Considérons la suite définie par x0 = 1 et à partir de n = 1, xn = xn - 1(n - 3)/(n + 1).
| n | L'expression | xn |
|---|---|---|
| 0 | 1 | |
| 1 | 1(-2)/2 | -1 |
| 2 | -1(-1)/3 | 1/3 |
| 3 | (1/3)(0/4) | 0 |
| 4 | 0(1/5) | 0 |
Quelle est la valeur de x2020 ?
Calculons les premiers termes de cette suite.
x2020 = 0
Existe-t-il deux nombres consécutifs tels que le quadruple de la différence de leurs carrés soit égale à 2020 ?
Quels sont ces deux nombres ?
| Soit les deux nombres consécutifs | n et n + 1 | |
| Quadruple de la différence des carrés | 4[(n + 1)2 - n2] = 2020 | 4(n2 + 2n + 1 - n2) = 2020 |
| 8n + 4 = 2020 | n = 252 |
Les deux nombres sont 252 et 253.
Si nous sommes aujourd'hui le jeudi 20 août 2020, dans combien d'années seront nous à nouveau un jeudi 20 août ?
Même question pour le mardi 7 janvier 2020.
Sachant que, 365 = 52*7 + 1, d'une année sur l'autre les jours de semaine se décalent d'un jour, sauf pour les années bissextiles qui donnent un décalage de 2 jours. Attention à la position du 29 février.
| Date | 20/8/2020 | 20/8/2021 | 20/8/2022 | 20/8/2023 | 20/8/2024 | 20/8/2025 | 20/8/2026 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jour de la semaine | Jeudi | Vendredi | Samedi | Dimanche | Mardi | Mercredi | Jeudi |
| Date | 7/1/2020 | 7/1/2021 | 7/1/2022 | 7/1/2023 | 7/1/2024 | 7/1/2025 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Jour de la semaine | Mardi | Jeudi | Vendredi | Samedi | Dimanche | Mardi |
Le jeudi 20 août se retrouvera 6 ans après et mardi 7 janvier existera 5 ans après.
| n | L'expression | an |
|---|---|---|
| 0 | 1 | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 1(1 + 1) | 2 |
| 3 | 2(1 + 2) | 6 |
| 4 | 3(2 + 6) | 24 |
| 5 | 4(6 + 24) | 120 |
| 6 | 5(24 + 120) | 720 |
| 7 | 6(120 + 720) | 5040 |
Une suite de nombres est définie de la manière suivante : les deux premiers termes a0 et a1 sont égaux à 1, puis pour n à partir de 1, an + 1 = n(an - 1 + an).
Quel est le chiffre des unités du terme a2020 ?
A partir de a7 il y a toujours dans l'addition deux nombres multiples de 10. La somme est multiple de 10 et le produit par un entier est un multiple de 10.
Le chiffre des unités de a2020 est 0 (zéro).
Quel est le chiffre situé en position 2020 dans l'expression décimale de la fraction 2035/1998 ?
Alain nous a fait remarquer que 2035/1998 = 55/54. On commençant la division de 2035 par 1998 ou mieux de 55 par 54, on se rend compte qu'il apparait un cycle dans le résultat : 1,0 185 185 185 ...
Le chiffre de rang 1 est 0,
Le chiffre de rang 2 (3k + 2) est 1,
Le chiffre de rang 3 (3k + 0) est 8,
Le chiffre de rang 4 (3k + 1) est 5.
2020 = 671 * 3 + 1. Le 2020ème chiffre après la virgule a le rang 3k + 1. La valeur de ce chiffre est 5.
Le chiffre en position 2020 est 5.
Soit n un nombre entier, et soit m le nombre entier que l'on obtient en enlevant à n son chiffre des unités.
Si n - m = 2020, quelle est la valeur de n ?
| Avec | u | le chiffre des unités de n | |
| On a la relation | n = 10m + u | n - m = 2020 | |
| 10m + u - m = 2020 | 9m + u = 2020 | ||
| 2020/9 = 224 et il reste 4 | m = 224 et u = 4 | ||
| n = 2020 + m = 2020 + 224 = 2244 |
La valeur de n est : 2244.
Soit la somme : S = 2020/(10*11) + 2020/(11*12) + 2020/(12*13) + ... + 2020/(2019*2020).
Trouver la valeur de cette somme
En préalable, il y a un arrangement possible de chacun des termes de cette somme. Suivant l'invitation de Christophe, considérons la différence D :
| D = 1/n - 1/(n+1) ; elle vaut : | D = (n + 1)/[n(n + 1)] - n/[n(n + 1)] = 1/[n(n + 1)] |
| Donc chacun des termes de S peut être éclaté en deux autres termes | S = 2020(1/10 - 1/11 + 1/11 - 1/12 + 1/12 - 1/13 + 1/13 ... + 1/2019 - 1/2020) |
| S = 2020(1/10 - 1/2020) = 2020(202 - 1)/2020 = 201 |
La valeur de la somme est 201.
| n | Calcul | xn |
|---|---|---|
| 1 | 2 | |
| 2 | 2(3/1) | 2.3 |
| 3 | 2.3(4/2) | 3.4 |
| 4 | 3.4(5/3) | 4.5 |
| n - 1 | Si xn - 1 = (n - 1)n | |
| n | (n - 1)n(n + 1)/(n - 1) | n(n + 1) |
| 2020 | 2020.2021 | 4 082 420 |
Considérons la suite définie par : x1 = 2 et xn + 1 = xn(n + 2)/n.
Quelle est la valeur de x2020 ?
Voir le tableau ci-contre.
Valeur de x2020 : 4 082 420
Si a et b sont des entiers positifs tels que a2 - b2 = 485, combien vaut a2 + b2 ?
Si a et b sont des entiers positifs tels que a3 - b3 = 485, combien vaut a3 + b3 ?
| On a : a2 - b2 = (a + b)(a - b) = 485, avec la remarque que : 485 = 1*485 ou 5*97. | |||
| Avec : a + b = 485 et a - b = 1 | 2a = 486 | a = 243 et b = 242 | a2 + b2 = 117 613 |
| Avec : a + b = 97 et a - b = 5 | 2a = 102 | a = 51 et b = 46 | a2 + b2 = 4 717 |
| Christophe nous a suggéré l'existence d'un facteur (a - b). En faisant la division polynomiale on trouve le 2ème facteur. | |||
| a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) | 485 = 1 * 5 * 97 = 1 * 485 ou 5 * 97 | ||
| Avec a - b = 1 on aboutit à une équation du second degré qui n'a pas de solution entière. | |||
| Avec a - b = 5 ou a = 5 + b | a2 + ab + b2 = (5 + b)2 + (5 + b)b + b2 = 97 | ||
| 25 + 10b + b2 + 5b + b2 + b2 = 3b2 + 15b + 25 = 97 | |||
| b2 + 5b - 24 = 0 | b = 3 et a = 8 | ||
| a3 = 512 ; b3 = 27 ; a3 - b3 = 485 ; a3 + b3 = 539 | |||
Il y a deux solutions pour a2 + b2 : 4 717 ou 117613 ; et une solution pour a3 + b3 : 539.
| N° | Enoncé | Calcul | Résultat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Aa |
| Aucunes cellules consécutives ont des chiffres dont la somme est 66 | Pas de solution. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ab | Thomas agence des nombres différents de 1 à 12. Combien y a-t-il de trios dont la somme est 15 ? | 1.3.11 ; 1.4.10 ; 1.5.9 ; 1.6.8 ; 2.3.10 ; 2.4.9 ; 2.5.8 ; 2.6.7 ; 3.4.8 ; 3.5.7 ; 4.5.6 | Il y a 11 trios dont la somme est 15. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ac | Edouard a mangé 69 pommes en six mois. Chaque mois, il mangeait trois de plus que le mois précédent. Combien Edouard a-t-il mangé de pommes pendant le quatrième mois ? | 6x + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 69 x = 4 ; 4 + 3 + 3 + 3 = 13 | Le 4ème mois, il mange 13 pommes. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ad |
| On peut lire BLEU de 4 façons différentes. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ba | Comment appelle-t-on un polygone qui a sept angles intérieurs ? | C'est un heptagone. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bb | Combien y a-t-il de mois dont le mot contient un seul R ? | janvier, mars, avril, septembre , octobre, novembre, décembre | 7 mois n'ont qu'un seul R. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bc | Quel nombre correspond au quart de la moitié de 24 ? | 24/2/4 = 3 | Ce nombre est 3. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bd | Combien y a-t-il de mois ayant exactement 30 jours pendant sept ans ? | 4 x 7 = 28 | 28 mois de 30 jours en 7 ans. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Be | Combien y a-t-il de 5 dans cinquante mille cinquante cinq ? | 50 055 | Il y a 3 fois le chiffre 5. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bf | Vrai ou faux. Un triangle est un polygone. | Oui, un triangle est un polygone. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bg | Quel est le nombre divisible par 4 qui est le plus proche de 75 ? | 72, 76 | 76 est le plus proche de 75. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bh | Quel est le cube de 10 ? | Le cube de 10 est 1 000. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bi | Combien y a-t-il de tiers dans 11 ? | 11 x 3 = 33 | Il y a 33 tiers dans 11. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bj | Chaque jour, Nicole lit 15 pages d'un livre. Pendant le même temps, Henri lit trois pages de plus. Combien Nicole a-t-elle lu de pages de moins que Henri au bout d'une semaine ? | 3 x 7 = 21 | En une semaine Nicole lit 21 pages de moins. |
Combien existe-t-il de nombres positifs à 6 chiffres multiples de 154 et se terminant par 154 ?
| Multiples de 4, répétition du 4 à l'unité | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4k | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| Multiples de 54, répétition de 54 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| k | 1 | 6 | 11 | 16 | 21 | 26 | 31 | 36 | 41 | 46 | 51 |
| 154k | 54 | 324 | 594 | 864 | 1 134 | 1 404 | 1 674 | 1 944 | 2 214 | 2 584 | 2 854 |
| Multiples de 154, répétition de 154 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| k | 1 | 51 | 101 | 151 | 201 | 251 | 301 | 351 | 401 | 451 | 501 |
| 154k | 154 | 7 854 | 15 554 | 23 254 | 30 954 | 38 654 | 46 354 | 54 054 | 61 754 | 69 454 | 77 154 |
Les multiples de 4 ayant 4 comme chiffre des unités se répètent tous les 5 fois 4 à partir de 1 fois 4.
Les multiples de 54 se terminant par 54 se répètent tous les 50 fois 54, à partir de 1 fois 54.
Les multiples de 154 se terminant par 154 se répètent tous les 500 fois 154, à partir de 1 fois 154.
100 000/154 = 649,35 ; 1 + premier multiple de 500 : 1 001 ; k1 = 1 001 ; 154k1 = 154 154 (le premier multiple de 154 recherché).
1 000 000/154 = 6493,51 ; 1 + dernier multiple de 500 : 6 001 ; k2 = 6 001 ; 154k2 = 924 154 (le dernier multiple de 154 recherché).
(k2 - k1)/500 + 1 = 11
Il y a 11 nombres qui sont : 154 154 ; 231 154 ; 308 154 ; 385 154 ; 462 154 ; 539 154 ; 616 154 ; 693 154 ; 770 154 ; 847 154 ; 924 154.
Nous dirons qu'un nombre entier positif n est parent du nombre à deux chiffres ab si son chiffre des unités est b et si ses autres chiffres sont différents de zéro et que leur somme est a. Par exemple, les parents de 31 sont 31, 121, 211 et 1111.
Affinons notre terminologie. A partir d'un nombre à deux chiffres quelconque ab (10a + b), un des parents est constitué de deux parties, une partie a' = f(a) et une partie b inchangée. a' sera le précurseur d'un des parents. Ainsi on pourra résumer l'étude à 9 groupes, chacun des groupes ayant le même a (même chiffre des dizaines), et les mêmes précurseurs, les mêmes a'. Dans l'exemple de l'énoncé avec a = 31, c'est à dire a = 3, les précurseurs a' seront 3, 12, 21, 111 (somme des chiffres égale à 3). Les parents réels avec b = 1 sont 31, 121, 211, 1111. Les parents avec b = 3 seront : 33, 123, 213, 1113.
Avec a = 1, il n'y a qu'un seul précurseur a' = 1. Pour b quelconque de 0 à 9, on a : ab = 1b et a'b = 1b. Donc a'b/ab = 1 toujours. Donc a'b est toujours divisible par ab. Exemple avec b = 7 : 71/71 = 1. Donc les dix formes 1b conviennent.
On va choisir le précurseur le plus petit possible, un précurseur à deux chiffres (un 1 suivi de a - 1), qui vaut a' = 10 + a - 1 = 9 + a. Ensuite pour b de 0 à 9 on examine la divisibilité de (10a' + b) par (ab), c'est à dire de (10(9 + a) + b) par (ab), c'est à dire de (90 + 10a + b) par (ab).
| b = 0 | b = 2 | b = 3 | b = 5 | b = 9 | Commentaire | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a = 2 | 110/20 = 5,5 | 112/22 = 5,09 | 113/23 = 4,91 | 119/29 = 4,10 | Le rapport décroit sans passer par 5. On peut éliminer a = 2 | |
| a = 3 | 120/30 = 4 | 129/39 = 3,31 | ab = 30 à examiner en détails | |||
| a = 4 | 130/40 = 3,25 | 135/45 = 3 | 139/49 = 2,84 | ab = 45 à voir en détails | ||
| a = 5 | 140/50 = 2,80 | 149/59 = 2,53 | Le rapport décroit de 2,8 à 2,5. Il ne passe pas par l'unité. A éliminer | |||
| a = 6 | 150/60 = 2,5 | 159/69 = 2,30 | A éliminer | |||
| a = 7 | 160/70 = 2,29 | 169/79 = 2,14 | A éliminer | |||
| a = 8 | 170/80 = 2,13 | 179/89 = 2,01 | A émiminer | |||
| a = 9 | 180/90 = 2 | 189/99 = 1,91 | ab = 90 à voir |
Il y a 4 précurseurs possibles : 111, 12, 21 et 3.
| 1110/30 = 111/3 = 37 | 120/30 = 12/3 = 4 | 210/30 = 21/3 = 7 | 30/30 = 3/3 = 1 | ab = 30 convient |
Les précurseurs sont : 1111, 112, 121, 211, 13, 31, 22.
| 11115/45 = 247 | 1125/45 = 25 | 1215/45 = 27 | 2115/45 = 47 | 135/45 = 3 | 315/45 = 7 | 225/45 = 5 | ab = 45 convient |
Sauf erreur, il existe 239 parents de 9x. Il faut donc trouver quelque chose. A remarquer déjà, que le problème peut se simplifier car b = 0 . En effet avec p' un des précurseurs, p'0/90 (plus précisément 10p'/90), est équivalent à p'/9. Ensuite, on utilise le principe de la preuve par 9. Par construction (suivant les régles de la construction d'un parent), la somme des chiffres de chaque p' étant 9, p' modulo 9 = 0. Cela veut dire que la division entière par 9 a un reste nul. Donc tous les parents sont divisibles par 9. Et donc ab = 90 est une solution.
Il y a 13 nombres à deux chiffres qui sont diviseurs de tous leurs parents : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 45, 90.
Cet exercice a été posé au cours de la séance 511, le 8 avril 2019, question n° 19. Le texte est ici recopié.
Le bon, la brute et le truand ont engagé un combat à trois (au pistolet). Comme ce sont des gentlemen et qu’ils font bien les choses, ils ont convenu de tirer au sort l’ordre dans lequel ils vont tirer. Le bon tirera, en premier, une balle, puis le truand, puis la brute, à condition, pour chacun, qu’il soit encore en vie. Et, le tour reprendra, dans le même ordre jusqu’à ce qu’il n’y ait plus qu’un seul survivant. Le bon ne tire pas très bien. Il n’atteint sa cible qu’une fois sur trois. De plus, il sait que le truand tire un peu mieux que lui : il touche sa cible une fois sur deux. On sait que la brute est un véritable tueur qui ne rate jamais sa cible.
Sur qui le bon doit-il tirer en premier pour avoir le plus de chances d’être le rescapé ?
| Examen de l'expression : | 1/2 - ∑ de [1/3i] pour i = 1 à l'infini |
| Rang i | 1 | 2 | 3 | 4 | . . . | i | . . . | i = ∞ |
| Terme 1/3i | 1/3 | 1/9 | 1/27 | 1/81 | . . . | 1/3i | . . . | 1 / 3∞ = 0 |
| ∑ des termes | 1/3 | 4/9 | (32 + 31 + 30)/33 = 13/27 = (1/2)(33 - 1)/33 |
(33 + 32 + 31 + 30)/34 = 40/81 = (1/2)(34 - 1)/34 | . . . | (1/2)(3i - 1)/3i | ||
| 1/2 - ∑ | 1/6 | 1/18 | 27/54 - 2(9 + 3 + 1)/(2*27) = 1/54 |
81/162 - 2( 27 + 9 + 3 + 1)/(2*81) = 1/162 | . . . | 1/(2*3i) | . . . | 1/(2*3∞) = 0 |
Conclusion : l'expression 1/2 - ∑ de [1/3i] pour i de 1 à l'infini, tend vers zéro et donc l'expression ∑ de [1/3i] tend vers un demi.
Au cours des hypothèses suivantes on symbolisera,
| Le bOn, par la lettre, | O |
| Le Truand, par la lettre, | T |
| La bRute, par la lettre, | R |
| Il reste O et T A1 : O tue T (1 fois sur 3) | Il reste O. C'est gagné. | |
| Il reste OT A2 : O rate T (2 fois sur 3 à partir d'ici) | Il reste OT B1 : T tue O (1/2 de 2/3 = 1/3) | Reste T. Perdu |
| Il reste OT B2 : T rate O (1/2 de 2/3 = 1/3) | Il reste OT C1 : O tue T (1/3 de 1/3 = 1/9) | Il reste O. Gagné |
| Il reste OT C2 : O rate T (2/3 de 1/3 = 2/9) | Il reste OT D1 : T tue O (1/2 de 2/9 = 1/9 | Il reste T. Perdu |
| Il reste OT D2 : T rate O (1/2 de 2/9 = 1/9) | Il reste OT E : O tue T (1/3 de 1/9 = 1/27) | Il reste O. Gagné |
Au premier passage, les chances de succès sont : 1/3 + 1/9 + 1/27. Au deuxième passage on a 1/27 fois ces valeurs à ajouter (+ 1/81 + 1/243 + 1/729). On a un bouclage infini qui nous amène à l'espression : ∑ de [3-i] avec i de 1 à l'infini dont la valeur est : 1/2.
| Il reste O, T et R A1 : O tue T (1 fois sur 3) | Il reste OR B : R tue O ( 1 fois sur 3) | Reste R. Perdu. |
| Il reste OTR A2 : O rate T (2 fois sur 3) | Il reste OTR C1 : T tue R (1/2 de 2/3 = 1/3) | Il reste OT D : La main à O vers la boucle. |
| Il reste OTR C2 : T rate R (1/2 de 2/3 = 1/3) | Il reste OTR E : R tue O (à 100%) | Reste TR, mais perdu pour O. |
| Il reste OTR F : R tue T ( à 100%) | Il reste OR G1 : O tue R (1/3 de 1/3 = 1/9) | Reste O, gagné. |
| Il reste OR G2 : O rate R (2/3 de 1/3 = 2/9) | Reste OR H : R tue O (à 100%) | Reste R, perdu. |
| Reste OTR I1 : T tue O (1/2 de 2/3 = 1/3) | Reste TR, perdu pour O. | |
| Il reste OTR I2 : T rate O (1/2 de 2/3 = 1/3) | Il reste OTR J : R tue O (à 100%) | Perdu. |
| Il reste OTR K : R tue T (à 100%) | Il reste OR L1 : O tue R (1/3 de 1/3 = 1/9) | Reste O, gagné. |
| Il reste OR L2 : O rate R (2/3 de 1/3 = 2/9) | Il reste OR M : R tue O (à 100%) | Reste R, perdu. |
Somme des possibilités de gagner dans ce cas : D + G1 + L1 = 1/3 de 1/2 + 1/9 + 1/9 = 7/18.
| Il reste OTR A1 : O tue R (1 fois sur 3) | Il reste OT B1 : T tue O (1/2 de 1/3 = 1/6) | Reste T, perdu. |
| Il reste OT B2 : T rate O (1/2 de 1/3 = 1/6) | Il reste OT C : La main à O Vers la boucle. | |
| Il reste OTR A2 : O rate R (2 fois sur 3) | Il reste OTR D1 : T tue R (1/2 de 2/3 = 1/3) | Reste OT E : La main à O vers la boucle. |
| Il reste OTR D2 : T rate R (1/2 de 2/3 = 1/3) | Il reste OTR F : R tue O (à 100%) | Reste TR, perdu pour O. |
| Reste OTR G : R tue T (à 100%) | Reste OR H1 : O tue R 1/3 de 1/3 = 1/9) | Reste O, gagné. |
| Il reste OR H2 : O rate R (2/3 de 1/3 = 2/9) | Il reste OR R tue O (à 100%) |
Reste R, perdu. |
| Il reste OTR I1 : T tue O (1/2 de 2/3 = 1/3) | Reste TR, perdu pour O. | |
| Il reste OTR I2 : T rate O (1/2 de 2/3 = 1/3) | Il reste OTR J : R tue O (à 100%) | Reste TR, perdu pour O. |
| Il reste OTR K : R tue T (à 100%) | Il reste OR L1 : O tue R (1/3 de 1/3 = 1/9) | Reste O, gagné. |
| Il reste OR L2 : O rate R (2/3 de 1/3 = 2/9) | Il reste OR M : R tue O (à 100%) | Reste R, perdu. |
Somme des possibilités de gagner dans ce cas : C + E + H1 + L1 = 1/12 + 1/6 + 1/9 + 1/9 = 17/36.
14/36 < 17/36. Donc c'est le 2ème choix qui est le meilleur.
Le bon doit tirer d’abord sur la brute pour avoir un peu plus de chances d’être rescapé.
Cet exercice a été posé au cours de la séance 504, le 3 décembre 2018, question n° 12. Le texte est ici recopié.
Un homme célèbre les 99 ans de sa naissance. Il ne se rappelle pas en quelle année il est, mais il se souvient de certains événements et il peut encore réussir n'importe quel calcul. Il dit à ses trois filles venues pour fêter son anniversaire avec lui :
En quelle année ce dialogue a-t-il eu lieu ?
| Avec | x | l’année actuelle, |
| a, f et m | les années du voyage en Amérique de respectivement Alicia, Françoise et Marina | |
| L’équation est | a + f + m + (x – a) + (x – f) + (x – m) – 99 = 5892 | 3x = 5991 |
| x = 1997 |
Ce dialogue a eu lieu en 1997.
Deux nombres (m et n) supérieurs à 1 dont la somme est inférieure à 100. Paul en connait le produit (p) et Sandrine la somme (s). Ce sont deux
mathématiciens ! La conversation reportée ci-dessous se tient :
Paul : je ne connais pas ces nombres.
Sandrine : je m'en doutais bien ; mais c'est mon cas également.
Paul : dans ce cas, je sais quels sont les deux nombres.
Sandrine : bravo, mais alors moi aussi.
Le développement ci-dessous a été guidé par Gérard Villemin (GV), dont on trouve le cheminement en 4 étapes, sur le site :
"http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Nombre/SomProd.htm#anniv".
Sandrine connait la somme (s) et Paul connait le produit (p). Nous ne connaissons ni l'un, ni l'autre. Nous sommes donc contraints d'examiner tous les cas de figure, dans un certain cadre, dans les limites données par l'énoncé. La valeur minimale de m et n est 2 (> 1). La valeur maximale est conditionnée par la somme m + n qui est 99 (< 100). Nous devons donc examiner chaque couple (m ,n), mais sachant que les deux couples (m, n) et (n, m) ont les mêmes sommes et produits, nous ne considérerons que les couples pour lesquels n est >= à m.
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | ... | 94 | 95 | 96 | 97 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| m | |||||||||||||||||||
| 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | ... | 96 | 97 | 98 | 99 | |
| 3 | - | 6 | 7 | 8 | ... | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | ... | 97 | 98 | 99 | - | |
| 4 | - | 8 | 9 | ... | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | ... | 98 | 99 | - | |||
| 5 | - | 10 | ... | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | ... | 99 | - | |||||
| ... | ... | ||||||||||||||||||
| 46 | - | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | - | |||||||||
| 47 | - | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | - | |||||||||||
| 48 | - | 96 | 97 | 98 | 99 | - | |||||||||||||
| 49 | - | 98 | 99 | - | |||||||||||||||
Le tableau des sommes nous montre qu'en première lecture il n'y a que deux couples pour lesquels la somme est unique. Ce sont les couples (2, 2) et (2, 3) qui donnent les sommes 4 et 5, sommes qui n'apparaisent nulle part ailleurs, et qui sont évidemment à éliminer puisque dans ce cas, Sandrine aurait dit : "Je connais m et n", avant d'avoir eu la première affirmation de Paul.
Ce tableau n'a que l'intérêt de mettre en évidence la manière d'organiser le balayage des valeurs de m et n :
Faire varier m de 2 à 49.
Pour chaque valeur de m, faire varier n de m à 99 - m.
Exclure les couples (2, 2) et (2, 3).
C'est le nom donné par (GV) à ces produits qui peuvent être obtenus de plus d'une façon. Dans ses tables il parle de "multiplications multiples". Exemples :
51 ne peut être obtenu qu'en faisant 3 x 17 ; 3 et 17 sont des nombres premiers, il n'est pas possible de les arranger autrement. 51
est unique.
68 = 22.17 = 2 x 34 = 4 x 17 ; 68 est ambigu.
| Pour plus de détails, il faut ouvrir le fichier Excel suivant : |
La méthode basée sur les nombres premiers, proposée par GV est insuffisante. Nous préférons calculer tous les produits de chaque couple (m, n), de les compter, et d'éliminer ceux qui ne peuvent être obtenus que par un seul couple. Ainsi sur les 2352 couples (m, n), il y en a 1746 qui ont un produit ambigu, ce qui représente 572 produits ambigus. Chaque cellule du tableau qui contient un produit ambigu est repérée. Voici les premiers produits ambigus :
| 12 | 16 | 18 | 20 | 24 | 28 | 30 | 32 | 36 | 40 | 42 | 44 | 45 | 48 | 50 | 52 | 54 | 56 | 60 | 63 | 64 | 66 | 68 | 70 | 72 | 75 | 76 | 78 | 80 | 81 | 84 | 88 | 90 | 92 | 96 | 98 | 99 | 100 |
La somme et le produit du couple (m, n) à rechercher sont ambigus, individuellement. Sandrine et Paul réfléchissent au raisonnement que fait l'autre. Sans tenir compte de la somme ou du produit que chacun connait de son côté, ils peuvent faire un balayage complet et mettre en commun la double ambiguité.
Il y a d'abord une sélection à faire sur les sommes. On peut obtenir une valeur s par l'addition de m et n provenant de couples différents. Chacun de ces couples a ou non un produit ambigu. Si un des couples (m, n) a un produit non ambigu on a la solution. Mais on sait qu'on ne l'a pas cette solution. Donc il suffit qu'un seul des produits des couples relatifs à une somme soit non ambigu pour rejeter la somme. On ne retient que les sommes pour lesquelles tous les couples qui permettent d'obtenir cette somme, ont un produit ambigu. On notera aussi au passage tous les produits qui ont été considérés.
Exemple avec s = 10. On peut obtenir 10 en faisant : 2 + 8 ou 3 + 7 ou 4 + 6 ou 5 + 5. Les produits correspondants sont : 16 ou 21
ou 24 ou 25. Dans cette liste 21 et 25 ne sont pas ambigus. On doit rejeter la somme 10.
Exemple avec s = 11 ; 11 = 2 + 9 ou 3 + 8 ou 4 + 7 ou 5 + 6. Les produits sont : 18 ou 24 ou 28 ou 30. Tous ces produits sont ambigus. La somme 11 est
sélectionnée.
| Sélection des sommes et produits à examiner | |||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sommes | Les produits correspondants | ||||||||||||||||||||||||
| 11 | 18 | 24 | 28 | 30 | |||||||||||||||||||||
| 17 | 30 | 42 | 52 | 60 | 66 | 70 | 72 | Les couples (m, n) considérés sont : (2, 15) ; (3, 14) ; (4, 13) ; (5, 12) ;(6, 11) ; (7, 10) ; (8, 9) | |||||||||||||||||
| 23 | 42 | 60 | 76 | 90 | 102 | 112 | 120 | 126 | 130 | 132 | |||||||||||||||
| 27 | 50 | 72 | 92 | 110 | 126 | 140 | 152 | 162 | 170 | 176 | 180 | 182 | |||||||||||||
| 29 | 54 | 78 | 100 | 120 | 138 | 154 | 168 | 180 | 190 | 198 | 204 | 208 | 210 | ||||||||||||
| 35 | 66 | 96 | 124 | 150 | 174 | 196 | 216 | 234 | 250 | 264 | 276 | 286 | 294 | 300 | 304 | 306 | |||||||||
| 37 | 70 | 102 | 132 | 160 | 186 | 210 | 232 | 252 | 270 | 286 | 300 | 312 | 322 | 330 | 336 | 340 | 342 | ||||||||
| 41 | 78 | 114 | 148 | 180 | 210 | 238 | 264 | 288 | 310 | 330 | 348 | 364 | 378 | 390 | 400 | 408 | 414 | 418 | 420 | ||||||
| 47 | 90 | 132 | 172 | 210 | 246 | 280 | 312 | 342 | 370 | 396 | 420 | 442 | 462 | 480 | 496 | 510 | 522 | 532 | 540 | 546 | 550 | 552 | |||
| 53 | 102 | 150 | 196 | 240 | 282 | 322 | 360 | 396 | 430 | 462 | 492 | 520 | 546 | 570 | 592 | 612 | 630 | 646 | 660 | 672 | 682 | 690 | 696 | 700 | 702 |
En rose, ce sont les produits qui apparaissent plusieurs fois. Dans la série 17 il y a un produit qui n'apparait qu'une seule fois. C'est la solution : s = 17 ; p = 52 ; m = 4 ; n = 13.
| Pour plus de détails, il faut ouvrir le fichier Excel suivant : |
s = 17 ; p = 52 ; m = 4 ; n = 13.