512, Bouquet final, Le 20 mai 2019

01. Un tour de cartes

Enoncé

On utilise un jeu de 32 cartes, dont on extrait 30 cartes.

• L’opérateur étale les cartes (faces différentes visibles) en 5 colonnes de 6 cartes.
• Il demande à l’un des spectateurs de choisir mentalement une carte parmi les 30 cartes étalées.
• L’observateur écrit le nom de la carte sur une feuille de papier qu’il insère dans une enveloppe.
• Bien sûr, l’opérateur ignore quelle est la carte choisie.
• Il demande au spectateur de désigner la colonne qui contient la carte choisie.
• Il reprend les cartes et les étale, maintenant, en 6 colonnes de 5 cartes. Il demande, à nouveau, au spectateur de désigner la colonne qui contient la carte choisie.
• L’opérateur reprend les cartes, mélange (ou fait mélanger), coupe (ou fait couper).
• Alors, il extrait une carte du jeu et la compare avec le nom de la carte inscrit sur le papier gardé dans l’enveloppe.
• Bien entendu, si le tour est réussi, la carte doit être celle qui a été choisie.

Quel est le truc ?

Résolution

Le truc réside dans le fait qu’il y a un classement à l’issue de la première réponse, qui permet de connaître la carte après la 2^ème distribution et la 2^ème réponse.

Si par exemple, la carte choisie est la carte n° 12, la réponse donnée par le spectateur est évidemment la deuxième colonne.

A ce stade l’opérateur récupère les colonnes et les range de manière à ce que la colonne n° 2 soit au milieu des cinq, en 3ème position. Par exemple : la colonne n° 1, puis la colonne n° 3, puis la colonne n° 2, puis la colonne n° 4 et enfin la colonne n° 5.

Ensuite les cartes vont être présentées à nouveau en les posant par lignes, 5 lignes de 6 colonnes.

L’opérateur sait que la 2^ème colonne précédente a été déposée sur la 3^ème ligne. Le spectateur devrait répondre : 4^ème colonne. A l’intersection avec la 3^ème ligne, l’opérateur sait qu’il s’agit de la carte n° 12. On peut donc faire tous les brassages et coupures. L’opérateur retrouvera la carte car il la connait.

02. Pensée rationnelle et pensée magique : un autre tour de cartes

Enoncé

On extrait 8 cartes d’un jeu de cartes classique. L’opérateur les dispose (face habillée retournée sur la table vers les spectateurs) en une rangée de 3, une rangée de 2 et une autre rangée de 3. Puis, il désigne un spectateur et il quitte la pièce où se trouvent les spectateurs. Ceux-ci, en concertation, désignent une carte parmi les 8 et, lorsque le choix est fait, l’opérateur revient.

Le spectateur désigné s’adresse à l’opérateur en touchant une carte quelconque et en disant : « est-ce que c’est celle-ci qui a été choisie ? ».

L’opérateur répond, soit « oui », soit « non ». En cas de réponse négative, le spectateur désigné continue jusqu’à ce que l’opérateur réponde « oui ».

Si le tour est réussi, l’opérateur doit répondre « oui » quand le spectateur désigné touche effectivement la carte qui a été choisie par les spectateurs.

Une variante consiste à intervertir les rôles de l’opérateur et du spectateur désigné.

Y a-t-il un truc ou a-t-on à faire à un comportement magique ?

Résolution

Il n’y a pas de comportement magique. Alain nous a expliqué qu’il y a un code entre le spectateur (qui n’est pas choisi au hasard), et l’opérateur.

Il faut simplement que le spectateur, en montrant la première carte, désigne quelle est la carte qui a été choisie par sa position sur la table. Exemple : en montrant le bord haut et gauche, cela veut dire que la carte choisie est celle qui est située en haut et à gauche.

03. Le colporteur et le troubadour

Enoncé

Un troubadour rencontre un colporteur de ses amis et lui demande quel âge ont, maintenant, ses trois filles. Le colporteur lui répond que le produit de leurs âges est égal à 36. Le troubadour, interloqué, lui indique que cette réponse n’est pas suffisante. Le colporteur poursuit en lui disant que la somme de leurs âges est égale au nombre de personnes qu’il y a dans l’hôtellerie où ils se trouvent. Le troubadour compte le nombre de personnes et dit : « Je ne peux toujours pas répondre ». Alors, le colporteur ajoute : « l’aînée est blonde ». « Ah ! Bon, maintenant, je sais » conclut le troubadour.

Comment le troubadour a-t-il réussi à trouver les âges des trois filles du colporteur et quels sont ces âges ?

Calcul

Cette question a déjà été posée, c’était la 17ème du 11ème cours. En voici la résolution :

Le troubadour connait le nombre de personnes qu’il y a dans l’hôtellerie. S’il ne peut pas conclure c’est qu’il arrive sur deux solutions qui donnent toutes les deux la même somme, en l’occurrence 13. Il y a donc soit deux ainées de 6 ans et une de 1 an ou bien une ainée de 9 ans et deux cadettes de 2 ans. La dernière affirmation indique qu’il n’y a qu’une ainée.

Résultat

Les âges des trois filles du colporteur sont : 9, 2 et 2 ans.

04. L’énigme d’Einstein

Enoncé

La légende attribue la paternité de cette énigme à Albert Einstein. D’après lui, semble-t-il, 98% de la population mondiale ne sait pas résoudre ce problème. La voici : 5 hommes, de nationalités différentes, habitent cinq maisons de couleurs différentes ; ils fument des cigarettes de marques différentes, boivent des boissons différentes et élèvent des animaux d’espèces différentes.

1. Le Norvégien habite la première maison.
2. L’Anglais habite la maison rouge.
3. La maison verte est à gauche de la maison blanche.
4. Le Danois boit du thé.
5. Celui qui fume des Rothmans habite à côté de celui qui élève des chats.
6. Celui qui habite la maison jaune fume des Dunhill.
7. L’Allemand fume des Malboro.
8. Celui qui habite la maison du milieu boit du lait.
9. Celui qui fume des Rothmans a un voisin qui boit du lait.
10. Celui qui fume des Pallmall élève des oiseaux.
11. Le Suédois élève des chiens.
12. Le Norvégien habite à côté de la maison bleue.
13. Celui qui élève des chevaux habite à côté de la maison jaune.
14. Celui qui fume des PhilipMorris boit de la bière.
15. Dans la maison verte on boit du café.

Qui élève des poissons ?

Calcul

Objectif : Faire un tableau, un dessin qui regroupe toutes les informations. On a trois groupes de relations :

1. Des relations directes primaires qui peuvent être introduites directement dans le tableau principal en fonction de la position relative des cinq maisons
2. Des relations directes secondaires. Ce sont des couples indépendants de la position des maisons.
3. Des relations de proximité (à côté de)

Classement des information, (à droite, plus haut)

Abréviations, (à droite)

Table globale des relations, (ci-dessous)

Cheminement de la résolution

• Le couple "Vert/Blanc" (repère l) a deux positions possibles, soit en 3, 4 ; soit en 4, 5. La position en 3, 4 entraine le couple "Vert/Café" de i en colonne 3, interdit puisqu’on a déjà "Lait" en D3. Donc "Vert/Blanc" prend la position des colonnes 4 et 5.
• "Anglais" et "Rouge" de d vont en A3 et B3.
• "Jaune/Dunhill" de h vont en B1 et C1.
• Le "Jaune" de B1 amène "Chevaux" en E2 par le couple de m.
• i amène "Café" du couple "Vert/Café" en D4.
• Pour le couple "PhilipMorris/Bière" de j, il y a 2 possibilités, colonnes 2 ou 5. Essayons en colonne 2.
• "Lait" en D3 demande "Rothmans" en C4 par le couple de n.
• "Danois" et "Thé" de f vont en A5 et D5.
• "Suédois" et "Chiens de g vont en A4 et E4. "Allemand" et "Malboro" de e ne trouvent pas leur place.
• Donc on élimine "Chiens" de E4, "Suédois" de A4, "Thé" de D5, "Danois" de A5, "Rothmans" de C4, "PhilipMorris" de C2, "Bière" de D2 et on prend la colonne 5 pour "PhilipMorris/Bière" de j.
• "Danois" et "Thé" de f vont en A2 et D2.
• "Allemand" et "Malboro" de e vont en A4 et C4.
• "Suédois" et "Chiens" de g vont en A5 et E5.
• "Lait" de D3 demande "Rothmans" de n en C2.
• "Pallmal" et "Oiseaux" de k vont en C3 et E3.
• "Rothmans" de C2 demande "Chats" de o en E1.
• Il reste X en D1 et "Poissons" en E4.

Tableau définitif

Résultat

C’est l’Allemand qui élève des poissons.

05. L’âge du capitaine

Enoncé

Un bateau, muni de U hélices, doté de V cheminées et ayant à bord W hommes d’équipage fait escale à Port-Saïd où le capitaine poste une lettre à son petit-fils. Puis, il continue son périple jusqu’à Brest où il arrive le X^ème jour du Y^ème mois de l’année 1900 + Z. Sachant que le produit UVWXYZ augmenté de la racine cubique de l’âge du capitaine est égal à 4002331, trouver l’âge du capitaine, les caractéristiques du bateau et la date d’arrivée à Brest.

Calcul

Résultat

Le capitaine a 64 ans, le bateau a 3 hélices et 3 cheminées et l'arrivée à Brest est le 17 juillet 1937.

06. Emeute à Polytechnique

Enoncé

Un homme arrive dans une salle où se trouvent trois portes. L’une de ces portes donne accès à un trésor. Si l’homme désigne la porte conduisant au trésor, le trésor lui est acquis. Sinon, il n’a pas le trésor. Cependant, avant de désigner une porte, il peut poser une question au majordome qui se trouve dans la salle et qui n’est, ni malveillant, ni bienveillant, ni menteur. L’homme demande, en désignant (au hasard) une des portes (que nous noterons « Porte 1 »), « Est-ce que le trésor se trouve derrière cette porte ? ». Le majordome lui répond : « Je ne suis pas autorisé à répondre à votre question. Par contre, je peux vous dire que le trésor ne se trouve pas derrière cette porte » en désignant une des deux portes restantes (que nous noterons « Porte 2 »). Maintenant, pour avoir une chance d’accéder au trésor, l’homme doit désigner une porte.

Quelle porte doit-il désigner pour mettre de son côté le plus de chances possibles d’accéder au trésor ?

[Cet exercice qui nécessite quelques connaissances élémentaires en calcul des probabilités, déclenche une émeute, sur les bancs des amphithéâtres de l’Ecole Polytechnique chaque fois qu’on le propose aux étudiants de cette honorable institution].

Calcul

Effectivement, même parmi le public assez âgé que nous étions, il y a eu des discussions vives.

Il y a deux cas de figures possibles pour la première question (trésor derrière la porte 1 ou pas) :

1. Le trésor est derrière la porte 1 que l’homme a désignée (une chance sur 3). Le majordome va éliminer une des deux autres portes, par exemple la 2. Donc l’homme a 2 possibilités :
1. (une fois sur 6), il ouvre la porte 1, celle qu’il a désignée en premier, il a gagné.
2. (une fois sur 6), il ouvre la porte 3 (qui n’a pas été montrée par le majordome, car la 2 n’a pas de trésor). Il a perdu.
2. Le trésor n’est pas derrière la porte 1 (2 fois sur 3). Il est donc derrière 2 ou 3. Le majordome va préciser que le trésor n’est pas derrière la 2. L’homme a encore 2 possibilités :
1. (une fois sur 3), il ouvre la porte 1, il a perdu.
2. (une fois sur 3), il ouvre la porte 3, il a gagné.

Il est certain que l’homme n’ouvrira pas la porte montrée par le majordome car elle n’est pas derrière le trésor. Pour les deux autres portes, il a plus de chances de gagner (1/3) en ouvrant la porte 3 (celle qui n’a pas été montrée par lui en premier et celle qui n’a pas été montrée par le majordome), plutôt que la 1 (1/6).

Résultat

La meilleure stratégie est de désigner la porte 3.

07. Récréations mathématiques classiques, réalistes ou imaginaires

Enoncé

D'après leur scénario, les récréations mathématiques peuvent être réalistes, imaginaires ou classiques. Dans les quatre récréations suivantes, les données mathématiques sont identiques.

• a) La somme de deux nombres X et Y est 48. Leur différence est 8. Quels sont ces deux nombres ?
• b) Ce jour-là, Xavier et Yvan ont rempli 48 paniers de pommes à eux deux. Xavier en a ramassé huit de plus qu’Yvan. Combien chacun a-t-il rempli de paniers ?
• c) La perche à la main, Xavier et Yvan cueillent des pommes. En même temps, chacun met une pomme dans son panier respectif. Xavier s’arrête pour boire une gorgée d’eau. Pendant ce temps, Yvan cueille huit pommes. Puis, ils versent toutes les pommes dans un autre panier. Il y en a quatre douzaines. Combien chacun a-t-il cueilli de pommes ?
• d) Deux crocodiles ont dérobé 48 fusées destinées à faire pleuvoir. Les fusées de l’un ont des yeux verts et de l’autre des yeux rouges. Toutes décollèrent en même temps. Seulement, huit fusées revinrent. Les autres avaient explosé en se heurtant par couple : yeux verts et yeux rouges. Combien chaque crocodile a-t-il dérobé de fusées ?

Quel est le contexte (classique, réaliste ou imaginaire) de chacune des quatre récréations suivantes : a), b), c), d) ?

Calcul et Réponses

Contexte a

Contexte b

C’est un contexte réaliste.

Contexte c

C’est un contexte réaliste.

Contexte d

C’est un contexte imaginaire.

08. La méthode de Monte-Carlo

Enoncé

La méthode de Monte-Carlo est une méthode numérique utilisée en statistique pour obtenir des approximations précises à des expressions mathématiques complexes pour lesquelles il n’existe pas d’algorithme de calcul. Elle consiste principalement à simuler des variables aléatoires.

L’une des machines les plus simples connues pour générer des nombres de façon aléatoire est la fameuse roulette de casino. C’est pour cette raison que cette méthode tire son nom de l’un des lieux emblématiques des jeux de hasard. De nombreux profanes s’imaginent qu’elle permet de gagner à la roulette, mais cette méthode statistique n’a rien à voir avec les jeux de casino.

On peut illustrer le principe de la méthode de Monte-Carlo avec un exemple simple. Pour cela, imaginons une enceinte carrée de côté égal à l’unité de longueur choisie, contenant une figure géométrique de forme capricieuse dont nous voulons calculer la surface (voir figure). Nous aurions, aussi, pu prendre comme exemple n’importe quelle figure aux côtés irréguliers, tarabiscotée ou définie par n’importe quelle fonction mathématique.

Nous disposons, maintenant N points de façon aléatoire. Nous pourrions choisir le scénario aléatoire du nombre de grêlons tombés dans notre enceinte après une averse de grêle. Comptons, ensuite le nombre N’ de points présents dans la figure dont nous voulons calculer la surface. Supposons que N = 39 et N’ = 13. Le quotient N’/N = 0,33 est une approximation de la surface que nous cherchons. La méthode de Monte-Carlo fut développée par Von Neumann à partir d’une idée que lui donna le mathématicien américano-polonais Stanislaw Ulam.

Von Neumann appliqua la méthode à la détection de neutrons générés par un échantillon radioactif sur toute la longueur du rayon d’une sphère. Il adressa, en 1947, une proposition formelle au laboratoire de Los Alamos qui constitue le premier témoignage écrit d’une description précise de la méthode de Monte-Carlo dont nous disposons.

Commentaire

Information très instructive.

09. La caisse d’oranges

Enoncé

Une marchande des quatre-saisons dit avoir vendu la moitié d’une caisse d’oranges, plus 8 oranges, et que son reste est égal aux 2/7 de la caisse plus 7 oranges.

Combien la caisse en contenait-elle ?

Calcul

Résultat

La caisse contenait 70 oranges.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
Aa	Dans l’intervalle 300 à 999 inclusivement, combien y a-t-il de nombres qui ont au moins deux chiffres identiques voisins ?	Il y en a 19 par centaine et 7 centaines	133 nombres répondent à la question.
Ab	Luc numérote cinq jetons : 1, 3, 4, 5 et 6. Le jeton 8 étant posé, distribuez les jetons de façon à obtenir une somme de 12 dans chaque rangée.
Ac	Clara attribue un nombre différent à chaque lettre et donne la somme des nombres pour chaque mot. MER = 22, AME = 23, MAR = 24, AE = 18. Quelle est la valeur de « ARME » ?	M = 5 ; E = 8 ; R = 9 ; A = 10	ARME = 10958 ou (Som des ch) 32.
Ad	Dessinez la figure qui devrait logiquement suivre.
Ba	Transformez 831 centimètres en mètres.	831 cm = 8,31 mètres	8,31 mètres.
Bb	Quel est le plus petit multiple commun de 3, 5 et 6 ?	On a 3, 5 (qui sont premiers) et 6 = 2x3 ; ppcm = 2 x 3 x 5 = 30	Le ppcm est 30.
Bc	Quel est le nombre dont 24 est le tiers ?	24 x 3 = 72	24 est le tiers de 72.
Bd	Deux angles sont opposés par le sommet. L’un mesure 44 degrés. Combien mesure l’autre ?	Les angles opposés par le sommet sont égaux	L’autre angle mesure 44°.
Be	Quel est le résultat de la division de 32 par 1,6 ?	32/1,6 = 20	Le résultat est 20.
Bf	Arrondissez à l’unité près le produit de 4,4 et de 9.	4,4 x 9 = 39,6 ; l’arrondi à l’unité est 40	Résultat : 40.
Bg	Dans quel nombre d’un seul mot trouve-t-on un G et un N ?		Vingt.
Bh	Martine est née en 1987. Quel âge a-t-elle eu en 2005 ?	2 005 – 1 987 = 18	Martine à 18 ans en 2 005.
Bi	Vous écrivez : 3, 7, 11, 15, ... Quel est le 10e nombre que vous allez écrire ?	C’est une progression arithmétique de raison 4 et 1er terme 3 ; 3 + 9x4 = 39	Le 10ème terme est 39.
Bj	Si le 14 juillet d’une année bissextile est un vendredi, quel jour de la semaine est le 15 juillet de l’année suivante ?	Le 29 février est passé ; 365 = 52 x 7 + 1. Décalage d’1 jour au 14/7 suivant et de 2 jours au 15 juillet suivant	Le 15 juillet de l’année suivante est un dimanche.

11. Interlude : petites histoires de chats

Enoncé

Calcul

C’est un tour de connaissance d’hommes illustres :

• Chat mort ou vivant ?
  Schrödinger et la mécanique quantique.
• Heisenberg, c’est le principe d’incertitude, toujours en rapport avec la mécanique quantique. On retourne au chat de Schrödinger.
• Gödel et l’incomplétude des entiers.
• La suite de Fibonacci montre le chat harmonieux avec le nombre d’or.
• Cauchy et la convergence des suites.
• Riemann encore un « matheux » de haut niveau.
• Académicien, Prosper Mérimée a dessiné des chats.

12. Coulez, fontaines !

Enoncé

On a trois fontaines qui versent leurs eaux dans le même bassin. La première, coulant seule, peut le remplir en 3 heures, la seconde en 4 heures et la troisième en 6 heures.

En combien de temps les trois fontaines, coulant ensemble, rempliront-elles ce bassin ?

Calcul

Résultat

Il faut 1 h et 20 mn pour remplir le bassin avec les trois fontaines.