507, Récréations cryptarithmiques, Le 28 janvier 2019
01.Mont raccourci
Enoncé
r3
r2
r1
M
O
N
T
+
M
O
N
T
+
O
N
T
=
7
5
1
2
Chaque même lettre remplace un même chiffre.
Quel nombre correspond à MONT ?
Calcul
3
5
0
4
+
3
5
0
4
+
5
0
4
=
7
5
1
2
Dans la colonne des unités, on a 3T = 10r1 + 2. Il n’y a qu’une possibilité :
T = 4 et r1 = 1
Pour la colonne des dizaines, on a 3N + 1 = 10r2 + 1. Une seule possibilité :
N = 0 et r2 = 0
Colonne des centaines, 3O = 10r3 + 5. Une possibilité :
O = 5 et r3 = 1
Colonne des dizaines de mille, 2M + 1 = 7 :
M = 3
Résultat
Le nombre correspondant à MONT est 3 504.
02. Effet laser
Enoncé
20
21
20
8
25
21
9
21
25
26
14
22
8
24
24
8
9
21
13
20
7
14
13
8
12
24
20
13
3
13
21
20
8
20
14
12
13
21
9
21
Alfred a écrit cette phrase lumineuse dans laquelle un QUI apparaît. Chaque nombre différent correspond à une lettre de l’alphabet.
De plus, S + T = 51, P + T = 50 et L + P = 44.
Trouvez cette phrase.
Calcul
L
E
L
8
S
E
9
E
S
T
U
22
8
P
P
8
9
E
I
L
Q
U
I
8
22
P
L
I
3
I
E
L
8
L
U
12
I
E
9
E
Pour S + T, on ne peut faire 51 qu’avec 25 + 26
Pour P + T, on ne peut faire 50 qu’avec 24 + 26
26 est commun, T est commun
26 = T
25 = S
24 = P
L + P = 44
L = 44 – 24
20 = L
Le remplissage se fait progressivement.
Le nombre 21 est le plus fréquent, il apparait 7 fois, il pourrait représenter le E. De plus le 3ème mot « EST » va bien,
ainsi que le premier « LE »
21 = E
Parmi les mots de trois lettres, il n’y a plus que le 2ème (1er mot de la 2ème ligne), qui pourrait
être le « QUI »
7 = Q
14 = U
13 = I
Il y a un mot de deux lettres qui pourrait être « UN »
22 = N
Le 2ème mot pourrait être « LASER »
8 = A
9 = R
Le dernier mot pourrait être « LUMIERE »
12 = M
Le 7ème mot (2ème de la 2ème ligne) est « AMPLIFIE »
3 = F
L
E
L
A
S
E
R
E
S
T
U
N
A
P
P
A
R
E
I
L
Q
U
I
A
M
P
L
I
F
I
E
L
A
L
U
M
I
E
R
E
Résultat
LE LASER EST UN APPAREIL QUI AMPLIFIE LA LUMIERE.
03. Au tableau
Enoncé
Triangle
Rond
Carré
+
Rond
Carré
Triangle
=
1
5
0
1
Alice a écrit l'addition suivante au tableau des Merveilles. Je t'indique, dit-elle, que le carré vaut 3 ou 5 et que la valeur du triangle est 2 ou 8.
Quels sont les deux nombres additionnés ?
8
6
3
+
6
3
8
=
1
5
0
1
Calcul et Résultat
On a
C = 3 ou 5
T = 2 ou 8
Pour obtenir 11 à l’unité, il n’y a que 3 + 8
C = 3
T = 8
Aux dizaines,
R = 10 (ou 20) – C – 1
R = 6
04. Message secret
Enoncé
Il n’est pas rare que le facteur dépose une lettre anonyme dans la boîte aux lettres de Sherlock Holmes. Il s’agit parfois de lettres de menaces ou
d’intimidation. Mais, le plus souvent, ce ne sont que des indices habilement camouflés sous la forme de dictons qui, de plus, sont codés. Un jour, il a reçu le
message assez sibyllin reproduit ci-dessous :
NUN LP ERÊCHA EUSSB IIEQ NUL EF AOURME IE TLLN ED EIR TIEN
Il s’agit de décrypter ce message.
Calcul
L’astuce, donnée par le professeur est que, la dernière lettre d’un mot est échangée avec la première du mot suivant.
NUN
LP
ERÊCHA
EUSSB
IIEQ
NUL
EF
AOURME
IE
TLLN
ED
EIR
TIEN
NUL
NE
PRÊCHE
AUSSI
BIEN
QUE
LA
FOURMI
ET
ELLE
NE
DIT
RIEN
Résultat
NUL NE PRÊCHE AUSSI BIEN QUE LA FOUMI ET ELLE NE DIT RIEN.
05. Alphabet bilitère.
Enoncé
A
AAAAA
G
AABBA
N
ABBAA
T
BAABA
B
AAAAB
H
AABBB
O
ABBAB
U = V
BAABB
C
AAABA
I = J
ABAAA
P
ABBBA
W
BABAA
D
AAABB
K
ABAAB
Q
ABBBB
X
BABAB
E
AABAA
L
ABABA
R
BAAAA
Y
BABBA
F
AABAB
M
ABABB
S
BAAAB
Z
BABBB
Francis Bacon, le philosophe (et non le peintre) a inventé un cryptage dit « alphabet bilitère ». Voici ci-contre, à droite, la correspondance des
lettres et de leur codage. En utilisant ce tableau de décryptge, déterminer l'adaptation d'un proverbe de Pierre Dac,
reproduite ci-dessous, à gauche.
Charles écrit des lettres sur 16 boules qu’il répartit dans quatre récipients. Chaque lettre correspond à un numéro. La somme des numéros est indiquée sous
chaque récipient. Le plus grand numéro est 12 et il apparaît sur trois boules.
Quelle serait la somme des numéros si Charles plaçait les cinq boules portant des lettres différentes dans un récipient ?
Calcul
Les quatre récipients nous donnent un système de 4 équations à 5 inconnues.
a + b + c + e = 30
e = 30 – a – b – c
b + c + d + e = 32
b + c + d + 30 – a – b – c = 32
d – a = 2
d > a
a + c + d + e = 33
a + c + d + 30 – a – b – c = 33
d – b = 3
d > b
a + b + d + e = 36
a + b + d + 30 – a – b – c = 36
d – c = 6
d > c
d = 12
a = d – 2
a = 10
b = d – 3
b = 9
c = d – 6
c = 6
e = 30 – 10 – 9 – 6
e = 5
a + b + c + d + e = 10 + 9 + 6 + 12 + 5 = 42
Résultat
La somme des cinq numéros est : 42.
07. Wingdings (cartes)
Enoncé
r3
r2
r1
♥
♣
♦
♠
+
♥
♣
♦
♠
=
♠
♠
♣
♣
Paul a disposé quatre icônes différentes de façon à former une addition. Les "Wingdings" sont peu accessibles en html, ils ont été remplacés par
des cartes. La carte ♠ représente un chiffre impair.
Quel est le résultat de cette addition ?
Calcul et Résultat
1
6
8
3
+
1
6
8
3
=
3
3
6
6
A l’addition de ♠ + ♠ aux unités on obtient un chiffre pair, ♣ est pair
♦ + ♦ donne aussi un chiffre pair. Donc r1 doit être nul. Donc il n’y a plus que 2 possibilités pour ♠ : 1 ou 3
Si ♠ = 1, ♣ = 2 ; ♦ ne peut être que 6 avec r2 = 1
Dans ce cas aux centaines on a : r2 + 2 ♣ = 10r3 + ♠ = 1 + 4 = 10r3 + 1
10r3 = 4
non
2ème hypothèse, ♠ = 3. Cela donne ♣ = 6, ♦ = 3 (déjà pris) ou c = 8 avec r2 = 1
Dans ce 2ème cas, aux centaines : r2 + 2 ♣ = 10r3 + ♠ = 1 + 12 = 10r3 + 3
10r3 = 10
r3 = 1
Colonne des milliers : r3 + 2 ♥ = ♠
2 ♥ = 3 – 1 = 2
♥ = 1
08. Treize à la douzaine
Enoncé
Décodez ce cryptarithme sachant que T = 2 et O = 7. 3 x TROIS + QUATRE = TREIZE
e
d
c
b
a
T
R
O
I
S
+
T
R
O
I
S
+
T
R
O
I
S
+
Q
U
A
T
R
E
=
T
R
E
I
Z
E
Calcul et Résultat
Avec 4 chiffres dans l’addition, les retenues a, b, c, d et e ne peuvent être que 0, 1, 2 ou 3
Dans la colonne des unités :
3S + E = 10a + E
3S = 10a
a = 0
S = 0
Dans la colonne des 10 000
d + 6 + U = 10e + R
e = (d + 6 + U – R)/10
d de 0 à 3 et (U – R) de 1 à 8
e mini = 1 ; e maxi = 1
e = 1
Dans la colonne des 100 000
e + Q = 2
Q = 2 – 1
Q = 1
Colonne des dizaines :
3I + R = 10b + Z
1
d
c
b
0
2
R
7
I
0
+
2
R
7
I
0
+
T
R
7
I
0
+
Q
U
A
2
R
E
=
2
R
E
I
Z
E
b = 0
b = 1
b = 2
b = 3
c = 0
Z - R = 69
Z - R = 62
Z - R = 55
Z - R = 48
c = 1
Z - R = 39
Z - R = 32
Z - R = 25
Z - R = 18
c = 2
Z - R = 9 I = 3
Z - R = 2 I = 4
Z - R = -5 I = 5
Z - R = -12
c = 3
Z - R = -21
Z - R = -28
Z - R = -35
Z - R = -42
Colonne des centaines :
b + 23 = 10c + I
3I = 3b + 69 – 30c
3b + 69 – 30c + R = 10b + Z
Z – R = 69 – 7b – 30c
I = 23 + b – 10c
Z - R = 2
R - Z = 5
Z
8
6
5
4
3
R
6
4
3
9
8
I
4
4
4
5
5
On a, qui est sûr,
c = 2
Chiffres dispo : 3, 4, 5, 6, 8, 9
Z - R = 9 ne convient pas
Avec Z = 8, R = 6, I = 4, b = 1, c = 2
Colonne des milliers :
c + 18 + A = 10d + E
E – A = 20 – 10d
Si d = 0 ; E – A = 20 ; non
Si d = 1 ; E – A = 10 ; non
Si d = 2 ; E – A = 0 ; non
Si d = 3 ; E – A = -10 ; non
Avec Z = 4, R = 9, I = 5, b = 2, c = 2
Colonne des milliers :
c + 27 + A = 10d + E
E – A = 29 – 10d
Si d = 0 ; E – A = 29 ; non
Si d = 1 ; E – A = 19 ; non
Si d = 2 ; E – A = 9 ; non
Si d = 3 ; E – A = -1
Ch dispo : 3, 6, 8
On ne peut pas avoir A – E = 1
1
1
2
1
0
2
3
7
4
0
+
2
3
7
4
0
+
2
3
7
4
0
+
1
6
8
2
3
9
=
2
3
9
4
5
9
Avec Z = 3, R = 8, I = 5, b = 2, c = 2
Colonne des milliers :
c + 24 + A = 10d + E
E – A = 26 – 10d
Si d = 0 ; E – A = 26 ; non
Si d = 1 ; E – A = 16 ; non
Si d = 2 ; E – A = 6 ; à voir
Si d = 3 ; E – A = -4 ; à voir
Ch dispo : 4, 6, 9
On ne peut pas faire, ni, A – E = 6, ni, A – E = 4
Avec Z = 5, R = 3, I = 4, b = 1, c = 2 (la dernière solution, et qui marche, on l’a vue en cours)
Colonne des milliers :
c + 9 + A = 10d + E
E – A = 11 – 10d
Si d = 0 ; E – A = 11 ; non
Si d = 1 ; E – A = 1 ; à voir
Si d = 2 ; E – A = -9 ; non
Si d = 3 ; E – A = -19 ; non
Ch dispo : 6, 8, 9
On peut faire :
E = 9
A = 8
Il reste 6 pour U
09. Carré d’as
Enoncé
♦ + ♣ = 8 ♠ - ♣ = ♦
♠ + ♦ + ♥ = 17 ♣ + ♠ = 11
Judith dépose des cartes sur une table. Elle donne une valeur numérique à chaque symbole : cœur, carreau pique et trèfle. Puis, elle écrit les égalités
ci-contre :
Quelle est la somme des valeurs des quatre symboles ?
Calcul
♦ + ♣ = 8
♦ = 8 - ♣
♠ – ♣ = ♦
♠ – ♣ = 8 – ♣
♠ = 8
♥ + ♦ + ♠ = 17
♥ + 8 – ♣ + 8 = 17
♥ – ♣ = 1
♥ = 1 + ♣
♣ + ♠ = 11
♣ + 8 = 11
♣ = 3
♥ = 4
♦ = 8 – 3
♦ = 5
♦ + ♥ + ♠ + ♣ = 5 + 4 + 8 + 3 = 20
Résultat
La somme des valeurs des quatre symboles est : 20
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
Aa
Dans la grille, trouvez quatre nombres dont la somme est 242 et qui sont disposés en L dans la position illustrée.
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
Les contenus des cellules progressent régulièrement de 2 en 2. On devrait donc pouvoir calculer la valeur a de la 1ère cellule pour atteindre
242. Il faut pour cela que : a + (a + 20) + (a + 40) + (a + 38) = 242 4a + 98 = 242
La première cellule du L est
la cellule 36.
Ab
Sophie dépose des dominos sur une grille 5 x 5 dont deux coins opposés ont été coupés. Combien peut-elle placer de
dominos ?
On dispose théoriquement de 5 x 5 – 2 = 23 cases. Chaque domino occupe deux cases. On peut donc poser 11 dominos, à condition qu’on
puisse les intercaler.
Sophie peut placer 11 dominos.
Ac
Partagez ces sept nombres en deux groupes. La somme des nombres de chaque groupe doit être identique.
2 4 5 7 8 10 12
La somme totale est 48. Donc chaque groupe doit faire 24. Il y a trois possibilités :
4 + 5 + 7 + 8
2 + 10 + 12
2 + 5 + 7 + 10
4 + 8 + 12
2 + 4 + 8 + 10
5 + 7 + 12
Ad
Quatorze automobiles sont placées pare-chocs contre pare-chocs en quatre files successivement de 2, 3, 4 et 5 véhicules.
Combien de pare-chocs se touchent ?
Nombre de pare-chocs en contact (somme des n -1) : 1 + 2 + 3+ 4 = 10
10 pare-chocs se touchent.
Ba
Combien un hexaèdre a-t-il de faces ?
Un hexaèdre a six faces.
Bb
Virginie lance un dé. Quelle est la probabilité d’avoir un 4 ou un 6 ?
Virginie a 1 chance sur 6
d’avoir un 4 et 1 chance sur 6 d’avoir un 6
Bc
Paul a donné 10 pommes, soit 50 % de ce qu’il avait. Combien Paul avait-il de pommes ?
Il avait 100/50 de 10
= 20
Paul avait 20 pommes.
Bd
Vrai ou faux. Les deux diagonales d’un rectangle sont perpendiculaires.
Faux, les diagonales
d’un rectangle ne sont pas perpendiculaires.
Be
Combien faut-il de 2 pour paginer un livre des pages 25 à 45 ?
On a 29 – 25 + 1 (pour les extrémités) + 2
(pour les pages 32 et 42) = 7
Il faut 7 fois le chiffre 2.
Bf
Quel est le huitième nombre de la suite 3, 7, 11, ... ?
Nombre du rang n = 4n – 1 ; rang 8 = 4 x 8 - 1 = 31.
Ce nombre est 31.
Bg
Cléo est née en 1984. Quel âge a-t-elle eu en 2001 ?
2001 – 1984 = 17
En 2001 Cléo a eu 17 ans.
Bh
Combien y a-t-il de nombres divisibles par 20 entre 100 et 300 tous deux exclus ?
(300 – 100)/20 – 1 = 9
Il y a 9 nombres divisibles par 20 entre 100 et 300 (100, 300 exclus).
Bi
Écrivez en chiffres cinquante mille dix.
50 010.
Bj
Noémie pèse 50 kilogrammes. Sa sœur a atteint 80 % de sa masse. Quelle est la masse totale des deux sœurs ensemble ?
Masse totale = 50 (1 + 0,8) = 90
Noémie et sa sœur pèsent ensemble 90 kg.
11. Abécédaire
Enoncé
A
B
+
C
D
+
E
F
=
B
B
B
Résolvez l’opération ci-contre :
Calcul et Résultat
Colonne des unités
b + d + f = 10r + b
d + f = 10r
r = 1
Colonne des dizaines
1 + a + c + e = 11 b
a + c + e = 11b – 1
Avec b = 0
Non autorisé, le résultat bbb ne commence pas par 0
Avec b = 1
On doit avoir :
a + c + e = 10
Le 1 étant pris, il ne reste que
a = 2 ; c = 3 : e = 5
On doit avoir :
d + f = 10
Parmi les chiffres restants
d = 4 ; f = 6
Avec b = 2
On doit avoir :
a + c + e = 21 et d + f = 10
Solution 2
a = 4 ; c = 8 ; e = 9 ; d = 3 ; f = 7
Solution 3
a = 5 ; c = 7 ; e = 9 ; d = 4 ; f = 6
Solution 4
a = 6 ; c = 7 ; e = 8 ; d =1 ; f = 9
On a 6 permutations possibles entre a, c et e et 2 permutations entre d et f. Donc 12 solutions par groupes et au total 48 solutions. Seules
les premières permutations sont représentées.
Solution 1 - Permutations entre a, c et e ; puis entre d et f
Sol 2
Sol 3
Sol 4
2
1
2
1
3
1
3
1
5
1
5
1
5
1
4
2
5
2
6
2
3
4
5
4
2
4
5
4
2
4
3
4
3
6
8
3
7
4
7
1
5
6
3
6
5
6
2
6
3
6
2
6
2
4
9
7
9
6
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12. Marginal
r2
r1
M
A
R
+
G
I
=
N
A
L
Enoncé
Chaque lettre représente un chiffre différent. Indices : N = 5, pas de 0 ni de 1
Déchiffrez cette addition. Il y a quatre dispositions possibles.
1
1
4
A
R
+
9
I
=
5
A
L
Calcul et Résultat
Les retenues r1 et r2 valent 0 ou 1.
Centaines, M différent de N, et avec N = 5
r2 = 1
M = 4
Dizaines
r1 + A + G = 10 + A
r1 + G = 10
L = 2
R + I = 12
Pas de solution parmi 3, 6, 7, 8
L = 3
R + I = 13
On a 6 + 7 = 13
L = 6
R + I = 16
Pas de solution parmi 2, 3, 7, 8
L = 7
R + I = 17
Pas de solution parmi 2, 3, 6, 8
L = 8
R + I = 18
Pas de solution parmi 2, 3, 6, 7
Si r1 = 0 ; G = 10 ; non ; donc
r1 = 1
G = 9
Colonne des unités
R + I = 10 + L
4
2
6
4
2
7
4
8
6
4
8
7
9
7
9
6
9
7
9
6
5
2
3
5
2
3
5
8
3
5
8
3
L peut prendre chacune des valeurs disponibles :
2, 3, 6, 7, 8
Recherche (à droite), des couples R, I = f(L)
Chiffres restants pour A
2 ou 8
Par ailleurs R et I peuvent permuter avec 6 et 7 ou 7 et 6
13. Le sycophante et la jolie princesse
Enoncé
Un roi perfide fit enfermer dans un cachot, une belle princesse qui refusait de l’épouser. La jeune princesse ne revenant pas sur sa décision, malgré
une année entière passée dans les oubliettes, le roi la fit venir dans la cour du château et lui proposa le marché suivant :
« Je vais ramasser deux cailloux, un noir et un blanc et les tenir cachés, chacun dans une de mes mains. Tu choisiras, alors, librement, l’un des
deux. Si tu tires le caillou blanc, tu seras libre. Si tu tires le caillou noir, tu m’épouseras ». Non sans une crainte bien compréhensible, la
princesse accepta le marché. Sa crainte se transforma en panique quand elle s’aperçut que le roi (ne respectant pas les termes du marché) se baissait
pour ramasser deux cailloux noirs.
Cependant, la princesse n’était pas seulement jolie, elle était, aussi, maline.
D’après vous, que fit-elle pour ne pas épouser un roi si fourbe ?
Calcul
Pas trouvé la solution.
Résultat
14. Carrés de Curry
Enoncé
Comme pour le « Triangle de Curry » ou le « Triangle de Gardner », on observe (par comparaison des deux figures ci-dessous) qu’en disposant
différemment certaines pièces de l’assemblage, on fait apparaître un « trou » de 2 unités dans un carré de 11 sur 11.
Donnez l’explication de cette apparente anomalie.
Explication de l'anomalie
Comme pour le triangle de Gardner (voir 504.13), il s’agit de points en apparence alignés qui en fait ne le sont pas.
Dimension CE ( = d'ailleurs DF)
2 - 4 x 5 / 11 = 2/11
Aire ACE ( = d'ailleurs BDF)
(2/11)(5/2) = 5/11
Aire BCE ( = d'ailleurs ADF)
(2/11)(6/2) = 6/11
Aire ACB = ACE + BCE
5/11 + 6/11 = 1
L'écart de deux carreaux se retrouve bien dans ces deux triangles ACB et ADB.
