1008, Récréations Classico, le 5 février 2024

01. Qui est le plus âgé ?

Enoncé

« Voici un autre problème de logique fort simple, dit Shéhérazade. Alors qu'un jour, on demandait à un frère et une sœur lequel des deux était le plus âgé, le frère répondit « Je suis le plus âgé » et la sœur affirma « Je suis la plus jeune ». Il s'avéra qu'au moins l'un des deux mentait.

Qui était le plus âgé ?

Résolution

Il est évident que si un seul ment cela conduit à une incohérence. Il n'est pas interdit que les deux mentent et dans ce cas c'est la sœur qui est la plus âgée.
Ce problème a été traité le 18 novembre 2019. Voir 603.04

Résultat

La sœur est la plus âgée.

02. Le sabre

Enoncé

Voici un nouveau problème de logique : un jour, un sabre de grande valeur fut volé. Une fois encore les trois suspects étaient Ibn, Hasib et Abou. Ibn accusa Hasib qui accusa Abou. On n'était pas vraiment sûr que le coupable se trouvait parmi eux, mais il apparut par la suite qu'aucun innocent n'avait menti et que le sabre avait été volé par une personne seule.

Est-il possible de savoir qui a volé ce sabre ? »

Résolution

Abou ne dit rien.
Si Ibn est le menteur, Hasib est le voleur. Mais Hasib dit que c'est Abou, donc il est lui même menteur. Il y a deux menteurs.
Si Hasib est le menteur, Abou n'est pas le voleur. Ibn qui est innocent confirme que c'est Hasib le voleur.
Ce problème a été traité le 26 mars 2020. Voir 610.05.

Résultat

Hasib est le voleur.

03. Le classico

Enoncé

C'est le grand jour pour les amateurs de football : le match annuel entre l'île des maths et l'île de la physique.
Mais le journaliste qui devait couvrir l'événement est arrivé très en retard et n'a rien vu du match. Les 11 joueurs physiliens sont déjà repartis. Il ne reste plus que l'équipe des mathiliens dans les vestiaires.
Il décide donc de les interviewer (dans l'ordre croissant de leur dossard) pour connaitre le déroulement du match. Hélas pour lui, les joueurs sont d'humeur facétieuse et lorsqu'il demande quel est le score final, chacun lui donne une réponse très partielle.
De plus, pour compliquer les choses, il y a un menteur (et un seul) dans l'équipe.

Voici leurs réponses :
n° 1 : chaque équipe a marqué au moins un but
n° 2 : On a gagné ! On a gagné !
n° 3 : le nombre de buts marqués par chaque équipe divise (sauf s'il est nul) la somme des numéros des joueurs de cette équipe
n° 4 : le nombre total de buts marqués au cours du match est un nombre premier
n° 5 : tous les joueurs après moi disent la vérité
n° 6 : aucune équipe n'a marqué plus de 9 buts
n° 7 : la différence de buts entre les deux équipes est inférieure ou égale à 3
n° 8 : le numéro du menteur est un nombre premier
n° 9 : le nombre formé en écrivant le nombre de buts mathiliens et le nombre de buts physiliens (dans cet ordre) est un nombre premier
n° 10 : il n'y a pas eu match nul
n° 11 : le produit du nombre de buts mathiliens par le nombre de buts physiliens est un carré ou un cube

Question : Donnez le score final du match et le nom de l'équipe victorieuse.

Après le cours

Tout est faux ! Il y a une remarque préalable : si le 5 dit faux, il y a deux menteurs, donc 5 dit vrai. Le menteur est de 1 à 4.
C'est un nombre premier, 2 ou 3. Produit b1b2 des buts, carré ou cube ; beaucoup s'annulent (b2 - b1 > 3 ; pas de score nul ...) Il reste le carré 4 (4 x 1).
14 n'est pas premier, 41 l'est. Les mathiliens auraient 4 points et les physiliens 1.
Avec cette hypothèse, c'est le n° 3 qui est le menteur et tous les autres disent vrai.

Résultat

L'equipe victorieuse est celle des mathiliens et le score est de 4 à 1.

04. A quelle distance se trouve le sanctuaire ?

Enoncé

« Voici, maintenant, un problème simple d'arithmétique. Ali et son ami Ahmed habitent chacun à la même distance d'un sanctuaire. Ils se donnent rendez-vous à ce marabout à une heure donnée et ils partent de chez eux au même moment. Ali marche à la vitesse de cinq kilomètres à l'heure et Ahmed à quatre kilomètres à l'heure. Ali arrive au sanctuaire avec sept minutes d'avance par rapport à l'heure du rendez-vous et Ahmed avec huit minutes de retard.

Quelle distance les deux hommes ont-ils parcourue ? »

Résolution

Les vitesses en mètres par mn sont : 5000/60 = 250/3 ; et ; 4000/60 = 200/3
La distance d parcourue est : 250(t - 7)/3 = 200(t + 8)/3 ; 3d = 250t - 1750 = 200t + 1600 ; 50t = 3350 ; t = 67 mn ; 3d = 15000 ; d = 5000

Résultat

La distance parcourue par chacun est 5 km.

05. Lapin de Fibonacci

Enoncé

Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? Est-ce une croissance exponentielle ?

Résolution

Résultat

En douze mois on obtient 377 couples. Ce n'est pas une croissance exponentielle. C'est une progression géométrique qui tend vers la raison φ

Après le cours

Une petite ambiguïté au niveau du départ fait en considérant que le couple initial est producteur. En cours le couple initial ne produit qu'après 2 mois,
d'où le décalage final à 233 au lieu de 377. Il y a plus à dire sur la production exponentielle.
La fonction exponentielle est y = ae^x ; Le terme de rang n est y_n = ae^x ; Le rapport entre les deux termes de rangs n et n + 1 est : y_n+1/y_n = ae^x+1/ae^x = ae.e^x/ae^x = e ;
Pour la suite de Fibonacci un terme n est fonction des deux précédents : y_n = y_n-2 + y_n-1
Je ne sais pas expliquer la suite de la démonstration : C_n = k₁x₁ⁿ + k₂x₂ⁿ ; le 2^ème terme tend vers 0 et ;
La suite de Fibonacci n'est pas exponentielle, mais elle tend vers une fonction exponentielle de raison φ

06. La couleur de la mule

Enoncé

Poursuivons avec Hassan. Un jour, rencontrant trois garçons, il leur parla de sa mule. "De quelle couleur est-elle ?" demanda le premier. "Jouons aux devinettes, répondit Hassan. Je peux vous dire qu'elle est ou bien brune ou bien noire ou bien grise. Essayez de deviner sa couleur. Quand chacun de vous aura essayé, je vous donnerai mon avis sur vos suppositions et nous verrons qui peut en déduire sa couleur." "Je parie qu'elle n'est pas noire", dit le premier. "Je parie qu'elle est brune ou grise", dit le second. "Je parie qu'elle est brune", dit le troisième. "C'est bon! dit Hassan. Il se trouve qu'au moins l'un de vous a trouvé la réponse et qu'au moins l'un de vous s'est trompé."

Quelle est la couleur de la mule d'Hassan? »

Résolution

Ce problème a été traité le 19 novembre 2018. Voir 503.02

Résultat

La mule d'Hassan est grise.

07. La somme des chiffres fait 1000

Enoncé

Le produit 8 x 888...8, où le deuxième facteur a k chiffres, est un entier dont la somme des chiffes vaut 1000.

Combien vaut k ?

Résolution

Résultat

La valeur de k est 991.

08. Cinq chiffres sur un cercle

Enoncé

Placer les entiers de 1 à 5 autour d'un cercle de telle façon qu'en sommant un certain nombre d'entiers placés consécutivement, on obtienne tous les entiers de 1 à 15.

Résolution

Il n'y a pas de souci pour les entiers 1 à 5 (un seul chiffre suffit), ni pour les entiers 10 à 15 (obtenus par le retrait d'un seul chiffre ;
Le problème est d'arranger les chiffres pour pouvoir obtenir 6 à 9

Les chiffres choisis sont placés en ligne (on boucle les extrémités). Solution 1 : 12354 ; Solution 2 : 31524

Résultat

Deux solutions trouvées : 12354 ; 31524

Après le cours

Une remarque très intéressante de Christophe : parmi les chiffres de 1 à 5 dont le total fait 15, quand on a choisi 6 groupés, le complémentaire est également groupé.
De même, quand on a groupé 7, le complémentaire 8 est également groupé. Il suffit donc d'arranger les 6 et 7, les 8 et 9 suivent.
Ainsi, sachant qu'on peut faire : 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 1 + 2 + 3 et qu'on peut faire 7 = 2 + 5 = 3 + 4 = 1 + 2 + 4 ; Les solutions trouvées sont :
12345 ; 12354 ; 12435 ; 12453 ; 12543 ; 13254 ; 13425 ; 13524 ; 14325

Après le corrigé

J'en ai oublié un (14235) et le corrigé a noté faux le (12354) qui semble bon. 10 solutions : 12345 ; 12354 ; 12435 ; 12453 ; 12543 ; 13254 ; 13425 ; 13524 ; 14235 ; 14325

09. Moyenne de 5 ou de 8

Enoncé

On dispose d'une liste de a nombres dont la moyenne vaut 5 et une liste de b autres nombres dont la moyenne vaut 8 (a et b étant strictement positifs). Si l'on sait que la moyenne de tous les nombres est entière,

quelles valeurs peut avoir le quotient a/b ?

Résolution

Donnons à b la valeur ka ; a + b = (k + 1)a ; 5a + 8b = 5a + 8ka = (5 + 8k)a ; On veut ; 5 + 8k ; multiple de ; k + 1 ;

De même, si a = k'b ; a + b = (k' + 1)b ; 5a + 8b = (5k' + 8)b ; On retrouve les mêmes coefficients ; k' = 2 ; 5k' + 8 = 18 ; k' + 1 = 3 ; Avec k' = 2 ; a/b = 1/2

Résultat

Le quotient a/b peut prendre les valeurs 2 et 1/2.

Après le cours

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. De 7/8 à 7/8

Enoncé

Étant donné une fraction, on envisage deux opérations : augmenter le numérateur de 8, ou augmenter le dénominateur de 7. On effectue ces opérations successivement dans l’ordre que l’on souhaite. Partant de la fraction 7/8

Quel est le plus petit nombre d’opérations à faire avant d’obtenir une fraction égale à 7/8 ?

Résolution

On va donc ajouter k fois le nombre 8 au numérateur qui va devenir ; 7 + 8 k ; et k' fois 7 au dénominateur qui devient ; 8 + 7k' ;
Il faut que la nouvelle fraction reste 7/8 ; (7 + 8k)/(8 + 7k') = 7/8 ; 8(7 + 8k) = 7(8 + 7k') ; 64k = 49k' ; k = 49 ; k' = 64 ; 49 + 64 = 113

Résultat

On doit effectuer 113 opérations (49 au numérateur et 64 au dénominateur).

12. Nombreux mais pas infini

Enoncé

a, b et c sont trois nombres premiers distincts tels que : ab(c – 5) + a(c – 5) – b (c – 5) = 1291 + c
Q1 Prouver que les triplets (a,b,c) qui satisfont la relation (R) sont en nombre fini. (indice : mettez l’équation sous forme d’un produit de trois termes comme (c-5) égal un entier)
Q2 Déterminer respectivement les plus grandes valeurs possibles de a, b et c.
Q3 Déterminer le nombre de triplets (a,b,c) qui satisfont la relation (R).

Résolution

Corrigé

Solution proposée par François Tisserand

Factorisation de la relation R

1) Pour rappel : (a, b, c) premiers et a <> b <> c
2) R s’écrit : abc – 5ab + ac – bc – 5a + 5b – c = 1291, qui se factorise en
3) ab*(c - 5) + c*(a - b) - 5*(a - b) - c = 1291 soit ab*(c - 5) + (c - 5)*(a - b)- c = 1291
4) En ajoutant +5 dans chaque membre on obtient : ab*(c - 5) + c*(a - b )- 5*(a - b )- c + 5 = 1291 + 5
5) Qui devient (ab + a - b - 1)*(c - 5) = 1296 et enfin
6) (a - 1)*(b + 1)*(c - 5) = 1296
7) La décomposition de 1296 en facteurs premiers donne : 1296 = 2⁴*3⁴
8) Il y a (4 + 1)*(4 + 1) = 25 diviseurs de 1296 ; Donc d’après (6) : (a - 1) ; (b + 1) ; et (c - 5) sont des diviseurs de 1296.

Finitude des triplets solutions de R

D’après (8), le nombre de triplets qui satisfont R sont « majorés » par 25*24 = 600 (sans la restriction des contraintes de (1)) et donc en nombre fini. Ce qui répond à la question Q1.

Détermination des plus grandes valeurs respectives de : a, b, c

Les 25 diviseurs de 1296 sont :

La valeur maximale de ‘a’ est atteinte avec les valeurs minimales de ‘b’ et ‘c’.
9) Pour c : (c - 5) est un diviseur ‘minimal’ de 1296.
10) Si (c - 5) = d1 = 1, alors c = 6 non premier (cf (1)) ne convient pas
11) Si (c - 5) = d2 = 2, alors c = 7 plus petite valeur de ‘c’ atteignable
12) si (c - 5) = d3 = 3, alors c = 8 non premier (cf (1)) ne convient pas
13) si (c - 5) = d4 = 4, alors c = 9 non premier (cf (1)) ne convient pas
14) Si (c - 5) = d5 = 6, alors c = 11 deuxième plus petite valeur de ‘c’ atteignable
15) Pour b : (b + 1) est un diviseurs ‘minimal’ de 1296
16) Si (b + 1) = d1 = 1 alors b = 0 donc ne convient pas
17) Si (b + 1) = d2 = 2 alors b = 1 donc ne convient pas, car ‘1’ n’est pas premier
18) Si (b + 1) = d3 =3 alors b = 2 plus petite valeur de ‘b’ atteignable
19) Si (b + 1) = d4 = 4 alors b = 3 deuxième plus petite valeur de ‘b’ atteignable
20) Donc la plus grande valeur de (a - 1) est le diviseur d21 = 216 soit a = 217 qui n’est pas premier
21) Et la deuxième plus grande valeur de (a - 1) est atteinte avec c = 7 et b = 3 et conduit au diviseur d20 = 162 soit a = 163 qui est premier
La plus grande valeur de ‘a’ est a=163
La valeur maximale de ‘b’ est atteinte avec les valeurs minimales de ‘a’ et ‘c’
22) La valeur minimale de ‘c’ est c = 7 selon (11)
23) Pour a : (a - 1) est un diviseurs ‘minimal’ de 1296
24) Si (a - 1) = d1 = 1 alors a = 2 (premier) plus petite valeur de ‘a’ atteignable
25) Donc la plus grande valeur de (b + 1) est le diviseur d24 = 648 soit b =6 47 qui est premier
La plus grande valeur de ‘b’ est b = 647
La valeur maximale de ‘c’ est atteinte avec les valeurs minimales de ‘a’ et ‘b’
26) La plus petite valeur atteignable de ‘a’ est a = 2 d’après (19)
27) La plus petite valeur de ‘b’ atteignable est b = 2 d’après (15), comme d’après (1) a<>b il faut rechercher la « deuxième » plus petite valeur de a et b et sélectionner celles qui minimisent le produit P = (a - 1)*(b + 1).
28) Si (a - 1) = d2 = 2 alors a = 3 (premier) deuxième plus petite valeur de ‘a’ atteignable
29) Si (b + 1) = d4 = 4 alors b = 3 (premier) deuxième plus petite valeur de ‘b’ atteignable
30) Le produit P = (a - 1)*(b + 1) est minimal (avec a<,>b) avec a = 2 et b = 3 soit P = (a - 1)*(b + 1) = 4
31) Donc la plus grande valeur de (c - 5) est le diviseur d22 = 324 soit c = 329 qui n’est pas premier
32) La deuxième plus petite valeur du produit P = (a - 1)*(b + 1) est minimale (avec a<>b) avec a = 3 et b = 2 soit P = (a - 1)*(b + 1) = 6
33) Donc la deuxième plus grande valeur de (c-5 ) est le diviseur d21 = 216 soit c = 221 qui n’est pas premier
34) La troisième plus petite valeur de ‘a’ atteignable est (a - 1)= d3 = 4 ce qui donne a = 4 non premier
35) La quatrième plus petite valeur de ‘a’ est (a - 1) = d4 = 4 soit a = 5 (premier)
36) La troisième plus petite valeur de ‘b’ atteignable est (b + 1) = d5 = 6 alors b = 5 (premier) troisième plus petite valeur de ‘b’ atteignable.
37) La quatrième plus petite valeur de ‘b’ atteignable est (b + 1) = d6 = 6 alors b =7 (premier) quatrième plus petite valeur de ‘b’ atteignable.
38)
39) Le produit P = (a - 1)*(b + 1) a pour valeurs P = 6 avec (a, b) =( 2, 5) ; P = 12 avec (a, b) = (3, 5) ; P = 12 avec (a, b) = (5, 2) ; P = 16 avec (a, b) = (5, 3) ; P = 8 avec (a, b) = (2, 7) ; P = 16 avec (a, b) = (3, 7). Notons que P = 6 avec (a, b) =( 2, 5) ne conduit pas à une valeur de ‘c’ premier [cf (32) & (33)]
40) Donc la troisième plus grande valeur de (c - 5) est atteinte avec P = 8 et le diviseur d20 = 162 = (c - 5) soit c =1 67 qui est premier
La valeur maximale de ‘c’ est c = 167
Réponse à la question Q2 : les valeurs maximales respectives de {a, b, c} sont {163, 647, 167}

Triplets (a, b, c) qui satisfont R

A partir des 25 diviseurs de 1296, nous identifions les valeurs de ‘a’, ‘b’ et ‘c’ qui sont premiers.
Le tableau ci-dessous liste ces valeurs. La valeur maximale est indiquée en gras.

Une recherche systématique menée à partir de la première valeur de ‘a’, balayant les valeurs de ‘b’ et identifiant si à partir de 1296/P, le résultat correspond à une valeur de ‘c’, est menée.
Elle conduit à identifier 31 triplets (a, b, c) qui satisfont la relation R.
Le tableau ci-dessous liste les 31 triplets. (En gras les valeurs maximales de {a,b,c})

Réponse à la question Q3 : il y a 31 triplets (a, b, c) qui satisfont R.

13. Les archers

Enoncé

Aujourd'hui a lieu le grand tournoi des archers de Nottingham.
Trois concurrents sont en lice pour la finale : le redoutable suisse Guillaume Tell, la toute jeune écossaise Mérida et un mystérieux vagabond (dont on dit qu'il pourrait s'agir du célèbre hors-la-loi Robin des bois).
Chaque archer a le droit de tirer 3 flèches sur la cible ci-dessous constituée de 9 zones. La zone centrale (à 50 points) a un rayon de 10 cm. Les zones suivantes sont délimitées par des cercles de rayons respectivement égaux à 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 et 90 cm.
Elles rapportent respectivement 40, 30, 20, 10, 5, 4, 3 et 2 points.
Le public retient son souffle pendant que Guillaume Tell bande son arc. Une immense clameur s'élève quand sa flèche se plante dans la zone centrale.
Puis, c'est le tour de Mérida qui décoche sa première flèche dans la zone à 40 points.
Arrive enfin le mystérieux archer. Mais j'en ai peut-être déjà trop dit...
Après que chacun a décoché ses 3 flèches, les juges vont examiner la cible.
Visiblement, nos héros étaient un peu fatigués car il n'y a pas deux flèches dans la même zone.
De plus, les 3 zones touchées par chaque archer sont non adjacentes deux à deux.
Enfin, en additionnant les surfaces des zones touchées par chaque concurrent, on obtient le même résultat pour les trois.

Question : Quel est le nombre de points obtenu par chaque archer ?

Résolution

surface du cercle compris entre les cercles de rayons r₁ et r₂ = π(r₂² - r₁²)
La surface totale est π90² = 8100π ; La surface à couvrir par chaque candidat est le tiers = 2700π

Guillaume Tell : 58 points ; Mérida : 62 points ; Robine des Bois : 44 points.