503, Une nuit de Shéhérazade, Le 19 novembre 2018

La source

[Cette séquence est très largement inspirée de l'ouvrage de Raymond SMULLYAN : Les énigmes de Shéhérazade aux Editions Flammarion qui m'a été signalé par Irène KOWARSKI].

On se souvient comment, dans la version classique des Mille et Une Nuits, un monarque, convaincu de l’infidélité de son épouse, la fit mettre à mort et jura, par la barbe du Prophète, d’épouser chaque nuit la plus belle jeune fille de son royaume pour, le lendemain, la livrer aux mains du bourreau. Cette cruauté sans précédent sema panique et consternation dans la ville et, comme le roi persistait dans sa détermination, son peuple finit par maudire celui pour lequel il n’avait jusqu’alors eu que louanges et vénération.

La fille aînée du grand vizir, Shéhérazade, finit par apporter un heureux et subtil dénouement à cette situation. Epousant le roi malgré l’avis pressant de son père, elle s’arrangea pour que sa sœur Dinarzade partage avec elle la chambre nuptiale. Peu avant l’aube, elle commença à lui conter une merveilleuse histoire, de telle manière que le roi l’entende. Quand vint l’heure de l’exécution, le monarque était si curieux de connaître la fin de l’histoire qu’il accorda à la condamnée un sursis de vingt-quatre heures.

La nuit suivante, Shéhérazade acheva son récit mais en commença un autre que, bien entendu, elle ne put terminer avant l’aube, obligeant ainsi le roi à surseoir à son exécution jusqu’au lendemain. Il en fut ainsi pendant mille et une nuits au bout desquelles le roi avait oublié son vœu ou, tout au moins, s’en considérait comme dégagé si bien qu’il épargna la vie de Shéhérazade et mit fin à son funeste projet.

Cependant, si l’on en croit Edgar Allan Poe, la fin de cette version des Mille et Une Nuits ne serait pas tout à fait exacte. C’est du moins ce qu’il explique dans son remarquable Mille et Deuxième Conte de Shéhérazade : « J’ai eu l’occasion, dit-il, lors de récentes recherches orientalistes, de consulter le Tellmenow Isitsöornot, ouvrage peu connu, même en Europe. Quel ne fut pas mon étonnement de découvrir que le monde littéraire avait jusqu’à présent vécu dans l’erreur quant au sort de Shéhérazade. Si le dénouement que nous connaissons n’est pas totalement inexact, on peut, néanmoins, lui reprocher de ne pas aller jusqu’à la fin de l’histoire. Pour plus ample information, je renvoie le lecteur à l’Isitsöornot ; en attendant, il voudra bien m’excuser de résumer ici ce que j’ai découvert. »

Et, Poe de poursuivre avec le récit de cette mille deuxième nuit : « Ma chère sœur, dit Shéhérazade, maintenant que cette charge odieuse a été levée, je me sens coupable de ne t’avoir pas conté, ainsi qu’au roi, la totalité de l’histoire de Sinbad le marin.» Elle enchaîna sur la description d’une suite de miracles – ou plutôt de ce qui passait alors pour des miracles et qui se révèle de nos jours n’être que de simples vérités scientifiques – par exemple des choses (la lumière) se déplaçant à la vitesse de trois cent mille kilomètres par seconde. Le roi, de plus en plus sceptique, finit par s’irriter et dit à Shéhérazade : « Arrête, c’en est trop, je n’en supporterai pas davantage. Tu m’as causé un terrible mal de tête avec tes mensonges. Le jour se lève et, à tout prendre, je préfère te voir étranglée. » Et, c’est ainsi que la pauvre Shéhérazade fut finalement exécutée.

Voilà pour la version de l’Isitsöornot.

Mais, ce que son auteur, quel qu’il soit, et Edgar Allan Poe ignorent, c’est que, tout comme les Mille et Une Nuits, ce livre fascinant est dans l’erreur en ce qui concerne le sort de Shéhérazade ! J’ai eu la chance extraordinaire, en effet, de pouvoir consulter un autre ouvrage oriental. Le secret en est si bien préservé que j’ai dû jurer d’en taire le titre, mais je peux vous en révéler le sous-titre, « Une critique de l’Isitsöornot ». Cette source, de loin la plus fiable entre toutes, explique que ce que contient l’ouvrage précédent est exact, sauf la dernière phrase. Je suis à présent heureux de pouvoir vous révéler quel fut le véritable dénouement de ce récit. La vérité, plus étonnante que ce que l’on peut trouver dans les Mille et Une Nuits ou l’Isitsöornot, nous apprend que Shéhérazade était d’une ingéniosité à faire pâlir d’envie les plus grands logiciens actuels ! Voici donc ce qui arriva réellement. Si le monarque dit effectivement « A tout prendre, je préfère encore te voir étranglée », il s’entendit répondre par Shéhérazade : « Les désirs de Votre Majesté sont des ordres, mais cela me désole vraiment pour vous. »

« Pourquoi pour moi ? demanda le roi.

C’est ainsi que la mille troisième nuit fut la première d’une longue série de nuits consacrées aux énigmes. Donc, la conclusion est encore plus étonnante que tout le reste de l’histoire ! La complexité croissante de ces énigmes, des plus simples et ingénieuses aux plus subtiles et compliquées, culmine avec la grande question de Shéhérazade, qui pourrait bien être le problème de logique le plus ardu de tous les temps !

Je vais, maintenant, vous relater les événements tels qu’ils sont rapportés dans mon ouvrage secret. Nombre d’énigmes – mais non les meilleures – nous sont déjà parvenues et ont acquis une certaine célébrité. Toutefois, je les conserverai ici, notamment à l’intention des lecteurs qui ne les connaitraient pas encore, et par fidélité à ma source, qui est sans conteste un document d’une grande importance historique et mérite d’être traité avec respect.

Nous allons donc, dans cette séquence, rechercher les solutions de quelques énigmes proposées par Shéhérazade. Nous ne nous préoccuperons plus de savoir si elle l’a été au cours de la mille quatrième nuit, de la mille cinquième ou d’une autre puisque cela n’a aucune importance, ni sur le contenu de l’énigme, ni sur sa solution et que nous ne sommes pas là pour faire de la littérature.

01. La mule d'Hassan

Enoncé

Nous avions envisagé au cours des exercices précédents, les énigmes de Shéhérazade avaient posé au roi à propos des chevaux d'Hassan (et qui l'avaient particulièrement irrité). Mais, Hassan n'a pas de chevaux et nous allons passer en revue tout son bestiaire, en commençant par sa mule.

"Finies les astuces stupides, s'écria le roi. Propose-m'en une véritable !

- D'accord. Hassan possédait également une mule. Un jour qu'on lui demandait l'âge de sa mule, il répondit de manière énigmatique : dans quatre ans, elle sera trois fois plus âgée qu'elle ne l'était il y a quatre ans.".

Quel est l'âge de la mule d'Hassan ?

Calcul

L’âge de la mule d’Hassan dans 4 ans sera le triple de ce qu’il était il y a 4 ans.

x + 4 = 3(x – 4) 12 + 4 = 3x – x x = 8

Résultat

La mule d’Hassan a aujourd’hui 8 ans

02. La couleur de la mule d'Hassan

Enoncé

"Poursuivons avec Hassan.". Un jour, rencontrant trois garçons, il leur parla de sa mule.

Quelle est la couleur de la mule d'Hassan ?

Calcul

Couleur de la mule Affirmations des trois garçons Conclusions
Pas noire Brune ou grise Brune
Brune V V V Pas de F, ne convient pas
Noire F F F Pas de V, ne convient pas
Grise V V F Convient

Résultat

La mule d’Hassan est grise.

03. Les chameaux d'Hassan

Enoncé

"Bien, dit le roi. Raconte m'en une autre.

Sans aucun doute, la dernière observation du roi est pertinente.

Mais, êtes-vous d'accord avec la réponse donnée par le roi à la question de Shéhérazade ?

Calcul

Tous sauf cinq périrent. Cinq restaient vivants.

Résultat

Réponse : non, il en restait cinq.

04. Combien Hassan a-t-il d'épouses ?

Enoncé

Oui, oui, assez d'astuces ! dit le roi d'un ton sévère. Raconte-moi une véritable énigme.

- Très bien, répondit Shéhérazade en riant. En voici une véritable, bien que fort simple. Hassan avait une épouse de moins que son frère aîné. Celui-ci en avait une de moins que son oncle. Et ce dernier en avait deux fois plus qu'Hassan.

Combien d'épouses chacun de ces hommes avait-il ?

Calcul

Nombre d’épouses d'Hassan x
Le frère ainé en a x + 1
L’oncle en a x + 2 x + 2 = 2x x = 2

Résultat

Hassan a 2 épouses ; Le frère en a 3 ; L’oncle en a 4.

05. Quelle est la taille de la plante ? Et des fleurs ?

Enoncé

"Voilà qui était en effet très simple, dit le roi. J'attends la suivante.

- Très bien. Si une plante mesurait trois pieds de plus que sa taille réelle, elle serait deux fois plus grande que si elle faisait un demi-pied de moins.

Quelle est la taille réelle de la plante ?

"Une autre dit le roi.

- On considère deux fleurs, une rouge et une bleue. La rouge mesure sept pouces de plus que la bleue. Si elle faisait quatre pouce de moins, elle serait deux fois plus grande que la bleue.

Quelle est la taille de chacune des fleurs ?

Calcul

5a - Taille de la plante en pieds x x + 3 = 2 (x – ½)
x = 4
5b - Taille de la fleur bleue en pouces x
Taille de la fleur rouge x + 7 x + 7 – 4 = 2x x = 3

Résultat

5a : La plante mesure 4 pieds ; 5b : La fleur bleue mesure 3 pouces ; La fleur rouge mesure 10 pouces.

06. Quelle est la distance ?

Enoncé

"Bon, continue, dit le roi.

- Un jour, un chat partit de chez lui, à une vitesse de trois kilomètres à l'heure. Se rendant soudain compte qu'il était bientôt temps de manger, il revint en trottinant deux fois plus vite. En tout, il s'était absenté un quart d'heure.

Quelle distance a-t-il parcourue en tout ?

Calcul

Distance parcourue à l’aller en km x
Temps nécessaire à l’aller à 3 km/h x / 3
Temps au retour à 6 km/h x / 6
Temps total (égal à ¼ d’heure) 3x /6 = 1/4 2x = 1 x = 1/2

Résultat

Distance parcourue (aller + retour) : 1 km.

07. Combien y a-t-il de souris ?

Enoncé

"Bien, quelle est la suivante, demanda le roi.

- Ce chat était un excellent chasseur de souris. Un jour, il attrapa le tiers des souris qu'il y avait dans la maisonnée. Le lendemain, il prit le tiers des souris qui restaient. Il fit de même le troisième jour. Le quatrième jour, il fit un sort aux huit dernières souris.

Combien y avait-il de souris au départ ?

Calcul

Nombre de souris restant pour le 4ème jour 8 8 représente les 2/3 du 3ème jour
Nb de souris au début du 3ème jour 3/2 de 8 = 12
Nb de souris au début du 2ème jour 3/2 de 12 = 18
Nb de souris au début 3/2 de 18 = 27

Résultat

Nombre de souris au départ : 27.

08. Ali est ses petits compagnons

Enoncé

"Hum ! hum ! dit le roi, continue.

Combien de chats et de chiens Ali possédait-il avant le passage des magiciens ?

Calcul

Nombre de chats et de chiens a chats et i chiens
1er magicien malfaisant a – 1 = i +1 i = a - 2
2ème magicien malfaisant a + 1 = 2 (i – 1) a + 1 = 2 (a – 2 – 1) a = 7
i = 7 – 2 = 5

Résultat

Nombre de chats au départ : 7 ; Nombre de chiens : 5.

09. La sagesse de Haroun El-Rachid et la suite de l’histoire.

Enoncé

« Ah ! j’ai bien aimé cette énigme, dit le roi. Peux-tu m’en proposer une autre ?

Comment Haroun El-Rachid a-t-il raisonné pour obtenir ce résultat ?

Comment les pièces devaient-elles être partagées cette fois-ci ? »

Ce qui nous amène à la nuit suivante…

Calcul

1er repas

Nombre de miches consommées par chacun (5 + 3) / 3 = 8/3
Nombre de miches données à l'étranger par Ahmed 5 – 8/3 = 7/3
Nombre de miches données par Ali 3 – 8/3 = 1/3
L'étranger paye 1 pièce par tiers

2ème repas

Nombre de miches consommées par chacun (3 + 2) / 3 = 5/3
Nombre de miches données à l’étranger par Ali 3 – 5/3 = 4/3
Nombre de miches données par Ahmed 2 – 5/3 = 1/3
Avec 10 pièces, l'étranger paye 2 pièces par tiers

Résultat

Repas 1, avec 1 pièce par tiers, Ahmed reçoit 7 pièces et Ali en reçoit une.    Repas 2, avec 2 pièces par tiers, Ali reçoit 8 pièces et Ahmed en reçoit 2.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
Aa Trouvez un mot qui utilise toutes les lettres de TREIZE. Mot trouvé : ETIREZ.
Ab Dans la fraction suivante, le sigle "Sig" est mis pour un signe +, - ou x. Ecrivez dans les carrés (꙱) les nombres 2, 4, 5, 10 pour que l'égalité soit vraie : (꙱ Sig ꙱) / ꙱ = ꙱ Les différentes opérations trouvées : (2x10)/4 = 5 ; (2x10)/5 = 4 ; (10x2)/4 = 5 ; (10x2)/5 = 4 ; (4x5)/2 = 10 ; (4x5)/10 = 2 ; (5x4)/10 = 2 ; (5x4)/2 = 10.
Ac Trouvez les nombres qui utilisent ces trois mots : CINQUANTE, CENT, DEUX. Deux nombres qui obéissent aux conditions : Cent-cinquante-deux ;
Deux-cent-cinquante.
Ad Dans cette grille, trouvez quatre nombres dont la somme est 48 et qui sont dans la position illustrée.
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
Les quatre nombres recherchés sont : 8 + 9 + 15 + 16 = 48.
Ba Combien y a-t-il de jours entiers entre le 4 juin et le 4 juillet, tous deux exclus ? 30 jours pour le mois de juin – 1 (extrémités non comprises) 29 jours entre le 4/6 et le 4/7.
Bb Comment écrit-on en chiffres 25 et 25 millièmes ? On écrit 25 et 0,025
Ou bien : 25,025.
Bc Combien y a-t-il de chiffres dans notre système de numération ? Dans notre système de numération, il y a 10 chiffres.
Bd On divise un nombre par 6. On obtient 24. Quel est ce nombre ? 24 x 6 = 144 Ce nombre est 144.
Be J'ai 73 macarons ; j'en donne 28. Combien ai-je de macarons maintenant ? 73 - 28 = 45 J’ai maintenant 45 macarons.
Bf On trace trois diamètres dans un cercle. Combien a-t-on de rayons ? 2 rayons par diamètre Il y a 6 rayons.
Bg Quel est le carré de 21 ? Le carré de 21 et 441.
Bh A quel nombre vous fait penser le mot QUINTUPLE ? Quintuple fait penser à 5.
Bi Quel est le rang de la lettre N dans l'alphabet ? La lettre N est la 14ème de l’alphabet
Bj Guy a choisi deux nombres dont l'un est 49. L'autre est le voisin en ordre décroissant. Quelle est la somme de ces deux nombres ? 49 + 48 = 97 La somme est 97.

11. Tangente 2018 (suggéré par Jean-Marc Temerson, d'après la revue "tangente")

Enoncé

N est un nombre de trois chiffres ; il s'écrit ABC en écriture décimale. On le fait suivre du nombre qui le suit immédiatement pour former un nombre de six chiffres ABCABD (où D = C + 1). Le résultat obtenu est un multiple de 2018.

lequel ?

Calcul

Il n’y a qu’une solution (par balayage systématique à l’aide d’Excel)

Résultat

Ce nombre multiple de 2018 est 883 884

12. Histoire de pirates (d'après Bernard Silvestre-Brac)

Enoncé

Trois pirates ont dérobé une cassette remplie de louis d’or. Ils attendent le lendemain matin pour se partager le butin. Durant la nuit, le chef des pirates pense qu’il mérite une plus grande part du butin que ses acolytes. Il se lève, sans bruit, ouvre la cassette, jette par-dessus bord un louis d’or pour honorer Lucile, sainte patronne des pirates et peut partager le reste en trois parties égales. Il empoche la sienne et remet les deux autres dans la cassette. Son second pense également qu’il mérite une plus grosse part du butin que le mousse et il procède de la même façon que son chef. Enfin, le mousse, comprenant que ses deux collègues se sont déjà servis, décide de reproduire à son profit le même scénario.

Au lever du jour, nos trois compères ouvrent ensemble la fabuleuse cassette, offrent un louis d’or à Lucile et se partagent le butin restant à parts égales.

Quel était, au minimum le nombre de louis d’or contenus initialement dans la cassette ? Et quelle est la part finale de chacun des pirates ?

Calcul

Nb de louis d’or reçus par chacun au pattage final x
Contenu de la cassette avant le partage final 3x + 1
Contenu de la cassette pour le mousse 3(3x + 1)/2 + 1 = (9x + 5)/2
Contenu de la cassette pour le second 3(9x + 5)/4 + 1 = (27x + 19)/4
Contenu initial de la cassette 3(27x + 19)/8 + 1 = (81x + 65)/8
Il faut que 81x + 65 soit multiple de 8
x 1 2 3 4 5 6 7
(81x + 65)/8 18,25 28,375 38,5 48,625 58,75 68,875 79

Ventilation du contenu de la cassette

Calcul d'une part Chef Second Mousse Lucile Total
prélevé
Il reste
Contenu initial 79
Le chef : (79 - 1)/3 26 1 27 52
Le second : (52 - 1)/3 17 1 18 34
Le mousse : (34 - 1)/3 11 1 12 22
Partage final : (22 - 1)/3 7 7 7 1 22 0
Part totale de chacun 33 24 18 4 79

Résultat

Le contenu initial de la cassette était au minimum : 79 louis d'or. Le chef en a reçu 33, le second 24, le mousse 18 et Lucile 4.

13. Le paradoxe de Zénon d’Elée

Enoncé

Achille et la tortue

Pour devancer Achille, une faible tortue
En efforts impuissants, vainement s'évertue :
Bien qu'elle ait une avance de dix pas de chemin,
Il va dix fois plus vite et son but est certain.
Voyons s'il peut la joindre en cette circonstance
Et cherchons en quel point il regagne l'avance.
Zénon le philosophe, qu'on nommait stoïcien,
N'était pas, sûrement, fin mathématicien.
Il pensait faussement que l'intrépide Achille
N’attraperait jamais la tortue malhabile.
Car pendant, disait-il, qu'Achille entreprenant
Ferait le premier pas, il paraissait constant
Que la faible tortue, en suivant son système,
Assurément d'un pas parcourrait le dixième.
Et lorsqu'à ce dixième on verrait le héros,
Notre adroite tortue, persistant à propos,
De ce dixième acquis, comptant sur elle-même,
En ferait le dixième, ou plutôt le centième…

Aladin et le lionceau

Aladin et le petit lion font la course. Mais Aladin va plus vite que le petit lion : pendant une unité de temps, Aladin parcourt 1 000 mètres alors que le lionceau parcourt 100 mètres seulement. Au départ (temps : 0), le lionceau a 1 000 mètres d’avance sur Aladin.

Lorsqu’Aladin a parcouru les 1 000 mètres qui le séparaient du petit lion, celui-ci a parcouru 100 mètres. Lorsqu’Aladin a parcouru ces 100 mètres, le lionceau s’est éloigné de 10 mètres et ainsi de suite. Au bout d’un moment, Aladin se demande s’il va, finalement, rattraper le lionceau ou non.

Qu’en pensez-vous ? Faites la discussion de cette situation.

Calcul

Les solutions des problèmes n° 13, 14 et 15 sont celles des exercices 13, 14 et 15 de la 3ème séance, séquence 5 du 19 novembre 2018.

Les divisions de sections vers l’infiniment petit font qu’inexorablement Aladin va rattraper le lionceau.

La rencontre a lieu au bout du temps t
Distance parcourue par Aladin 1 000 t
Distance parcourue par le lionceau 1 000 + 100t
Egalité des distances 1 000 t = 100 t + 1 000 t = 10 / 9
Distance parcourue 10 000 / 9 = 1 111,111 (valeur à un millimètre près)

Résultat

Aladin et le lionceau se rencontrent à 1 111,111 mètres

14. Broutage complexe

Enoncé

On suppose, bien évidemment, qu'il y a la même hauteur d'herbe dans les prés au début de chaque expérience, que l'herbe pousse uniformément et que les boeufs broutent à vitesse constante.

Combien faut-il de boeufs pour brouter en 18 jours l'herbe d'un pré de 96 ares ?

Calcul

Un champ de surface S ares contient Sx unités fourragères (x étant la contenance à l’are)
De plus, ce champ produit Sy unités par jours (y étant la production à l’are et par jour)
Pendant J jours on dispose de Sx + SJy unités fourragères
Sur la base de la consommation de 1 unité fourragère par bœuf et par jour, pendant J jour, B bœufs ont besoin de BJ uf

BJ = Sx + SJy
Avec 75 bœufs, 12 jours et 60 ares on a 75 * 12 = 60x + 60 * 12y 15 = x + 12y
Avec 81 bœufs, 15 jours et 72 ares on a 81 * 15 = 72x + 72 * 15y 135 = 8x + 120y
x = 15 – 12y 135 = 120 – 96y + 120y
24 y = 15 y = 5/8
x = 15 – 15/2 x = 15/2
Nb de bœufs sur 96 ares pendant 18 jours B = Sx/J + Sy B = 96 * 15/36 + 96 * 5/8 B = 100

Résultat

Il faut 100 bœufs pour 96 ares pendant 18 jours

15. Trois plus cinq égale quatre

Enoncé

On dispose d'un robinet que l'on peut ouvrir et fermer et qui fournit de l'eau à volonté. On dispose, également de deux récipients. L'un a une contenance de 5 litres et l'autre a une contenance de 3 litres.

Le challenge consiste à isoler 4 litres d'eau dans l'un des récipients.

Manips

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