1007, Récréations Séquoia, le 22 janvier 2024

01. Les participants au pique-nique

Enoncé

Un homme fait une fête avec des amis, ils partent faire un pique-nique à l'extérieur de la ville en char.
Au départ, chaque char transporte le même nombre de passagers. 10 des chars deviennent inutilisables à mi-chemin, si bien que chacun des chars restant doivent prendre une personne de plus à son bord.
Au retour, 15 autres chars tombent en panne, et il faut à nouveau répartir équitablement les passagers entre les autres véhicules, si bien qu'à l'arrivée, chaque char contient 3 personnes de plus qu'au départ.

Combien y avait-il de chars au départ pour ce pique-nique et combien y avait-il de participants ?

Résolution

Résultat

Au départ il y avait 100 chars et 900 participants

02. Tout plein de mensonges

Enoncé

Si je vous dis que je m'appelle Claude, que je suis un homme et que je n'ai pas de chien, je fais un mensonge et un seul. Si je vous dis que je ne m'appelle pas Claude et que je n'ai pas de chien, je fais encore un mensonge et un seul. Et si je vous dis que je ne m'appelle pas Claude, que je suis un homme et que j'ai un chien, combien de mensonges suis-je en train de faire ?

Résolution

J'appelle A l'affirmation "Je m'appelle Claude" ; B l'affirmation "Je suis un homme" et C l'affirmation "Je n'ai pas de chien" ;
La série D sera l'ensemble des trois affirmations initiales, la série E le groupe des 2 affirmations suivantes et la série F, les 3 affirmations finales ;
Si je ne m'appele pas Claude, A est fausse et dans ce cas en D il n'y a pas de mensonge ;
Si j'ai un chien, c'est à dire C fausse, dans ce cas A et C de E sont fausses toutes les deux ;
Donc en D, c'est B qui est faux ; Donc en F ; A, B et C sont toutes fausses.

Résultat

Au 3^ème groupe d'affirmations, en F, il y a 3 mensonges.

03. Ramasseurs de balles

Enoncé

Lors d'un entraînement de tennis, Martina a ramassé deux fois plus de balles que Roger et cinq balles de plus de Raphaël. S'ils ont ramassé 70 balles à eux trois, combien de balles Martina a-t-elle ramassées ?

Résolution

Roger a ramassé x balles ; Martina en a rammssé 2x ; Raphaël ramasse 2x - 5 balles ;
x + 2x + 2x - 5 = 70 ; 5x = 75 ; x = 15

Résultat

Martina a ramassé 30 balles.

04. Noël sur l'île des maths

Enoncé

Le Père Noël a décidé de récompenser les cinq membres de l'ile des maths ayant le plus de messages au compteur : jacqlouis, Nicolas_75, pgeod, Camélia et Louisa 59.
Chacun de ces cinq membres est le chef d'un quartier de l'ile des maths :
- le quartier de la géométrie ;
- le quartier des statistiques ;
- le quartier de la trigonométrie ;
- le quartier des probabilités ;
- le quartier de l'algèbre.
Le Père Noël a distribué deux cadeaux à chaque membre. Voici les dix cadeaux répartis en deux lots de cinq, chaque membre ayant reçu un cadeau de chaque lot :
Lot 1 : une équerre ; une calculatrice ; un compas ; une gomme ; une règle.
Lot 2 : un crayon de papier ; un rapporteur ; un stylo-plume ; un cahier ; un boulier.
Pour que vous retrouviez les cadeaux reçus par les cinq membres, ainsi que le nom du quartier qu'il dirige, voici quelques informations :
1) jacqlouis, qui a reçu le stylo-plume, n'a pas eu la gomme ni le compas, et il ne dirige pas le quartier des probabilités, ni celui de l'algèbre.
2) Nicolas_75 qui a reçu la calculatrice mais pas le rapporteur, ne dirige pas le quartier de l'algèbre ni celui de la trigonométrie.
3) Le membre qui a reçu le boulier et qui dirige la quartier de la trigonométrie n'est pas Camélia. De plus, il n'a pas reçu la gomme ni la règle.
4) Le membre qui dirige le quartier des statistiques et qui a reçu le compas n'est ni Camélia ni Louisa59, et n'a ni reçu le crayon de papier ni le rapporteur.

Question : Retrouver pour chaque membre le nom du quartier qu'il dirige ainsi que les deux cadeaux reçus.

Résolution

Après vérification que le membre de l'affirmation 3 n'est pas ni jacqlouis, ni Nicolas_75, ... , il est Louisa 59
Après vérification que le membre de l'affirmation 4 n'est pas ni jacqlouis, ni Nicolas_75, ... , il est pgeod

05. Divisible par 3

Enoncé

Combien de n, compris entre 1 et 100 inclus sont tels que 5n+7 soit divisible par 3.

Résolution

On trouve effectivement le cycle tous les 30 (= 5 x 3) de 5n + 7 ou bien tous les 3 de n ;
de 1 à 100 il y a 99 intervalles, c'est à dire 99/3 = 33. On doit ajouter 1 pour les deux extrémités occupées : 33 + 1 = 34

Résultat

34 valeurs de n répondent à la question.

06. Séquoia à la découpe

Enoncé

On dispose de poutres parallélépipédiques rectangles en séquoia dont les dimensions exprimées en décimètres sont des entiers a, b et c compris dans l’intervalle semi-ouvert ]1,32].(1 exclus, 32 inclus)
Q₁ Sachant qu’une découpe peut se faire avec plusieurs morceaux placés de manière adéquate sur le plateau de la scieuse, déterminer le nombre minimal N de découpes qui permet d’obtenir a.b.c cubes d’un décimètre de côté à partir d’une poutre de volume V1 = 0.595 m3.
Q₂ Déterminer le volume maximal V2 d’une poutre parallélépipédique rectangle avec laquelle le même nombre N de découpes permet d’obtenir des cubes d’un décimètre de côté.

Résolution

0,595 m³ = 595 dm³ ; 595 = 5.7.17 ; Le 1 étant interdit il n'y a pas d'autre possibilité ;
Les nombres de coups de scie dans les sens de la longueur, la largeur, la hauteur sont : 16 + 6 + 4 = 26 ;
Nos 26 coups de scie répartis suivant 16 + 6 + 4 correspondent à un volume V1 de : 17.7.5 = 595 ;
Si on répartit les 26 coups de scie suivant 11 + 9 + 6 on a un volome V2 de : 12.10.7 = 840 ;
Si on répartit les coups suivant 10 + 9 + 7 le volume V2 est : 11.10.8 = 880 ;
Suivant 10 + 8 + 8 le volume V2 est : 11.9.9 = 891 ;
Avec 9 + 9 + 8 ; V2 = 10.10.9 = 900 ;

Corrigé

Il faut prendre en compte le fait que pour la découpe suivant une dimension, les deux moitiés peuvent être regroupées l'une sur l'autre.
Donc dans une des dimensions de valeur d, le nombre de découpes nd mini est la valeur supérieure de log(d)/log(2) ; Pour d = 17 ; nd = 5 ; pour d = 7 ; nd = 3 ; pour d = 5 ; nd = 3 ; le nombre de découpes total est : 5 + 3 + 3 = 11 ;
Avec le même nombre de découpes on peut traiter au maximum une poutre de dimension : 2⁵, 2³, 2³ dont le volume est : 32.8.8 = 2048 dm³.

Résultat

Il faut 26 11 coups de scie avec V1 = 0,595 ; V2 maximum est 0,900 2,048 avec 26 11 coups de scie.

07. Martin, Martine à vélo

Enoncé

Martin et Martine se rendent à bicyclette chez leur grand-mère. Ils partent ensemble. Martin parcourt la première moitié du trajet à 18 kilomètres/heure ; puis, fatigué, il termine à 12 kilomètres/heure tandis que Martine roule à 12 kilomètres/heure pendant la première moitié de son temps de trajet et à 18 kilomètres/heure pendant la deuxième moitié. Qui arrive alors le premier chez sa grand-mère, Martin ou Martine ? À vous de jouer.

Résolution

Après le cour

Il y a une façon plus séduisante d'obtenir le résultat, en passant pas le calcul des vitesses moyennes.
Cette fois c'est plus facile pour Martine. Pendant un temps t à 12 km/h elle parcourt 12t km. Pendant le même temps t à 18 km/h elle fait 18t km.
Pendant le temps 2t elle parcourt 12t + 18t = 30t ; la vitesse moyenne est 30t/2t = 15 km/h
Martin parcourt une distance 2d pendant le temps 5d/36 ; Sa vitesse moyenne est : 2d/(5d/36) = 72/5 = 14,4 km/h. Il est moins rapide que Martine.

Résultat

C'est Martine qui arrive la première.

08. Monts de rêves

Enoncé

Mon rêve, ton rêve, son rêve valent bien nos rêves. Rêve en moins, Marthe a écrit l’addition suivante. Elle dit à son amie :
- Chaque lettre a une valeur différente. Par exemple, M = 3 et S = 1.

Quel est le nombre qui correspond à MONTS ?

Après le cour

Grossière erreur : M = 0 n'est pas admis. Voir la solution ci-dessus à droite

Résultat

Il y a deux une solutions à voir à droite. A noter qu'on peut intervertir M et T. MONTS = 34721 ou 24731.

09. Concaténé divisé par carré

Enoncé

On cherche des nombres m tel que mm/m² soit entier a, ou mm est le nombre obtenu en écrivant deux fois m en base 10 . (m= 25 donne mm=2525).

Trouver les deux premières valeurs de m.
Montrer qu’il y a une infinité de tels nombres (ne sera pas traité en séance)

Résolution

D'une manière globale, on écrit m un nombre ayant p chiffres ; la concaténation globale est fm ;
Le facteur f = 11 si p vaut 1 ; f = 101 avec p = 2 ; donc toujours globalement f = 10^p + 1 ;
On demande à trouver l'égalité : fm = km² ; ou bien : f = km ;
Le problème est donc de chercher à factoriser f de telle manière qu'un des facteurs, celui qui représentera m, contiennent p chiffres ;
Si p = 1 ; f = 10¹ + 1 = 11 ; le produit est 11.1 ; m = 1 ; k = 11 ; Vérification : 11.1 = 11 = 11.1² ;
Si p = 2 ; f = 10² + 1 = 101 ; 101 est un nombre premier ; il n'y a pas de solution avec 2 chiffres ;
Si p = 3 ; f = 10³ + 1 = 1001 ; 1001 = 7.11.13 ; On peut obtenir 3 chiffres avec 11.13 = 143 ; m = 143 et k = 7 ;
Vérification : 7.143² = 7.20449 = 143143 ;
Si p = 4 ; f = 10⁴ + 1 = 10001 ; 10001 = 73.137 ; On n'a pas 4 chiffres ;
Si p = 5 ; f = 100001 = 11.9091 ; On n'a pas de facteur avec 5 chiffres ;
Si p = 6 ; f = 1000001 = 101.9901 ; On n'a pas de facteur avec 6 chiffres ;
Si p = 7 ; f = 10000001 = 11.909091 ; Il n'y a pas de facteur de 7 chiffres ;
Si p = 8 ; f = 100000001 = 17.5882353 ; Pas de facteur à 8 chiffres

Après le cour

Il y a une solution pour p = 9 ; f = 1000000001 = 7.11.13.19.52579 = 7.142857143

Résultat

Les premières solutions sont m = 1 ; m = 143 ; En effet : 11.1² = 11 ; et ; 7.143² = 143143. Pas trouvé d'autres solutions. Il y a une solution pour m = 142857143.

Solution Diophante

Si m a un chiffre ; mm = 11m = am² ; D’où am = 11 ; Donc m = 1 et a = 11. Première solution ;
Si m a deux chiffres am = 101 qui n’a pas de diviseurs à deux chiffres ;
Si m a trois chiffres ; am = 1001 = 7x143 ; m = 143, a = 7 ; Deuxième solution ;
Regardons le cas général d’un nombre à k chiffres ; m est donc compris entre 10^k-1 inclus et 10^k exclus ;
am = 10^k + 1 ; a est compris entre 1 exclus et 10 ; On note aussi que a et m sont impairs ;
Les valeurs possibles de a sont 3, 5, 7 et 9 ; En regardant les règles de divisibilités par 3, par 5 et par 9 on voit que seul a = 7 est possible.
On a vu que 1001 était divisible par 7. Le prochain nombre divisible par neuf de la famille 10^k + 1 est obtenu pour k = 9 ; m vaut alors 142 857 143 ; Troisième solution ;
Le reste de la division de 10⁶ par 7 est de 1 ; Donc tous les k = 3 + 6i donnent une solution ; Il y en a une infinité.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
a	Combien y a-t-il de triangles formés de trois parties dans cette figure ?		I y a 4 triangles de 3 parties.
b	Clément note que le 27 avril est un mardi. Quel était le jour de la semaine du 3 mars de la même année ?	Du 3/3 au 27/4 il y a 55 jours, 7 semaines et 6 jours	Le 3 mars était un mercredi.
c	Bertrand choisit deux nombres consécutifs inférieurs à 10. Il réalise qu’ils ont 10 lettres au total. Quels sont ces deux nombres ?		Quatre et cinq ont 10 lettres.
d	Distribuez 2, 3, 4, 5 et 6 dans les ꙱ pour que l’égalité soit vraie : (꙱ + ꙱ - ꙱)/꙱ = ꙱		(5 + 6 - 3)/2 = 4

11. C'est quoi ton fixe ?

Enoncé

Emilie n'en revient pas que François-Marie ait trouvé son numéro de portable. Décidément, ce garçon est plus intéressant qu'il n'y parait. Du coup, elle aimerait bien connaitre son numéro à lui.
« Hélas, ma belle, je n'ai pas de mobile, lui dit-il. Mais je peux t'aider à trouver mon numéro de fixe. »
Il est formé de tous les chiffres de 0 à 9 (et commence évidemment par 0, mais pas par 06, 07 ou 08).
Il s'écrit donc 0a bc de fg hi, les chiffres étant groupés en 5 paires.
Chaque paire est strictement supérieure à la somme des paires situées à sa gauche.
De plus, le nombre formé par l'ensemble des chiffres est le plus grand possible (on oublie le 0 du début).

Question : Quel est le numéro de téléphone de François-Marie ?

Résultat

Le n° de téléphone de François-Marie est : 09 16 34 52 87

12. Les maisons des cochons

Enoncé

Les trois petits cochons viennent de finir la construction de leurs maisons.
Comme le montre la figure ci-contre, les trois maisons sont côte-à-côte, et les façades sont des carrés.
La plus petite maison fait 4 m de côté, et la plus grande 9 m.
De plus, chose étonnante, les trois sommets supérieurs gauches sont alignés !

Question : Quelle est la longueur du côté de la maison du milieu ?

Résolution

Les triangles ABC et CDE sont semblables ; AB = 4 ; CD = x ; BC = x - 4 ; DE = 9 - x ;
CD/AB = DE/BC = x/4 = (9 - x)/(x - 4) ; x(x - 4) = 4(9 - x) = x² - 4x = 36 - 4x ; x² = 36 ; x = 6

Résultat

Le côté de la maison du milieu mesure 6 mètres.

13. Double concaténation

Enoncé

Déterminer les valeurs de n < 100 telles que le rapport de l’entier obtenu par une double concaténation de n avec lui-même au carré de n est un entier b, à savoir : nnn=bn².
Prouver qu’il existe une infinité d’entiers positifs n qui ont cette propriété. (n supérieur à 100)

Résolution

On peut traiter ce problème de la même manière que l'exercice n° 9.
On considère un nombre n ayant p chiffres. Le facteur f qui représente la concaténation est f = 10^2p + 10^p + 1 ;
L'équation est la même que pour l'exercice 9 : fn = kn² ; ou ; f = kn ;
Si p = 1 ; f = 10² + 10¹ + 1 = 111 = 1.111 = 3.37 ; Donc 2 solutions ; n = 1 avec k = 111 ; n = 3 avec k = 37 ;
Vérification : (1) 111.1² = 111 ; (2) 37.3² = 333 ;
Si p = 2 ; f = 10⁴ + 10² + 1 = 10101 = 3.7.13.37 ; On a 5 solutions ; les couples (k, n) sont (777, 13) ; (481, 21) ; (273, 37) ; (259, 39) ; (111, 91) ;
En effet : 777.13² = 131313 ; 481.21² = 212121 ; 273.37² = 373737 ; 259.39² = 393939 ; 111.91² = 919191 ;
Si p = 3 ; f = 1001001 = 3.333667 ; On ne peut pas construire un facteur de 3 chiffres ;
Si p = 4 ; f = 100010001 = 3.7.13.37.9901 ; Il y a 3 solutions dont les couples (k, n) sont : (69307, 1443) ; (29703, 3367) ; (10101, 9901) ;
En effet : 69307.1443² ) = 144314431443 ; 29703.3367² = 336733673367 ; 10101.9901² = 990199019901 ;
Si p = 5 ; f = 10000100001 = 3.31.37.2906161 ; Il n'y a pas de facteur à 5 chiffres ;
Si p = 6 ; f = 1000001000001 = 3.19.52579.333667 ; Il n'y a pas de facteurs à 6 chiffres ; (si, voir le corrigé)
Si p = 7 ; f = 100000010000001 = 3.37.43.1933.10838689 ; Il y a deux solutions avec les couples (k, n) : (32516067, 3075403) ; (1083869, 9226209) ;
En effet : 32516067.3075403² =307540330754033075403 ; 10838689.9226209² = 922620992262099226209 ;

Résultat

Jusqu'à n < 100 ; les solutions sont n = 1 ; 3 ; 13 ; 21 ; 37 ; 39 ; 91

Corrigé

Reprise de l'exercice en complétant avec le corrigé.
On part d'un nombre n comportant p chiffres. On applique le facteur f ; f = 10^2p + 10^p + 1 ; Le produit fn est le résultat de la double concaténation de n ;
Il faut que ; fn/n² soit un entier b ; On remarque que fn = bn² ; ou ; f = bn
Le problème est donc de décomposer f en ses facteurs premiers et de trouver un facteur de p chiffres qui représentera n ;
Les analyses ont déjà été faites pour p de 1 à 7. Reprenons donc à partir de la généralisation ;
Il existe une propriété particulière des nombres n qui ont un nombre p pair de chiffres. Soit donc la variable intermédiaire p' = p/2 ;
Ces nombres n peuvent se décomposer en deux facteurs f₁ et f₂ dont les valeurs sont :
f₁ = 10^2p' - 10^p' + 1 ; et ; f₂ = 10^2p' + 10^p' + 1 ; En effet ; f₁f₂ = 10^4p' + (10 - 10)^3p' + (10 - 10 + 10)^2p' + (10 - 10)^p' + 1 = 10^4p' + 10^2p' + 1 = 10^2p + 10^p + 1 = f ;
Nous avons nos deux facteurs ; f₁ = 10^p - 10^p/2 + 1 et f₂ = 10^p + 10^p/2 + 1 ; Le nombre de chiffres de f₂ est p + 1 ; celui de f₁ est p ;
Nous avons notre nombre n avec ses p chiffres ; Et comme il y a une infinité de nombres avec un nombre pair de chiffres, il y a une infinité de solutions ;
Notons que les n (solutions) s’écrivent avec p/2 chiffres ‘9’ suivi de p/2 - 1 chiffres ‘0’ et terminé par le chiffre ‘1’.
A remarquer encore que cette propriété donne accès à certaines solutions (qui sont en nombre infini) mais pas toutes.
En effet notre étude préliminaire a montré des solutions avec n ayant un nombre impair de chiffres ;
Avec p = 1 ; on a ; n = 1 ; p = 3
Avec p = 2 ; on a ; n = 13 ; n = 21 ; n = 37 ; n = 39 ; n = 91
Avec p = 4 ; on a ; n = 1443 ; n = 3367 ; n = 9901 ; Vérif : 100010001 * 9901 = 990199019901
Avec p = 6 ; on a ; n = 999001 ; Vérif : 1000001000001 * 999001 = 999001999001999001
Avec p = 8 ; on a ; n = 99990001