1009, Récréations Hercule Poirot, Le 4 mars 2024

01. Texas - Tour Eiffel

Enoncé

Un car de touristes en provenance du Texas s'arrête devant la tour Eiffel. Tous descendent. Un quart d'entre eux prennent l'escalier, les autres l'ascenseur. Les deux tiers de ceux qui prennent l'escalier et un tiers de ceux qui prennent l'ascenseur s'arrêtent au premier étage pour aller au restaurant. En passant au deuxième étage, un Texan sur sept s'arrête pour écrire des cartes postales. Ils ne sont plus que dix-huit au troisième étage.

Combien y avait-il de touristes texans dans l’autocar ?

Résolution

Avec t touristes ; t/4 prennent l'escalier et 3t/4 prennent l'acenseur ;
Les 2/3 de t/4 = t/6 ; le 1/3 de 3t/4 = t/4 ; t/6 + t/4 = 5t/12 s'arrêtent au restaurant ;
A l'arrivée au 2^ème étage, il y a 7t/12 touristes ; 1/7 de 7t/12 = t/12 qui écrivent des cartes postales ;
Au troisième étage il y a 7t/12 - t/12 = 6t/12 = t/2 = 18 ; t = 36

Résultat

Il y avait 36 texans dans l'autobus.

02. Copies de bac

Enoncé

Je suis prof de maths et je viens d'avoir la chance de corriger cent copies de baccalauréat. La moyenne de ceux qui ont au moins 10 est de 13, tandis que la moyenne de ceux qui ont moins de 10 est de 8. Sachez aussi que la moyenne générale est seulement de 9.

Combien cela me fait-il de copies avec la moyenne ?

À vous de jouer

Résolution

Avec x le nombre d'élèves qui ont la moyenne ; La somme des notes de ce groupe est 13x ;
(100 - x) élèves n'ont pas la moyenne ; La somme des notes de ce groupe est 8(100 - x) = 800 - 8x ;
La somme de toutes les notes est : 13x + 800 - 8x = 800 + 5x ; La moyenne générale est donc (800 + 5x)/100 = 8 + x/20 = 9 ; x/20 = 1 ; x = 20

Résultat

Il y a 20 copies avec la moyenne.

03. Maringouins voraces

Enoncé

Une dizaine d’amis sont assis autour d’un feu et chassent les maringouins inopportuns. Pierrot, un jeune mathématicien, est assis en retrait et compte les maringouins à mesure qu’ils trépassent. À la fin de la soirée, il dit à ses amis :
- Avec les maringouins que vous avez tués, on peut faire des groupes de trois et de cinq sans reste. La somme des chiffres de leur nombre est égale à neuf fois le nombre d’ailes d’un tel moustique.

Combien les amis ont-ils tué de maringouins au minimum ?

Résolution

A raison de 2 ailes par moustique, la somme des chiffres du nombre cherché est 2.9 = 18 ;
Les multiples de 5 se termienet par 0 ou 5 ; Si on prend 0 à l'unité il faut arriver à 18 avec les 2 chiffres des dizaines et des centaines ;
990 est divisible par 3 ; il conviendrait, mais on peut surement faire mieux avec les nombres qui se terminent par 5 ;
Pour les multiples de 3 il faut que c + d + 5 divisible par 3 et que c + d = 18 - 5 = 13 ; c = 3 demanderait d = 10 ;
Le plus petit nombre est avec c = 4 et d = 9 ; Ce nombre serait 495 ; Vérification : 4 + 9 + 5 = 18 (divisible par 3) ;
Les nombres suivant seraient : 585, 675, 765, 855, 945,     ,990

Résultat

Les amis ont tué au minimum 495 maringouins.

04. Saint Valentin

Enoncé

Steven a une passion : les nombres pairs. Il a même un nombre fétiche parmi ceux-ci. Il a également une autre passion, secrète celle-là : il est éperdument amoureux d'Odette. Mais il n'ose pas le lui avouer.
Odette a une passion : les nombres impairs. Elle a même un nombre fétiche parmi ceux-ci. Elle a également une autre passion inavouée : elle est follement amoureuse de Steven.
Précision : il s'agit d'entiers naturels positifs ou nuls.
Un ami commun connaît leur secret ainsi que leur nombre fétiche. Le jour de la Saint Valentin, il n'y tient plus : ces deux-là sont faits l'un pour l'autre ! Il faut qu'il leur donne une occasion de se le prouver. Il les invite donc à boire un verre et, au cours de la conversation, il glisse : « Saviez-vous que vos nombres fétiches sont consécutifs ? » Il laisse passer un moment puis annonce : « Diantre ! Je viens de trouver une idée pour démontrer la conjecture de Goldbach. (Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.) Il faut que je note ça avant d'oublier. » Et il les laisse en tête-à-tête.
Steven : « Ça ne me permet pas de connaitre ton nombre fétiche. »
Odette : « Moi non plus. »
Steven : « Alors, je connais ton nombre fétiche. »
Odette : « Moi aussi, maintenant, je connais ton nombre fétiche. »
Je vous laisse imaginer la suite…

Question : Quels sont les nombres fétiches de Steven et Odette ?

Après le cours

Résultat

Les nombres fétiches sont 2 pour Steven et 3 pour Odette.

05. Un gros cube

Enoncé

Le cube d'un nombre finit par 7 et est compris entre 8 000 et 27 000.

Quel est ce nombre ?

Résolution

Supposons qu'il s'agit du produit du cube par 7 ;
Le cube lui-même est compris entre 8000/7 = 1142,86 et 27000/7 = 350,65 ; Le nombre élevé au cube est compris entre : 11 et 15

Non, c'est le chiffre des unités du cube qui est 7 ; Le cube est compris entre 20 et 29 ; 3³ = 27 ; Le chiffre des unités du nombre est 3 ; Il s'agit donc de 23 ;
Vérification : 23³ = 12167

Résultat

Ce nombre est 23.

06. Bocaux de billes

Enoncé

Jacinthe a construit un support triangulaire en métal auquel on peut suspendre sept bocaux. Elle constitue des bocaux respectivement de 6, 7, 9, 10, 11, 13 et 14 billes. Dans chaque groupe de trois bocaux reliés par une tige, il doit y avoir le même nombre de billes.

Répartissez les billes pour que le support soit en équilibre.

Résolution

Dans la somme de toutes les additions, le contenu de chaque bocal est utilisé 2 fois sauf celui du haut qui est utilisé 3 fois ;
Le nombre total de billes est : 6 + 7 + 9 + 10 + 11 + 13 + 14 = 70 ; La somme d'une rangée étant S ; 2.70 + haut = 5S ; S = (140 + haut)/5 ;
Le bocal du haut contient un nombre de billes divisible par 5 ; C'est 10 ;
Et dans ce cas S = 150/5 = 30 ; On peut faire 30 avec 14 + 10 + 6 ; 14 + 9 + 7 ; 13 + 11 + 6 ; 13 + 10 + 7 ; 11 + 10 + 9 ;
On peut faire 6 permutations des branches verticales et 2 sur les branches horizontales ; Cela conduit à 12 représentations.

07. Chez les menteurs

Enoncé

Je visite un pays où les habitants sont soit menteur, soit franc…
Un peu plus tard, je rencontre deux individus. L’un me parle dans le dialecte local que je ne comprends pas. « Qu’est-ce qu’il a dit ? » dis-je en me tournant vers l’autre.
- Il a dit qu’il était un Menteur, m’explique-t-il.
Que sont-ils en fait, l’un et l’autre ?
Chez les Menteurs (suite)
Je fais la connaissance de trois personnages de l’île.
- Nous sommes tous des Menteurs, me dit le premier.
- Mais non, un seul d’entre nous est un Menteur, déclare le second.

Qui sont-ils réellement ?

Résolution

Avec A le premier qui parle en dialecte local et B celui qui répond à la question, en partant de l'hypothèsse que B dit vrai ;
Si A a dit vrai c'est qu'il est menteur, et si A ment c'est qu 'il a dit vrai. Donc B ment ;
Avec B ment c'est que A a dit qu'il dit vrai. Dans ce cas si A dit vrai c'est juste et si A ment, c'est juste ;
Donc B ment, mais A peut ou bien mentir ou bien dire vrai ;
Pour le 2^ème problème convenons que A est le premier qui parle, B le deuxième et C celui qui ne parle pas ;
A ne peut pas dire vrai car il se compterait comme menteur alors qu'il ne l'est pas. Donc A ment ; Donc il reste 0 ou 1 autre menteur à identifer ;
Si B dit vrai, c'est possible avec C dit vrai ; Si B ment, c'est possible (A et B mentent) mais pas C.

Résultat

Problème n° 1 : B ment et A invariable. Problème n° 2 : A ment, B invariable , C dit vrai.

08. Plus grande valeur

Enoncé

Si a, b et c sont trois entiers distincts compris entre 1 et 10, quelle est la plus grande valeur que a(b+c)-b(a+c) peut atteindre ?

Résolution

Il faut que a soit le plus grand possible ; a = 10 ; et b le plus petit possible ; b = 1 ; c intervient des 2 côtés, il faut essayer ;

Une autre manière d'aborder le problème : a(b + c) - b(a + c ) = ab + ac - ab - bc = ac - bc = c(a - b) ;
Ici on voit clairement qu'il faut c la plus grand possible ; c = 10 ; et (a - b) le plus grand possible ; a = 10 ; b = 1 ;
Cela donne a(b + c) - b(a + c) = 10(1 + 10) - 1(10 + 10) = 10.11 - 20 = 110 - 20 = 90

Résultat

La plus grande valeur de l'expression est 90.

Après le cours

Erreur, a, b et c sont distints. Il faut donc faire a = 10 ; b = 1 et c = 9 ; l'espression a(b + c) - b(a + c) = 100 - 19 = 81.

Résultat

La plus grande valeur de l'expression est 81.

09. Hercule Poirot mène l'enquête

Enoncé

Le célèbre détective Hercule Poirot et son fidèle assistant, le capitaine Hastings, enquêtent sur un crime commis dans la rue Godfrey Harold Hardy dont les maisons portent toutes un numéro qui est un nombre premier à deux chiffres (ne commençant pas par zéro).
La police est certaine que le criminel habite dans cette rue.
Poirot envoie Hastings interroger les habitants de la rue (on supposera que l'assassin ne répond pas quand on sonne chez lui).
Une heure plus tard, Hastings revient, la mine dépitée : « Je suis désolé, Poirot. Je n'ai trouvé que 4 personnes à leur domicile. My goodness ! Ce sont tous des mathématiciens ! Mais ils connaissent l'adresse de l'assassin. Hélas, tout le monde ici est terrorisé par ce sinistre personnage. Ils ont toutefois accepté de témoigner anonymement à la condition expresse de ne donner qu'un seul indice sur le numéro de la maison de ce criminel. Chaque indice pris séparément ne permettra pas d'identifier le coupable. Ils espèrent ainsi éviter les représailles si jamais nous manquons l'arrestation. »
Hercule Poirot accepte néanmoins le marché car les témoins lui assurent que la combinaison de ces indices ne laissera place à aucun doute pour un esprit supérieurement aiguisé comme le sien (Poirot aime bien être flatté).
Voici les déclarations des 4 témoins :
- la somme des chiffres de mon domicile est la même que celle des chiffres du domicile de l'assassin,
- le produit des chiffres de mon domicile est le même que celui des chiffres du domicile de l'assassin,
- la différence des chiffres de mon domicile est la même que celle des chiffres du domicile de l'assassin,
- la moyenne arithmétique du numéro de mon domicile et du numéro de l'assassin est un nombre premier.
Nota : la différence s'entend comme le plus grand chiffre moins le plus petit.
Après quelques instants de réflexion, un petit sourire se dessine sous la fine moustache savamment cirée : « Ne vous inquiétez pas, mes amis. Poirot sait maintenant où habite l'assassin. Allons de ce pas l'arrêter. »
En sortant, il glisse discrètement à Hastings qu'il connaît en plus le numéro du domicile de chacun des 4 témoins.

Question : Quel est le numéro du domicile du coupable et des 4 témoins ? (Nb : l’énoncé stipule que la solution est unique. Personnellement je trouve plusieurs solutions mais j’ai probablement mal interprété l’énoncé)

Résolution

Je trouve deux groupes de solutions (les habitants sont numérotés dans l'ordre de l'énoncé) :
Avec l'assassin au 23, on a l'habitant 1 au 41, l'habitant 2 au 61, l'habitant 3 au 43, 67 ou 89 et l'habitant 4 au 11, 59, 71 ou 83 ;
Avec l'assassin au 61, on a l'habitant 1 au 43, l'habitant 2 au 23, l'habitant 3 au 83 et l'habitant 4 au 13, 73 ou 97.

Résultat

Solution 1 : assassin en 23 et dans l'ordre de l'énoncé, habitant 1 en 41 ; 2 en 61 ; 3 en 43, 67 ou 89 ; 4 en 11, 59, 71 ou 83
Solution 2 : assassin en 61 ; habitant 1 en 43 ; 2 en 23 ; 3 en 83 et 4 en 13, 73 ou 97.

Après le cours

Il y aurait d'autres solutions dont 67 qui serait la meilleure. Je trouve que 67 ne convient pas du tout.

10. Amélie en huit

Enoncé

Amélie a écrit quatre fois le mot DEUX, puis un HUIT. Elle dit à sa sœur :
- Donne à chaque lettre une valeur différente pour que l'addition soit vraie. Voici trois indices :
• Il n’y a ni 0, ni 2, ni 4.
• X est plus grand que T.
• I est plus grand que U.

Quelle est la valeur de HUIT ?

Résolution

Avec ; 4X = 10a + T ; On peut faire ; X = 9 ; T = 6 ; a = 3 ;
Avec a + 4U = 10b + I il y a deux possibilités : U = 1 ou 3 ; I = 7 ou 5 ; b = 0 ou 1 (respectivement) ;
Avec b + 4E = 10c + U ou E = (10c + U - b)/4 ; Seule la deuxième solution convient et elle donne ; E = 8 ; c = 3 ;
Il reste les chiffres 1 et 7 ; Avec c + 4D = H ; D = 1 ; H = 7 ; Voir l'addition ci-dessus

11. Addition scolaire

Enoncé

Trouvez le chiffre correspondant à chaque lettre, une même lettre représente toujours le même chiffre et 2 lettres différentes représentant 2 chiffres différents. Les premiers chiffres de ELEVE et LECON sont non nuls.

Résolution

Résultat

12. Trouver k

Enoncé

Prenons un nombre entier k et supposons que l'équation x¹⁰ + kx² + 4 = 0 possède une solution entière.

Quelles sont alors les valeurs possibles pour k ?

Résolution

Ce problème a été traité le 11/12/2023, voir 1005.13
On peut essayer de calculer k en fonction de x : k = -(x¹⁰ + 4)/x²
On ne peut pas faire x = 0 ; Si x = 1 alors k = -5 ; Si x = 2 alors k = -257 ; x = 3 donnerait k = -6561,444 ; on part dans les choux !

Résultat

Il y aurait deux goupes de solutions : Gr 1 - avec k = -5 ; x = -1 ou x = 1 - Gr 2 - avec k = -257 ; x = -2 ou x = 2

13. Le temps de Kalkulmal

Enoncé

Dans un caveau funéraire se trouvent 19 pierres précieuses magnifiques (6 diamants, 6 rubis, 6 émeraudes et un saphir), pesant 3, 5, 7, 9, … et ainsi de suite jusqu'à 39 carats (elles ont toutes un poids différent).
Panama Joe ne peut récupérer les pierres que s'il les prend dans l'ordre croissant de leur poids. Heureusement, grâce à un manuscrit ancien, il connait un certain nombre de choses sur ces pierres.
Notons D1, D2, D3, D4, D5, D6 le poids des diamants, R1, R2, R3, R4, R5, R6 le poids des rubis, E1, E2, E3, E4, E5, E6 le poids des émeraudes et S le poids du saphir.
On sait que :

Par ailleurs, l'un des rubis pèse 9 carats, D1 est le plus léger des diamants et D5 est le plus lourd des diamants.
Attention : si on ne les prend pas dans l'ordre croissant, le temple s'écroule (la routine, quoi !).

Question : Combien pèse chaque pierre ?

Résolution

Comme dans l'énoncé, on appellera S le poids du saphir ; puis on regroupera dans ΣD la somme des poids des 6 diamants ; dans ΣR celle des rubis et dans ΣE celle des émeraudes ;
S + ΣD + ΣR + ΣE = 3 + 5 + ... + 39 = 20² - 1 = 399 ;
ΣD + ΣR = 6.34 = 204 ; 2ΣD + ΣE = 6.51 = 306 ;
3 étant le plus petit poids (34 - 3 = 31), on ne doit pas utiliser les poids > 31 pour assembler les D + R ;
Par ailleurs, le poids de 17 carat devrait être associé à un poids de 17 carats pour faire 34 ; 17 est à exclure de la liste pour D + R ;
Les bijous de 33, 35, 37 et 39 carats font partie de la liste des E (émeraudes). On en prendra deux autres dans la liste des D + R qui est constituée de 7 couples (1 excendentaire) ;
Est-ce qu'on peut prendre 17 pour les E ? Réponse non car on casserait le dernier couple des D + R ; Donc on sait maintenant que S = 17 ;
Donc : ΣD + ΣR + ΣE = 399 - 17 = 382 ; Donc ΣE = 382 - 204 = 178 ; ΣD = (306 - 178)/2 = 64 ; ΣR = 382 - 178 - 64 = 140 ;
L'étape suivante consiste à affecter les poids à chacun des trois groupes de manière à obtenir les sommes attendues, tout en respectant les sommes D + R = 34 ; Il n'y a qu'un assemblage possible ;

La dernière étape consiste à affecter les indices de manières à respecter le deuxième groupe de sommes D + D + E = 51.
Cela marche assez bien en partant de D4 + D5 + E1. Il n'y a qu'un assemblage possible.