Janus regarde attentivement la page du calendrier de janvier 2019. C’est celle ci-contre :
Quel est le seul autre mois de 2019 qui a une page identique ?
Calcul
Le décalage entre le mardi 1er janvier et le vendredi 1er février est de 3 jours (31 = 4 x 7 + 3). Pour arriver à un nom de jour de semaine identique
il faut que la somme des décalages soit un multiple de 7.
Mois
Janv
Févr
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
Août
Sept
Oct
Nov
Déc
Nombre de jours
31
28
31
30
31
30
31
31
30
31
30
31
Décalage
3
0
3
2
3
2
3
3
2
3
2
3
Somme des décalages
3
3
6
8
11
13
16
19
21
24
26
29
A la fin de septembre on a un décalage de 3 fois 7, on retrouve pour le 1er octobre un nom de jour de semaine identique à celui du 1er janvier.
Résultat
Le mois d’octobre 2019 a une page identique à celle de janvier 2019.
02. La nouvelle table du roi Arthur
Enoncé
La table du roi Arthur pouvait accueillir huit chevaliers qui disposaient, chacun, de 60 cm de large pour manger. Un jour qu’il avait invité de
nouveaux chevaliers, il commanda une autre table plus grande. Lorsque son menuisier lui annonça que le diamètre de la nouvelle table était de 95 cm plus
grand que celui de l’ancienne, Arthur qui, comme chacun sait était très superstitieux se mit sérieusement en colère.
Pour quelle raison, le roi Arthur s’est-il mis en colère ? Justifiez.
Calcul
Circonférence de la table initiale
60 x 8 = 480
cm
Diamètre initial
480/π
Diamètre de la nouvelle table
480/π + 95
Circonférence de la nouvelle table
480 + 95π = 778,3
Nombre de convives possible
778,3/60 = 12,97
arrondi à 13
Résultat
Le roi Arthur s’est mis en colère parce que la table accueille 13 convives.
03. Le défi de l’échiquier
Enoncé
Pour se calmer de sa colère, le roi Arthur lança un défi aux chevaliers de la table ronde. Il leur demanda de considérer un échiquier sur lequel on
avait retiré une case dans deux coins diamétralement opposés. Et, il leur demanda s’il était possible de recouvrir les 62 cases restantes, au moyen de
cartes rectangulaires, de longueur égale au double de la largeur, avec une moitié noire et une moitié blanche, de dimensions adéquates, de manière à ce
que chaque partie noire de chaque carte recouvre une case noire de l’échiquier et que la partie blanche de chaque carte recouvre une case blanche de
l’échiquier.
Est-ce possible ?
Calcul
Suivant la disposition des cases noires et des cases blanches, on doit retirer, soit 2 noires, soit 2 blanches. Les 31 cartes doivent donc apporter ou
bien, 32 blanches et 30 noires, ou bien, 30 blanches et 32 noires. Les cartes ne peuvent donner que des nombres de blanches et de noires identiques. Ce
n’est pas possible. Sauf si on admet que deux fois deux motiés de cartes puissent se superposer.
Résultat
Il n’est pas possible de recouvrir l’échiquier réduit, avec des cartes type domino.
04. Le sommelier
Enoncé
Le sommelier responsable de la cave d’un restaurant de Chambéry est fier de présenter aux invités les cent plus belles bouteilles de sa réserve.
Lorsque le patron lui demande comment sont réparties les bouteilles de vin rouge et de vin blanc le sommelier lui répond que si l’on soustrait un
tiers de la somme des bouteilles de vin blanc au quart de la somme des bouteilles de vin rouge, on obtient onze.
Combien y a-t-il de bouteilles de vin rouge et de bouteilles de vin blanc ?
Calcul
Nombre de bouteilles de rouge et de blanc
R et B
respectivement
Le nombre total est 100
R + B = 100
B = 100 - R
La soustraction est :
R/4 – B/3 = 11
3R – 4B = 12*11 = 132
3R - 400 + 4R = 132
7R = 532
R = 76
B = 100 – 76
B = 24
Résultat
Il y a 76 bouteilles de vin rouge et 24 de blanc.
05. Chicane de carte
1
2
3
a
3♥
b
3♦
c
3♣
Enoncé
Yann prend les neuf cartes suivantes :
2♦
2♣
3♥
3♦
3♣
4♥
4♦
4♠
5♥
Il place les trois 3 comme dans la grille de droite.
Placez les six autres cartes de façon qu’il y ait une valeur numérique différente dans chaque ligne et dans chaque colonne et aussi
un symbole différent par ligne et par colonne.
Solution n° 1
3♥
4♦
2♣
4♠
5♥
3♦
2♦
3♣
4♥
Solution n° 2
3♥
2♦
4♠
2♣
4♥
3♦
4♦
3♣
5♥
Calcul et Résultats
Hypothèse
Résultat
1 avec 2♣ en a3 et 4♠ en b1
Il reste une possibilité en a2 : 4♦ ; ce qui entraine,
5♥ en b2 ; 2♦ en c1 et 4♥ an c3.
2 avec 4♠ en a3 et 2♣ en b1
Il reste une possibilité en a2 : 2♦ ; ce qui entraine,
4♦ en c1 ; 5♥ en c3 et 4♥ en b2.
Les 3 cartes trois sont donc placées comme dans l'énoncé, et il reste à notre disposition : 2♦, 2♣, 4♥, 4♦, 4♠,
5♥. Il y a 4 possibilités en c3, 3 possibilités en a2, b2 et c1, et surtout, 2 possibilités en a3 et b1. chacune de ces dernières peut recevoir
le 2♣ ou le 4♠. On a donc deux arrangements à tester :
2♣ en a3 avec 4♠ en b1
4♠ en a3 avec 2♣ en b1.
06. Un carré dans un triangle
Enoncé
Dans un triangle rectangle isocèle (représenté ci-contre) dont la surface a une aire de 1 500 cm2, on a divisé les deux côtés de l’angle droit en
trois parties égales et l’hypoténuse en quatre parties égales, puis on a tracé un carré en joignant certains points du triangle comme l’indique la
figure.
Quelle est l’aire de la surface du carré coloré en bleu ?
Calcul
Alain Raymond nous a montré que le calcul est grandement simplifié en faisant pivoter la figure d’un angle Arc Tangente (1/2) à gauche (26,565° -
BC passe de l’horizontale à Arc Tangente (2/4)). On peut ainsi inscrire la nouvelle figure dans un quadrillage dont le carré unité a une aire égale à
celle du carré bleu inconnu.
Trois amis ont passé l’après-midi à pêcher. L’un a pris six truites, le second en a pris quatre et le troisième deux.
Trois autres amis arrivent à l’improviste et nos trois pêcheurs décident de les inviter à dîner et de partager avec eux le résultat de leur pêche.
En contrepartie, les trois nouveaux arrivants verseront, chacun, 10 euros.
Comment les trois pêcheurs doivent-ils se répartir l’argent pour qu’il le soit de manière équitable ?
Calcul
Il y a donc
6 + 4 + 2 = 12
truites à partager en 6
Chacun mange
12/6 = 2
truites
Les 3 personnes invitées mangent
3 x 2 = 6
truites,
Qui sont payées
10 x 3 = 30
€uros
Prix unitaire de la truite
30/6 = 5
€uros
Après avoir mangé ses 2 truites, le premier ami vend
6 – 2 = 4
truites
Il doit recevoir
4 x 5 = 20
€uros
Le deuxième ami vend
4 – 2 = 2
truites
Il reçoit
2 x 5 = 10
€uros
Le troisième ami vend
2 – 2 = 0
Il ne reçoit rien
Résultat
Le 1er reçoit 20 €, le 2ème reçoit 10 € et le 3ème ne reçoit rien.
08. Question d’âges
Enoncé
La somme des âges d’un père et de son fils est la moitié de ce qu’elle sera dans 17 ans. La différence est le quart de ce que sera la somme dans
27 ans.
Trouvez l’âge du père et celui du fils.
Calcul
Soit les âges du père et du fils
P et F
respectivement
Dans 17 ans
P + 17 + F + 17 = 2P + 2F
P + F = 34
F = 34 – P
Dans 27 ans
P + 27 + F + 27 = 4P – 4F
3P – 5F = 54
3P – 170 + 5P = 54
8P = 224
P = 28
F = 34 – 28
F = 6
Résultat
Le père a 28 ans et le fils en a 6.
09. La fée Morgane
Enoncé
Lorsque le roi Arthur demanda à la fée Morgane de prouver son don de divination, elle le pria d’écrire un nombre de trois chiffres sur un papier,
puis de noter à nouveau ces trois chiffres à la suite des premiers pour obtenir un nombre de six chiffres. Elle demanda, ensuite, au roi de diviser ce
nombre par sept, puis par onze, et de noter le résultat trouvé sur un autre bout de papier qu’elle récupéra. La fée Morgane en prit connaissance et,
alors, sourire aux lèvres, annonça au roi, le premier nombre de trois chiffres qu’Arthur avait noté sur le premier papier.
Comment la fée Morgane arriva-t-elle à trouver ce résultat ?
Calcul
Soit
A
le nombre de trois chiffres initial
Le 2ème nombre (de 6 chiffres) vaut
1000A + A = 1001A
Division de ce nombre par 7
1001A/7 = 143A
Division par 11
143A/11 = 13A
ce résultat = R
Calcul de A
13A = R
A = R/13
Il suffit de diviser le résultat annoncé par 13 pour trouver A.
Exemple 1
Le roi Arthur annonce 1 599
1 599/13 = 123
et en effet
123 123/77 = 1 599
Exemple 2
Le roi Arthur annonce 12 831
12 831/13 = 987
et en effet
987 987/77 = 12 831
Résultat
Il faut diviser le résultat annoncé par 13 pour trouver A.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
Aa
Daphnée a reçu sept romans policiers en cadeau. Maintenant, elle en a plus de 45. Au maximum, combien Daphnée avait-elle
de romans policiers auparavant ?
x + 7 > 45 ; x > 38
Le nombre auparavant est indéterminé, Daphnée pouvait en avoir bien plus
de 38.
Ab
Combien d’allumettes sont nécessaires pour construire cette
figure ?
Dans les quatre hexagones en ligne il y a 3 allumettes communes 4 x 6 – 3 = 21. Les deux verts n’ont que 4 allumettes spécifiques
chacun ; 2 x 4 = 8 ; 21 + 8 = 29
Il faut 29 allumettes pour construire cette figure.
Ac
Élodie agence quatre jetons : un 3, un 4, un 6 et un 8. Elle forme ainsi des nombres et divise chacun par 4. Combien y
a-t-il de nombres divisibles par 4 ?
Liste des nombres de deux chiffres divisibles par 4, qu'on peut former : 36 ; 48 ; 64 ; 68 ; 84 -
chacun peut être associé de deux façons avec les deux chiffres restants.
Olivia a dessiné 16 points comme ci-contre. Elle joint les
points sans lever le crayon et sans passer deux fois sur une même ligne. Combien Olivia peut-elle construire de carrés au maximum ?
D'après
la théorie enseignée le 2/12/19, on ne doit pas avoir plus de deux noeuds impairs.
Nombre maximum trouvé : 6 carrés.
Ba
Quelle est l'aire d'un carré ayant 1,5 centimètre de côté ?
1,52 = 2,25
L’aire du carré
est 2,25 cm2.
Bb
Quel est le tiers de 54 ?
54/3 = 18
Le tiers de 54 est 18.
Bc
Luc avait 28 ans à la naissance de son fils. Quel sera l’âge du fils quand Luc aura 75 ans ?
75 – 28 = 47
L’âge du fils sera : 47 ans.
Bd
Combien de groupes de deux lettres peut-on faire avec les lettres de BOUC ?
Les arrangements de 2 parmi 4
sont : 4! / 2! = 24/2 = 12 - Vérification : BO, BU, BC, OB, OU, OC, UB, UO, UC, CB, CO, CU
On peut faire 12 groupes de deux lettres.
Be
On divise un nombre par 8. Le résultat est 7 reste 7. Quel est ce nombre ?
8 x 7 + 7 = 63
Ce nombre
est 63.
Bf
Quel est le plus grand nombre premier inférieur à 100 ?
99 non, 98 non, 97 est premier
Le plus grand
nombre premier inférieur à 100 est 97.
Bg
Comment écrit-on 0,25 en pourcentage ?
0,25 pour 1 égal 25 %
On écrit 25 %.
Bh
Quel est le carré de 22 ?
222 = 484.
Bi
Complétez. La circonférence d’un cercle est égale à ...
La circonférence d’un cercle est égale à
fois le diamètre.
Bj
Marc donne un tiers de ses prunes à un ami. Il lui reste 16 prunes. Combien Marc a-t-il donné de prunes ?
1 - 2/3 = 1/3 ; (2/3)/(1/3) = 2 ; 16*2 = 32
Marc a donné 32 prunes à son ami.
11. Quatre roues
Enoncé
Ben prend quatre roues de même grandeur. Chaque rayon d'une roue mesure 30 centimètres. Il dispose les roues sur le sol comme à gauche :
Trouvez la superficie de l'espace vide entre les roues.
Calcul
Dans la figure de droite, le grand carré mesure 2r x 2r, la surface est 4r2
La somme des 4 quarts de cercle jaunes représente une roue entière de rayon r, dont la surface est πr2
La surface de l'espace vide est la différence
4r2 – πr2 = (4 – π)r2
Avec r = 30 cm
(4 – π)302 = 900(4 – π) ≈ 772,57
Résultat
La superficie de l’espace vide est 772,57 cm2.
12. Nombre caché
Enoncé
56
57
58
59
60
31
?
36
40
42
25
23
22
19
18
Jules a préparé le tableau ci-contre dans lequel il manque un nombre.
Quel est le nombre manquant ?
Calcul
Dans le tableau chaque nombre de la ligne du milieu est égal à la différence entre celui de la ligne n° 1 et celui de
la ligne n° 3.
Donc pour la 2ème colonne, le nombre manquant vaut
Questions 3 et 4, nombres de termes et somme des termes
Suite
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S14
S15
Nombre de termes
1
2
2
4
6
6
8
10
14
20
26
34
46
62
78
Somme des termes
1
2
3
5
8
10
13
16
23
32
44
56
76
102
132
Question 5, remarques
Le nombre de chiffres croit exponentiellement
La somme des chiffres croit exponentiellement
Excepté pour la première suite S1, le nombre de chiffres est un nombre pair
Les chiffres utilisés ne sont que le 1, le 2 et le 3
Question 6, seulement 1, 2 et 3
Dans une des suites de Conway, on a une succession de nc, n étant le nombre et c la valeur du chiffre.
n1c1
n2c2
n3c3
c1 différent de c2 et c2 différent de c3
On peut avoir le cas particulier où n2 = c2 = n3, mais c'est tout, car c1 <> c2 <> c3.
Question 7, le 1 à la fin
Le 1 qui se retrouve à la fin représente le chiffre 1 qui a été introduit dans la première série. C'est toujours lui qu'on compte en dernier à
la fin de chaque nouvelle suite.
Question 8, nombre de chiffre pair à partir de S2
A partir de la série 2, on a une suite de nc (comme exprimé dans la réponse à la question 6). Le comptage se fait dans n groupes. On a donc 2n
chiffres, un nombre pair.
Nb
Som
S1
2
2
1
2
S2
12
1.2
2
3
S3
11.12
111. 2
4
5
S4
31.12
3.11.2
4
7
S5
13.21.12
1.3.2.11.2
6
10
S6
11.13.12.21.12
10
15
Questions 9, 10 et 11, en partant de 2
Les séries obtenues en partant de 2 comme valeur de S1. Nb = le nombre de termes dans chacune des séries et Som, la somme des termes.
questions 12 et 13, nouvelles séries en partant de 3, 4 et 5
Les séries avec différentes valeurs n, initiales
Nb de termes pour n =
Som des chiffres pour n =
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
S1
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
S2
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
2
2
2
2
2
2
3
4
5
6
S3
21 2.1
11.12 111.2
11.13 111.3
11.14 111.4
11.15 111.5
2
4
4
4
4
3
5
6
7
8
S4
12.11 1.2.11
31.12 3.11.2
31.13 3.11.3
31.14 3.11.4
31.15 3.11.5
4
4
4
4
4
5
7
8
9
10
S5
11. 12.21 111. 22.1
13.21.12 1.3.2.11.2
13.21.13 1.3.2.11.3
13.21.14 1.3.2.11.4
13.21.15 1.3.2.11.5
6
6
6
6
6
8
10
11
12
13
S6
31.22.11
11.13.12.21.12
11.13.12.21.13
11.13.12.21.14
11.13.12.21.15
6
10
10
10
10
10
15
16
17
18
Les remarques :
Le nombre de chiffres de chaque suite est identique quelle que soit la valeur initiale 2, 3, 4 ou 5. Mais pas avec 1.
La somme des chiffres de chaque suite est augmentée de 1 en passant de 2 à 3, de 3 à 4 ou de 4 à 5, mais pas de 1 à 2.
En fait pour les séries avec 2, 3, 4 et 5 comme valeur initiale dès la série S2, le quantificateur et le qualificateur sont bien différentiés
(il y a 1 ch 2, 1 ch 3, 1 ch 4 ou bien 1 ch 5). Ce n’est pas le cas en partant de 1, car S2 exprime 1 ch 1 ce qui entraine pour S3 le cumul : 2 fois
le chiffre 1. Dans tous les autres cas, S3 différentie bien chacun des chiffres 1 et le suivant qui est 2, 3, 4 ou 5.
Question 14, en partant de 22
Avec S1 = 22 ; S2 = 22. Toutes les séries sont identiques et égales à 22.
