Les deux tables de résultats sont reportée à droite, ci-dessus.

14. Histoire de chats à queue blanche

Enoncé

Calcul

Avec n chats dont b chats à queue blanche, au premier tirage on a b/n chance d'avoir un chat à queue blanche.
Au deuxième tirage, les chances deviennent (b -1)/(n - 1).
Les chances globales d'avoir deux chats à queue blanche sont : b(b - 1) sur n(n - 1)
Il faut que le rapport soit de 1/2, donc :     2b(b - 1) = n(n - 1) ;     b2 - b - n(n - 1)/2 = 0
On ne prendra que la racine positive :     b = (1 + racine(1 + 2n(n - 1)))/2.     Il se trouve qu'il n'y a qu'une valeur entière.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
b 1,618 2,31 3 3,70 4,41 5,11 5,82 6,52 7,23 7,93 8,64 9,35 10,05 10,76 11,47 12,17 12,88 13,59 14,29

Vérifications

Vérification 1

Il y a donc 4 chats dont 3 sont à queue blanche. Au 1er tirage la probabilité est 3/4 d'avoir un chat à queue blanche. Au 2ème tirage la probabilité devient 2/3. La probabilité globale d'avoir deux chats à queue blanche est : (3/4)(2/3) = 1/2.

les chats 1 2 3 4 5 6 nb de
qb = 2
qb x x x
qb x x x
qb x x x
a x x x
nb de qb 2 2 1 2 1 1 3

Vérification 2

Tableau de tous les tirages possibles. Légende : qb = chat à queue blanche ; a = autre (pas de queue blanche).     3/6 = 1/2.

Résultat

Mme Durand a quatre chats.

Curiosité

Pour n = 2, b ressemble au nombre d'Or. En effet, dans ce cas, b = (1 + racine(5))/2.