Le professeur Luminix veut connaître le code d’ouverture d’une porte. Personne ne veut lui donner ce code. Il questionne à gauche et à droite et
finit par recueillir les indices suivants :
1. Le dernier chiffre est 3, 6 ou 7.
2. La somme des deux premiers chiffres est 13.
3. Le quatrième chiffre est impair.
4. La somme du premier et du dernier chiffre est 9.
5. Tous les chiffres sont différents et il n’y a pas de zéro.
6. La somme des cinq chiffres est 21.
Trouvez le code d’ouverture.
Résolution
Info 2: en 1 + 2 ; 13 = 9 + 4 = 8 + 5 = 7 + 6 Info 4 : en 1 + 5 ; 9 = 6 + 3 (pas de 3 en 1 ; pas de 2 ni en 1
ni en 5)
Donc 6 en 1 ; 7 en 2 ; 3 en 5 ; Info 6 : 21 - 6 - 7 - 3 = 5 en 3 + 4 ; Donc 4 en 3 et 1 en 4 ; Code : 67413
Résultat
Le code d'ouverture est : 67413.
02. Des pommes, des poires, mais pas de scoubidou
Enoncé
On dispose de six pommes et de six poires. De combien de façons différentes est-il possible d'arranger six de ces fruits sur une ligne de
manière à ce qu'il n'y ait jamais une poire entre deux pommes ?
Résolution
Cet exercice a été traité le 16/1/23 (voir 906.13). En symbolisant les poires par Δ et les pommes par o, parmi les 64
combinaisons binaires,
La forme oΔo... apparaît 8 fois ;
La forme .oΔo.. apparaît 8 fois ;
La forme ..oΔo. apparaît 8 fois, dont 2 ont déjà été comptées ; 8 - 2 = 6 ;
La forme ...oΔo apparaît 8 fois, dont 3 ont déjà été comptées ; 8 - 3 = 5 ; 64 - 8 - 8 - 6 - 5 = 37
Résultat
Il y a 37 façons d'arranger les pommes et les poires.
03. Lapinière payante
Enoncé
Pierre-Paul a vendu un certain nombre de lapins pour 800 écus. S’il avait vendu neuf lapins de plus pour la même somme, chacun aurait coûté 18
écus de moins.
Combien Pierre-Paul a-t-il vendu de lapins ?
Résolution
Prix unitaire de x lapins à 800 écus
800/x
Prix unitaire de (x + 9) lapins à 800 écus
800/(x + 9)
Ecart 18
800/x - 18 = 800/(x + 9)
(800 - 18x)/x = 800/(x +9)
800x = 800x - 18x2 + 7200 - 162x
x2 + 9x - 400 = 0
Racine positive : x = 16
Vérification :
800/16 = 50
800/25 = 32
50 - 32 = 18
Résultat
Pierre-Paul a vendu 16 lapins.
04. Milieu rural
Enoncé
Trois ruraux, Alicia, Gaston et Laurence consacrent beaucoup de temps à des collections.
Rangs : rang 2, rang 3, rang 4
Municipalités : Bic, St-Fabien, St-Mathieu
Collections : drapeaux, éléphants, macarons
1. Gaston demeure au rang 2 ou à St-Mathieu, l'un ou l'autre.
2. La personne qui demeure au rang 4 collectionne les éléphants.
3. Alicia ne collectionne pas les drapeaux.
4. Laurence ne demeure pas au rang 3.
5. Alicia réside à St-Fabien ou à St-Mathieu ; il en est de même pour Laurence.
6. La personne qui collectionne les macarons ne réside pas à St-Mathieu.
7. Chaque personne demeure dans une municipalité et dans un rang, puis fait une collection différente.
Où demeure chacune des personnes et quelle collection réalise-t-elle ?
Résolution
Alicia
Gaston
Laurence
Drapeaux
Eléphants
Macarons
Bic
St Fabien
St Mathieu
Rang 2
O
O
O
Rang 3
O
O
O
Rang 4
O
O
O
Bic
O
O
St Fabien
O
O
St Mathieu
O
O
Drapeaux
O
Eléphants
O
Macarons
O
Résultat
Alicia : Rang 3, St Fabien, Macarons ; Gaston : Rang 2, Bic, Drapeaux ; Laurence : Rang 4, St Mathieu, Eléphants.
05. Famille grecque
Enoncé
Gamma
Epsilon
Iota
Bêta
Êta
Thêta
Alpha
Delta
Huit membres d’une famille sont : Alpha, Bêta, Gamma, Delta, Epsilon, Êta, Thêta et Iota. Chacun se fait photographier seul. Les huit photos
sont disposées ainsi :
1. Delta est immédiatement au-dessous d’Alpha dans la même rangée verticale.
2. Epsilon est immédiatement à gauche de Iota dans la même rangée horizontale.
3. Êta est au-dessous de Gamma dans la même rangée verticale mais ne lui est pas voisine.
4. Thêta est au milieu d’une rangée horizontale.
5. Bêta est immédiatement au-dessus de Thêta dans la même rangée verticale.
Déterminez la position de chaque photo.
06. Zéro de Blaise
Enoncé
B
O
N
+
M
A
L
=
Z
E
R
O
7
9
4
+
8
3
5
=
1
6
2
9
BON an MAL an, Blaise réussit à atteindre le déficit ZÉRO. Chaque lettre a une valeur différente.
1. Aucune des neuf lettres n’a la valeur 0.
2. O est le triple de A.
3. R est le quart de M.
4. É est le double de A.
Quelle est la valeur de ZÉRO ?
Résultat
A = 3 ; B = 7 ; E = 6 ; L = 5 ; M = 8 ; N = 4 ; O = 9 ; R = 2 ; Z = 1 ; La valeur de O ou plutôt ZERO est 9.
07. Sentier pédestre
Enoncé
2 de ♣
3 de ♦
4 de ♠
5 de ♥
6 de ♠
7 de ♣
8 de ♦
9 de ♥
Huit enfants marchent en file indienne dans un sentier en forêt. Chacun des enfants porte un gilet sur lequel apparaît une des cartes
ci-contre : 1. L’un des enfants de cœur est immédiatement en avant du 6 de pique.
2. Les deux enfants de pique sont dans les trois dernières positions et ne sont pas voisins.
3. L’un des enfants qui est dans les quatre premières positions est entre deux enfants de carreau.
4. L’un des enfants de trèfle est immédiatement en avant du 3 de carreau.
5. La somme des numéros des trois premiers gilets est 15.
6. La somme des numéros des trois derniers gilets est 17.
Quel enfant est en première position ?
Résolution
Ce problème a été traité le 6 avril 2020 (voir 611.07). La solution est :
5 de ♥
8 de ♦
2 de ♣
3 de ♦
9 de ♥
6 de ♠
7 de ♣
4 de ♠
Résultat
Le 5 de ♥ est en première position.
08. Tournoi de maths
Enoncé
Lors de la préparation d’un tournoi mathématique, le Père Chiffon avait l’intention de demander de placer neuf nombres différents dans la
figure ci-après pour que la somme des cercles reliés par une même droite soit égale à 20, et cela sans donner d’indices.
Après mûre réflexion, il ajouta :
● Le 2 est le plus petit nombre ; 12 est le plus grand ; il n’y a pas de 6.
● Le 3 est sous le 5 ; le 4 est dans la même rangée que le 9.
Placez neuf nombres dans la figure.
Résolution
Pour obtenir 20 avec 2 nombres : 20 = 8 + 12 = 9 + 11 ; On a donc 4 cas à examiner :
a = 8 et b = 12 ; a = 12 et b = 8 ; a = 9 et b = 11 ; a = 11 et b = 9 ;
On peut éliminer a = 12 car il ne resterait que 3 + 5 pour compléter à 12 pour construire d + g et e + i ;
Si a = 8 on peut faire les 2 couples (d + g) et (e + i) avec 20 - 8 = 12 = 2 + 10 = 3 + 9 = 5 + 7 ; Cela conduit à 2 solutions ;
Si a = 9 on peut faire (d + g) et (e + i) avec 20 - 9 = 11 = 3 + 8 = 4 + 7 ; il n'y a pas de solution ;
Si a = 11 on peut faire (d + g) et (e + i) avec 20 - 11 = 9 = 2 + 7 = 4 + 5 ; il n'y a pas de solution
Résultat
a = 8 ; b = 12 ; c = 4 ; d = 2 ; e = 5 ; f = 9 ; g = 10 ; h = 3 ; i = 7 ; Pour la 2ème solution
on intervertit c et f.
09. 120, nombre magique ?
Enoncé
Pour quels entiers n le nombre n5 - 5n3 + 4n est-il divisible par 120 ?
Résolution
On peut factoriser : y = n5 - 5n3 + 4n = n(n4 - 5n2 + 4) ; On constate que :
Avec n = 0 ; y = n(n4 - 5n2 + 4) = 0(0 - 0 + 4) = 0 ;
Avec n = 1 ; y = 1(1 - 5 + 4) = 0 ; Avec n = -1 ; y = -1(1 - 5 + 4) = 0 ;
Avec n = 2 ; y = 2(16 - 20 + 4) = 0 ; Avec n = -2 ; y = 0 ;
Avec n = 3 ; y = 3(81 - 45 + 4) = 3.40 = 120 ; Avec n = -3 ; y = -3.40 = -120 ;
Avec n = 4 ; y = 4(256 - 80 + 4) = 4.180 = 6.120 ; Avec n = -4 ; y = -6.120 ;
Avec n = 5 ; y = 5(625 - 125 + 4) = 5.504 = 21.120 ; Avec n = -5 ; y = -21.120
Résultat
Il semble bien que tous les nombres à partir de 3 conviennent. A démontrer (?)
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
Trouvez le plus petit nombre dont le double contient un 0, un 5 et un 8.
508/2 = 254
254
b
Mariette désire paginer un livre de la page 7 à 77. Combien de chiffres sont nécessaires ?
3 + 68.2 = 139
139 chiffres.
c
Insérez un signe +, -, x ou ÷ entre les chiffres pour que le résultat soit 4 8 ꙱ 2 ꙱ 3 ꙱ 8
8/2 x 3 - 8 = 4
d
F
F
F
L
L
E
E
E
U
U
R
R
R
Combien y a-t-il de façons de lire FLEUR ?
24 façons
11. Couples x, y
Enoncé
Combien de couples d'entiers (x, y) existe-t-il tels que xy = 4(y2 + x) ?
Résolution
On peut exprimer x en fonction de y : xy = 4y2 + 4x ; x(y - 4) = 4y2 ; x = 4y2/(y - 4) ;
On se rend assez vite compte que la divisibilité de 4y2 par (y - 4) est conditionnée par les puissances de 2 ;
Il faut que le numérateur contienne au moins autant de facteurs 2 que ce qui est contenu dans le dénominateur ;
y - 4 = 2n ; y = 2n + 22 = 22(2n-2 + 1) ; 2n-2 + 1 est impair (sauf si n = 2) ;
Donc dans y il ne reste que 2 facteurs 2 ;
y ne contient que 2 facteurs 2 ; y2 en contient 4 ; Donc le numérateur 4y2 en contient 6 (sauf exceptions).
n
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
y - 4 = ±2n
-128
-64
-32
-16
-8
-4
-2
-1
0
1
2
4
8
16
32
64
128
y = (y - 4) + 4
-124
-60
-28
-12
-4
0
2
3
4
5
6
8
12
20
36
68
132
nb de facteurs 2 au numérateur
6
6
6
6
6
0
4
2
2
4
6
6
6
6
6
6
nb de facteurs 2 au dénominateur = n
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x = 4y2/(y - 4)
-225
-98
-36
-8
0
-8
-36
100
72
64
72
100
162
289
Résultat
Il y a 14 couples (x, y) entiers tels que xy = 4(y2 + x)
12. Autres couples x, y
Enoncé
Combiens de couples (x, y) satisfont
x = y2 - 1
y = x2 - 1
Résolution
La première équation entraîne la divergence de y par rapport à x tandis que la deuxième fait diverger x par rapport à y ;
Il est vraisemblable que le système ne fonctionne qu'avec des petites valeurs particulières.
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
x = y2 - 1
8
3
0
-1
0
3
8
y' = x2 - 1
63
8
-1
0
-1
8
63
Résultat
Deux couples (x, y) répondent à la question : (0, -1) et (-1, 0).
13. Coloriage des sommets d'un cube
Enoncé
De combien de manières peut-on colorier les sommets d’un cube avec deux couleurs : rouge et jaune. (Deux coloriages sont différents si
l’on ne peut pas obtenir l’un à partir de l’autre par une rotation du cube).
Résolution
a (0 + 8) - Ou bien, tous les sommets sont rouges ou bien tous les sommets sont jaunes, soit 2 solutions a
;
b (1 + 7) - Il n'y a qu'une possibilité de coloriage d'un seul sommet par exemple jaune et tous les autres rouges, et avec l'inverse cela
donne 2 solutions b ;
c - Pour le coloriage (2 + 6) on a la solution c1 de 2 sommets contigus (sur la même arête), ou bien la solution c2 des 2 sommets aux deux bouts
de la diagonale d'une face, ou bien la solution c3 de deux sommets aux deux bouts de la diagonale du cube, soit en inversant les couleurs
6 solutons c ;
d - Pour le coloriage (3 + 5), on peut ajouter un sommet à chacune des trois configurations c ;
d1 - A partir de c1 (2 sommets d'une arête), sur une même face on a une forme gauche d1 ;
d2 - Et une forme droite d2 ;
d3 et d4 - Sur une face de côté on n'a que l'opposé en diagonale, une forme gauche et une droite. La face arrière est déjà comptée ;
A partir de c2 et c3 on ne peut construire que des formes déjà répertoriées ;
d - Avec les inversions des couleurs cela fait 8 solutions d ;
e - Pour le coloriage de (4 + 4) sommets, on peut avoir différentes formes de groupages ;
e1 - Les quatre sommets d'une couleur peuvent être sur les trois arêtes ayant un sommet commun ;
e2 - Quatre sommets d'une couleur sont sur la même face ;
e3 - les sommets d'une couleur sont en ligne en zig zag, une forme gauche ;
e4 - Et une forme droite ;
e5 - Un des sommets est déconnecté de la ligne (ou relié par une diagonale d'une face), une forme gauche ;
e6 - et une forme droite ;
Les inversions de couleurs redonnnent des formes déjà répertoriées; Cela donne 6 solutions e ;
Nombre total de solutions : 2 + 2 + 6 + 8 + 6 = 24.
Résultat
Les coloriages peuvent se faire de 24 manières différentes.
14. Le partage du vin
Enoncé
Une personne a une bonbonne de 12 litres de vin ; elle veut donner 6 litres à un ami. Pour les mesurer, elle n'a que deux autres bouteilles,
l'une contenant 7 litres, l'autre contenant 5 litres.
Comment doit-elle opérer pour avoir les 6 litres dans une bonbonne ?
Résolution
Ce problème a été traité le 30 janvier 2023 (voir 907.11). Suite des différents transferts :
