502, Récréations ludiques, Le 5 novembre 2018

00. Exercice préliminaire

Enoncé

Comme pour la séquence 5.1, nous proposons un exercice qui n'est destiné qu'aux étudiants qui sont inscrits en "Mathématiques récréatives" pour la première fois.

• [Cela suppose que l'on dispose du matériel adéquat].
• On dispose d'un quadrillage de 4 lignes et 4 colonnes.
• On dispose d'un nombre suffisant de triangles rectangles isocèles.
• Ces triangles sont revêtus de noir, de bleu, de jaune ou de rouge.

Le but du jeu est de réaliser un pavement correspondant aux 4 règles suivantes :

1. Les triangles adossés à un côté du quadrillage ont tous la même couleur.

2. Les triangles situés de part et d'autre d'un côté d'un carré ont la même couleur.
3. Les couleurs des 4 côtés du quadrilatère sont toutes différentes.
4. Les 4 triangles d'un carré sont de couleurs différents.

Calcul

On doit positionner des petits triangles rectangles isocèles dans la grille ci-contre. Les couleurs (noir, bleu, jaune, rouge) sont toutes différentes dans un carré. De plus on a une couleur identique – 1 – sur chacun des côtés du grand carré (chaque côté ayant sa propre couleur parmi les 4) – 2 – de part et d’autre d’un côté interne des petits carrés. A nous de nous arranger pour que les 16 noirs, les 16 bleus, les 16 jaunes et les 16 rouges soient bien répartis.

A droite, une des solutions possibles.

01. Les arbres de l'avenue

Enoncé

Sur l'avenue de la Liberté, il y a un arbre tous les 7 mètres, sur le trottoir de droite comme sur le trottoir de gauche, avec un arbre à chaque extrémité. Cela fait 40 arbres en tout.

Quelle est la longueur de l'avenue de la Liberté ?

Calcul

Il y a 20 arbres de chaque côté et 19 intervalles.    19 x 7 = 133 .

Résultat

Longueur de l’avenue : 133 mètres.

02. Grille de quatre-vingt

Enoncé

On a préparé la grille ci-contre. Les nombres placés dans la colonne de gauche doivent apparaitre sur la ligne correspondante. La somme des nombres de chaque colonne doit être égale à 20. Six nombres sont déjà placés.

Complétez la grille.

Calcul et Résultat

La grille doit être complétée avec les nombres indiqués à gauche de manière à obtenir 20 pour la somme de chaque colonne.

• Colonne 3, il manque 20 – 2 – 11 = 7. Parmi les nombres proposés lignes A et B, on ne peut prendre que 6 et 1.
• Ligne 1, colonne 1, il reste 3.
• Colonne 4, il manque 20 – 8 – 2 = 10. Les nombres qui conviennent sont : 7 + 3. Ligne2, colonne 1, il reste 8.
• Colonne 1, il manque 20 – 3 – 8 = 9. Il faut utiliser 5 + 4. Il reste 1 en lig 3, col 2 et 7 en lig 4, col 2.

03. Les photographies de Nicéphore

Enoncé

Nicéphore vient de terminer le classement de ses photos. Il les a nuémrotées avec les nombres de 1 à 199 qui sont :

• Des multiples de trois.
• Des multiples de cinq.
• Des multiples de sept.

Combien a-t-il numéroté de photos ?

Calcul

Ce nombre 105 a été compté comme divisible par 3, puis par 5, puis par 7. Mais il a été déduit aussi trois fois comme étant divisible par 15, par 21 et par 35. Donc comme il faut le compter 1 fois, il faut ajouter 1. Le résultat global : 66 + 39 + 28 – 13 – 9 – 5 + 1 = 107.

Résultat

107 photos.

04. Balles perdues

Enoncé

Arlequin et Colombine ont recueilli (à tous les deux) 84 balles de glof perdues dans les broussailles.

1. Le nombre de balles recueillies par Arlequin, comme celui des balles recueillies par Colombine n'est pas supérieur à 60 et n'est pas divisible par 3.
2. Ces nombres sont formés de quatre chiffres différents et un seul de ces chiffres est pair.
3. Le nombre dont la somme des chiffres est la plus grande est celui des balles recueillies par Colombine.

Combien Colombine a-t-elle recueilli de balles de golf ?

Calcul

• Il y a donc 84 balles à répartir entre Colombine et Arlequin.
• Aucun des deux ne peut avoir un nombre de balles pairs. En effet cela entrainerait un nombre pair de balles pour l’autre et donc plus de un chiffre pair dans l’expression des deux résultats.
• On peut limiter la valeur pour l’un des deux à la fourchette 43 à 59. En effet d’une part, 60 est le maxi de la clause 1 et d’autre part, examiner 41, associé à, 84 – 41 = 43 correspond à examiner 43 associé à 41 déjà considéré.
• Il nous reste donc à considérer les nombres (x) impairs de 43 à 59. Associer la valeur (84 – x). De cette liste il faut éliminer les nombres divisibles par 3 et les couples pour lesquels il y a une répétition d’un chiffre.

43	45	47	49	51	53	55	57	59
41	39	37	35	33	31	29	27	25
Non	Non	Non	Oui	Non	Non	Non	Non	Non

• Somme des chiffres    4 + 9 = 13    3 + 5 = 8    13 est le plus grand, Colombine a 49 balles.

  Résultat

  Colombine a recueilli 49 balles. Arlequin en a 35.

05. Histoire de robinets

Enoncé

Robin a acheté une pataugeoire pour ses enfants. La vendeuse lui a indiqué que cette pataugeoire est munie de deux robinets. Celui qui est marqué Y peut assurer un débit permettant de remplir la pataugeoire en deux heures. Le second robinet, marqué Z, permet de remplir la pataugeoire en quatre heures. En rentrant chez lui, Robin se rend compte que la vendeuse ne lui a pas dit le temps qui serait nécessaire pour remplir la pataugeoire s'il ouvrait simultanément les deux robinets.

Pouvez-vous indiquer à Robin quelle durée est nécessaire pour remplir la pataugeoire si les deux robinets coulent simultanément ?

Calcul

Résultat

Réponse : 1 h 20 mn

06. Pair ou impair ?

Enoncé

César a dessiné la grille carrée ci-contre. Il y a écrit quatre nombres : un 6, un 7, un 8 et un 9. Pour les autres cases, il a noté deux symboles : i et p. Le symbole i prend la place d'un nombre impair et, le symbole p la place d'un nombre pair. Dans la grille il faut placer un 2, trois 3, trois 4, trois 5 et deux 6. La somme doit être 20 dans chaque rangée horizontale, verticale ou diagonale.

Complétez la grille en remplaçant chaque symbole.

Calcul et Résultat

• Diagonale 1 (A1-D4), 20 – 8 – 6 = 6, avec 2 chiffres impairs : 3, 3
• Ligne A, 20 -10 = 10, avec 2 impairs : 5, 5
• Colonne 2, 20 – 5 – 8 = 7, avec 1 pair et 1 impair : 2, 5 ou 3, 4
• Hypothèse 1 : D2 = 2 et C2 = 5
• Cela entraine C4 = 3 et B4 = 6
• Ligne B, 20 – 8 – 6 = 6, avec 2 pairs. On n’a plus de 2 disponible. Donc l'hypothèse 1 n'est pas bonne.
• Hypothèse 2 : C2 = 3 et D2 = 4
• C4 = 20 – 9 – 3 – 3 = 5
• B4 = 20 – 5 – 5 – 6 = 4
• Diagonale 2 (A4-D1) : 20 – 5 – 3 = 12, avec 2 chiffres pairs : 6, 6
• B1 = 20 – 8 – 6 – 4 = 2 et D3 = 20 – 6 – 4 – 6 = 4

07. C'est une flèche !

Enoncé

Dans les cellules de la figure ci-contre, disposez chacun des nombres de 1 à 7 pour que la somme soit 12 dans chacune des quatre rangées de trois cellules reliées par un segment de droite.

Calcul et Résultats

• Liste des combinaisons possibles de 3 objets parmi 7 limitée à la somme 12 des chiffres :    147 ; 156 ; 237 ; 246 ; 345
• A remarquer que le 4 apparait dans 3 combinaisons. Il pourrait être à la pointe de la flèche qui est commune à trois lignes. Cela amène 6 possibilités pour la diagonale du haut :    174 ; 714 ; 264 ; 624 ; 354 ; 534
• Examen de 174 pour la diagonale du haut. Il reste 2 possibilités pour la ligne verticale :    156 ; 165
• L’examen de 156 donne une solution.
• L’examen de 165 donne une solution.
• Examen de 714 donne 2 solutions.
• . . .

Finalement toutes les possibilités fonctionnent. Il y a 12 solutions dont 6 groupes de 2 solutions symétriques par rapport à l’horizontale. Par commodité la solution ci-dessus est représentée sous la forme ci-contre.

Liste des solutions (avec les symétriques au-dessous)

08. Nombres croisés

Enoncé

Dans la grille 3 x 3 ci-contre, Max désire écrire les nombres : 243, 624, 725, 853, 968, et 972. Il doit placer un chiffre par case de manière qu'on puisse lire ces nombres horizontalement et verticalement.

Trouvez une façon de disposer ces nombres.

Calcul et Résutat

Il faut donc arranger les 6 nombres 243, 624, 725, 853, 968 et 972 pour pouvoir les lire horizontalement et verticalement.

Deux de ces nombres commencent par un 9 : 968 et 972. Le 9 va donc naturellement se trouver en haut et à gauche. Les autres chiffres suivent assez facilement.

09. Dessins et rotations

Enoncé

Pablo dessine trois carrés. Puis il partage chaque carré en quatre parties. Dans trois parties, il trace un carré, un cercle et un triangle, les uns blancs et les autres noirs. [Voir figure ci-contre].

En vous basant sur les trois premiers carrés, complétez le quatrième.

Calcul et Résultat

L’ensemble de la figure pivote dans le sens antihoraire. Les ronds sont toujours noirs. Les triangles et les carrés alternent entre le blanc et le noir.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. Pêche à la truite

Enoncé

Pierre est responsable d'un club de pêche. Chaque jour, il doit préciser sur un tableau le nombre de truites qui ont été prises. Après trois jours, Pierre a remarqué que le nombre de truites était identique dans chaque rangée horizontales, verticales et diagonales. Mais en recopiant son rapport, il a omis de reporter le nombre de truites prises les 7 et 8 juillet.

Complétez son rapport.

Calcul et Résultat

12. Jardins d'oiseaux

Enoncé

Derrière sa maison, Jean-Marc a érigé huit cabanes à oiseaux. Les cabanes sont disposées comme l'indique la figure ci-contre. A un moment donné, il y a 16 oiseaux dans chacune des quatre rangées obliques de trois cabanes.

1. Les cabanes A et F ont, ensemble, neuf oiseaux.
2. Les cabanes C et F ont, ensemble, huit oiseaux.
3. Les cabanes B et D ont, ensemble, 14 oiseaux.
4. La cabane C reçoit cinq oiseaux de plus que la cabane H.

Combien y a-t-il d'oiseaux en tout dans le jardin de Jean- Marc ?

Calcul

Résultat

Nombre total des oiseaux : 40.

13. Les billes et la balance

Enoncé

On dispose de 12 billes indiscernables à l'oeil (c'est à dire de même apparence) dont une est un tout petit peu plus légère que les autres. On dispose aussi d'une balance de précision, juste et fidèle, suffisamment sensible pour accuser la différence de masse de la bille plus légère.

Comment feriez-vous pour déterminer (en trois pesées seulement) la bille qui est la plus légère ?

Ensuite on se pose le même problème avec 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 et 21 billes.

Calcul et Résultat

Le principe est de comparer 2 tas d'un nombre identique de billes. On peut avoir trois sortes de réponses :

1. La balance est équilibrée. Les deux tas ont tous des billes semblables. La bille la plus légère est dans le tas des billes non pesées.
2. La balance penche à gauche. La bille la plus légère se trouve dans le tas de droite.
3. La balance penche à droite. La bille la plus légère se trouve dans le tas de gauche.

Succession des pesées pour le problème avec 12 billes

• Pesée n° 1 avec 4 billes à gauche et 4 billes à droite. Cela nous permet de trouver le tas de 4 où se trouve la bille la plus légère, soit sur le plateau de gauche, soit sur le plateau de droite, soit dans la tas des 4 billes non pesées.
• Pesée n° 2 avec 2 billes par plateau. La bille la plus légère est dans le tas de deux du plateau de gauche ou du plateau de droite.
• Pesée n° 3 avec 1 bille par plateau.

Succession des pesées pour les autres problèmes

Nombre de billes	13	14	15	16	17	18	19	20	21	27
	Nombre de billes par plateau pour chacune des pesées
Pesée n° 1	5	5	5	6	6	6	7	7	7	9
Pesée n° 2	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3
Pesée n° 3	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

27 billes (3³) est le maximum autorisé en trois pesées. Remarque : on aurait pu faire 9 billes en deux pesées (3²).

14. La chèvre de Monsieur Seguin

Enoncé

Monsieur Seguin qui n'est pas un aigle en mathématiques mais qui a du bon sens (jusqu'à un certain point) est propriétaire d'une seule chèvre et de plusieurs champs.

Lundi, la chèvre est parquée dans un champ carré, clôturé, non brouté, de côté a, à l'aide d'une corde attachée à un piquet placé à un angle du champ. Quelle doit-être la longueur de la corde, pour que la chèvre broute la moitié du champ ?

Mardi, Monsieur Seguin souhaite faire brouter à sa chèvre la deuxième moitié du champ précédent. Comment s'y prend-il ?

Mercredi, Monsieur Seguin parque sa chèvre dans un champ de mêmes caractéristiques que celui utilisé lundi. Mais, il place le piquet au milieu d'un des côtés du champ. Quelle doit être la longueur de la corde, pour que la chèvre broute la moitié du champ ? Comment, Monsieur Seguin peut-il résoudre la difficulté ?

Jeudi, Monsieur Seguin souhaite faire brouter à sa chèvre, la deuxième partie du champ précédent. Comment s'y prend-il ?

Vendredi, Monsieur Seguin parque sa chèvre dans un champ circulaire, non clôturé, non brouté, offrant une belle vue sur la montagne et de même aire que le champ carré utilisé le lundi. Quelle est la longueur du rayon du champ circulaire ? Si le piquet est placé au bord du champ, quelle doit être la longueur de la corde pour que la chèvre broute la moitié du champ ? Comment, Monsieur Seguin peut-il résoudre la difficulté qui apparaît ?

Samedi, Monsieur Seguin souhaite faire brouter à sa chèvre la deuxième partie du champ précédent. Comment s'y prend-t-il ? Quel jour de la semaine, le loup a-t-il mangé la chèvre de Monsieur Seguin ?

Calcul

La pâture du lundi

La pâture du mardi

Le champ est clôturé. Pour brouter la deuxième moitié, M Seguin n’a pas besoin d’attacher sa chèvre.

La condition du mercredi

Les deux moitiés de segments circulaires latéraux sont les mêmes que le segment circulaire du haut. A l’aire du demi-cercle il faudrait déduire ce segment circulaire. Le site : http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/aaaAIRE/Segment.htm donne les formules qui permettent de calculer le segment circulaire. Ainsi il faudrait résoudre l’équation : πR² - 2R² cos^-1⁡ (1/2R) + √(R² - 1/4) = 1

Je ne sais pas faire. En utilisant la fonction « Valeur cible » d’Excel on trouve un résultat avec une très bonne précision. la longueur de la corde est dans ce cas : 0,5828 a. Le problème peut se simplifier en acceptant de déplacer le piquet vers le centre du carré. Voir le problème du vendredi.

la deuxième moitié du jeudi

Comme pour le mardi, M Seguin peut simplement laisser sa chèvre en liberté dans le champ clôturé.

Le champ circulaire du vendredi

Par calcul itératif (Valeur cible d’Excel), pour manger la moitié du champ à partir du piquet planté sur le bord du cercle, la corde doit avoir une longueur de 0,6537 a. Mais cette façon de faire est invalide, car la chèvre peut manger le champ voisin. Le problème peut être simplifié en plantant le piquet au centre du cercle avec une longueur c de corde, telle que : πc² = a²/2    Longueur de la corde avec piquet au centre c = a/√(2π) ≈ 0,3989 a.

La deuxième moitié du samedi

Pour brouter la deuxième moitié on laisse le piquet au centre et on allonge la corde de manière à atteindre tout le cercle dont le rayon a été calculé pour le vendredi.    Longueur de la corde : 0,5642 a

Résultats

• Le lundi, avec le piquet dans un angle du champ carré, la corde a une longuer de 0,7979 a
• Le mardi, la chèvre broute librement la 2^ème moitié du champ clôturé. Ou bien si on veut absolument mettre une corde, la longueur sera celle de la diagonale du champ carré = 1,414 a.
• Le mercredi, avec le piquet au milieu d'un des côtés du carré, la corde a une longueur de 0,5828 a. On peut simplifier en mettant le piquet au centre du carré. La longueur de la corde est dans ce cas la même que le vendredi : 0,3989 a.
• Le jeudi, comme pour la mardi, la chèvre broute librement ce qu'il reste.
• Le vendredi,
• la longeur du rayon du champ circulaire est : 0,5642 a.
• Avec le piquet sur le bord du champ circulaire la longueur de la corde est : 0,6537 a. Mais, dans ce cas, la chèvre va manger en dehors de la partie circulaire.
• On peut simplifier avec le piquet au centre, ce qui évitera de manger le champ du voisin. La longueur de la corde est : 0,3989 a.
• Le samedi,
• la longeur de la corde est 0,5642 a avec le piquet au centre.
• La chèvre de M Seguin a été mangée par le loup le vendredi.