Pierre a trois fois plus de sœurs que de frères. Sa sœur Pauline a deux fois plus de sœurs que de frères.
Combien d'hommes et de femmes y a-t-il dans cette fratrie ?
Avec : F ; le nombre total de Femmes, et H ; le nombre total d'hommes ; On a :
F = 3(H - 1) et F - 1 = 2H ; F = 3H - 3 ; 3H - 3 - 1 = 2H ; H = 4 ; F = 9
Dans cette fratrie il y a 4 hommes et 9 femmes.
| 1 |
| 3 | 5 |
| 7 | 9 | 11 |
| 13 | 15 | 17 | 19 |
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
Georgette dispose les nombres impairs successifs en un triangle comme ci-contre :
Quelle est la somme des nombres de la 10ème ligne ?
On constate qu'on écrit tous les nombres impairs les uns à la suite des autres, et que le nombre de nombres dans chaque ligne est
égal au n° de la ligne.
Rang du dernier nombre impair de la ligne n : rn = Σi pour i de 1 à n = n(n + 1)/2 ; r9 = 45 ;
r10 = 55;
Valeur du dernier nombre impair de la ligne de rang n : Vn = 2rn - 1 ; V9 = 2.45 - 1 = 89 ;
V10 = 2.55 - 1 = 109 ;
La 10ème ligne commence avec 91 (89 + 2) et finit avec 109. Elle commence aussi avec le rang 46 (45 + 1) et finit avec
le rang 55 ;
On peut faire la somme des rangs de 46 à 55 en faisant Σi (de 1 à 55) - Σi (de 1 à 45) = 55.28 - 23.45 = 1540 - 1035 = 505 ;
Pour revenir aux valeurs on sait qu'on doit faire 2 x le rang n et retrancher 1 chaque fois donc 10 en tout ; 505 x 2 - 10 = 1000.
Vérification : 91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 + 109 = 5.200 = 1000.
Il y a une manière encore plus efficace de traiter le problème. Il s'agit d'examiner l'évolution de la somme des impairs de
chacune des lignes :
• Ligne 1 : 1 = 13
• Ligne 2 : 3 + 5 = 8 = 23
• Ligne 3 : 7 + 9 + 11 = 27 = 33 ; Il semble que pour la ligne n, la somme est n3 ; Avec n = 10 ;
103 = 1000.
On peut confirmer ce résultat en utilisant la démarche précédente en deux étapes :
1, faire la somme des rangs des impairs pour la ligne n ; 2, transformer cette somme des rangs en somme des valeurs.
Dernier rang de la ligne n : r2 = n(n + 1)/2 ; dernier rang de la ligne n - 1 : r1 = (n - 1)n/2
La somme des rangs de la ligne n vaut r2(r2 + 1)/2 - r1(r1 + 1)/2 qui aboutit à : (n3 + n)/2
Avec la valeur réelle d'un impair de rang n qui est 2n - 1 on peut retrouver la valeur V de la somme des n impairs de la ligne n à partir de cette
somme S des rangs,
en faisant V = 2S - n ; Donc pour la ligne n dont S est (n3 + n)/2 ; V = n3.
La somme des nombres de la 10ème ligne est 1000.
Deux copains sont allés aux fraises. L’un a recueilli le double de casseaux de fraises que l’autre. Les deux nombres sont formés par les chiffres 1, 2, 3 et 6 pris une seule fois. Chacun prépare un maximum de gâteaux des Anges en utilisant quatre de ses casseaux de fraises par gâteau. À la fin, cinq casseaux sont restés sur les tablettes.
Combien les deux copains ont-ils préparé de gâteaux en tout ?
Parmi les chiffres 1, 2, 3, 6 ne prendre qu'un chiffre sera insuffisant pour trouver le double avec les 3 chiffres restants ; On
doit faire deux paquets de deux.
Trois possibilités ont été trouvées (Après la division par 4 on ramène le reste 5 à 1 ; 1 = 5 - 4) :
| Possibilité n° | Nombre du copain 1 | Nombre du copain 2 | Total | Reste de la division par 4 |
| 1 | 13 | 26 | 39 | 3 |
| 2 | 16 | 32 | 48 | 0 |
| 3 | 31 | 62 | 93 | 1 |
| Copain 1 | 31 | 31 = 7.4 + 3 | ||
| Copain 2 | 62 | 62 = 15.4 + 2 |
Nombre de casseaux utilisés : 93 - 5 = 88 (vérifié par copain : 28 + 60 ; il en reste 3 + 2 = 5) ; Nombre de gâteaux : 88/4 = 22 (ou 7 + 15 = 22).
Nombre de gâteaux préparés = 22.
Une femme dépensière a dépensé tout ce qu’elle avait en poche dans cinq magasins.
Dans chacun elle a dépensé dix euros de plus que la moitié de ce qu’elle avait en entrant.
Combien avait-elle en poche au départ ?
Mouvements dans le magasin n° n ; Elle entre avec la somme Sn-1 restante du magasin n - 1 ;
Elle dépense : 10 + Sn-1/2 ; Il reste Sn = Sn-1 - 10 - Sn-1/2 = Sn-1/2 - 10 ;
Evolution des Sn ; S0 est la valeur initiale avant de commencer les achats.
| n, magasin n° | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Somme restant à la sortie du magasin | S0 | S0/2 - 10 | S0/4 - 15 | S0/8 - 35/2 | S0/16 - 75/4 | S0/32 - 155/8 |
Il faut : S0/32 - 155/8 = 0 ; S0 = 155 x 32/8 = 620.
Calcul de la somme à l'entrée dans la magasin n (c'est à dire Sn-1) en fonction de la valeur de sortie Sn :
Sn-1 = 20 + 2Sn
| Magasin n° | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| Restant à la sortie | S5 = 0 | S4 = 20 | S3 = 20 + 40 = 60 | S2 = 20 + 120 = 140 | S1 = 20 + 280 = 300 | S0 = 20 + 600 = 620 |
Au départ elle avait 620 €uros en poche.
Il y en a 5 qui n'sont pas des chiens. Au plus 4 ne sont pas des chats. Au moins 3 sont des oies. Au plus 2 sont des bœufs. Au moins 1 est un lapin.
Combien ça fait tout ça ?
| i = Chiens | a = Chats | o = Oies | b = Bœufs | l = Lapins | Global | |
| a | o | b | l | a + o + b + l = 5 | ||
| i | o | b | l | i + o + b + l ≤ 4 | ||
| o ≥ 3 | ||||||
| b ≤ 2 | ||||||
| l ≥ 1 | ||||||
| Mini | a = 1 | o = 3 | b = 0 | l = 1 | a = 5 - o - b - l = 1 | |
| i = 0 | i ≤ 4 - o - b - l = 4 - 4 = 0 |
0 + 1 + 3 + 0 + 1 = 5 animaux.
Un couple monte un escalator. L’homme monte 20 marches et met 60 secondes pour arriver en haut. La femme, elle, monte 16 marches et met 72 secondes.
Combien l’escalator comporte-t-il de marches ?
En montant 4 marches de plus, l’homme gagne 12 secondes par rapport à la femme.
Par conséquent, il faut 3 secondes par marche.
Le nombre marche est donc : 60s / 3s + 20 marches = 40 marches.
40 marches.
Vous disposez de quatre boules de même forme et de même couleur. Trois de ces boules ont le même poids, mais la quatrième a un poids différent
(plus légère ou plus lourde, personne ne sait).
A l’aide d’une balance type Roberval à deux plateaux, déterminez en deux pesées quelle est la boule de poids différent.
Peut-on savoir si la boule différente est plus lourde ou plus légère ?
Même problème avec 9 boules dont on sait que l’une est plus lourde et toujours deux pesées.
Et avec 12 boules et trois pesées ?
Ce problème a été traité le 18 janvier 2021, voir .710.03.
Trois méthodes ont été trouvées lorsqu'on sait si l'intruse est plus légère ou plus lourde.
Si on ne sait pas si l'intruse est plus lourde ou plus lègère on peut comparer d'abord a et b, puis a et c,
- Si a = b et a = c ; alors d est l'intruse,
- Si a = b et a <> c ; alors c est l'intruse,
- Si a <> b et a = c ; alors b est l'intruse,
- Si a <> b et a <> c ; alors a est l'intruse.
Avec 9 boules (a à i) dont on sait que l'intruse est plus lourde, on peut comparer les deux tas (a + b + c) et (d + e + f),
Si (a + b + c) = (d + e + f) alors c'est (g + h + i) qui est le plus lourd, sinon on prend le tas le plus lourd,
La deuxième pesée est faite sur le tas le plus lourd avec comparaison de 2 des trois et la conclusion est identique.
La pesée 1 de 12 boules est faite sur (a + b + c + d) et (e + f + g + h). Il reste (i, j, k, l). On détermine le plus lourd,
La pessée 2 consiste à comparer 2 du tas lourd avec les 2 autres et avec la pesée 3 on compare directement les deux du tas le plus lourd.
A remarquer qu'avec 3 pesées on peut comparer 27 billes ; 1 : 9 billes sur chaque plateau ; 2 : 3 billes ; pesée 3 : 1 bille.
4 billes, dont une intruse : on peut trouver l'intruse en 2 pesées, mais on ne peut pas dire si elle est plus lourde ou plus
lègère
9 billes dont une lourde, on fait pesée 1 avec 3 billes sur chaque plateau et pesée 2 avec 1 bille par plateau,
12 billes par plateau dont une lourde, on fait pesée 1 avec 4 billes et 4 billes, pesée 2 avec 2 billes et 2 billes et pesée 3 avec 1 bille et
1 bille,
En trois pesées on peut comparer 27 billes : 9 + 9 puis 3 + 3 puis 1 + 1.
Douze enfants font la ronde en chantant. Prenez- en 3 au hasard, à la suite; additionnez leurs 3 âges; vous obtiendrez toujours 17. Caroline a sur sa droite Florence (4 ans de moins qu'elle). En face de Caroline, il y a Paul qui a sur sa gauche Béatrice (3 ans de moins que lui).
Vous en aurez déduit, cher lecteur, les âges respectifs de Caroline, Paul, Florence et Béatrice.
La succession des sommes de trois contigus fait que le motif P, B, F se répète.
On a : C = P (dans le motif) ; F = C - 4 ; donc : F = P - 4 ;B = P - 3 et P + B + F = 17 ; d'où : P + P - 3 + P - 4 = 17 ; P = C = 8 ; B = 5 ;
F = 4
Caroline : 8 ans ; Paul : 8 ans ; Florence : 4 ans ; Béatrice : 5 ans.
| Retenue | b | a | ||
| A | R | M | ||
| + | M | T | E | |
| + | R | F | G | |
| = | F | F | R | R |
Pierre a écrit l’addition suivante dans laquelle chaque lettre correspond à un chiffre différent. De plus, il sait que A + M = T et que F + T = E.
À quel nombre correspond FERMAT ?
| On a : | ||||
| (1) M + E + G = 10a + R | a + R + T + F = 10b + R ; (2) a + T + F = 10b | (3) b + A + M + R = 11F | (4) A + M = T | (5) F + T = E |
| (6) = (4) dans (3) : b + T + R = 11F | (7) = (5) dans (2) : E = 10b - a | (7) E de 0 à 9 donc 10b - a de 0 à 9 | b = 2 interdit | |
| (8) a = 0 ; b = 0 ; E = 0 ; Oui | a = 1 ; b = 0 ; E = -1 ; Non | a = 2 ; b = 0 ; E = -2 ; Non | ||
| a = 0 ; b = 1 ; E = 10 ; Non | (9) a = 1 ; b = 1 ; E = 9 ; Oui | (10) a = 2 ; b = 1 ; E = 8 ; Oui | ||
| (6) avec F = 2 | T + R = 22 - b | Si b = 0 ; Non | Si b = 1 ; T + R = 21 ; Non | |
| (6) avec F = 1 | T + R = 11 - b | Si b = 0 ; T + R = 11 ; Oui | Si b = 1 ; T + R = 10 ; Oui | F = 1 |
| Dans le tableau ci-dessous | R = 11 - T - b | M + G = 10a + R - E | A = 11 - M - R - b |
| 5 | 2 | 3 | ||
| + | 3 | 8 | 9 | |
| + | 2 | 1 | 0 | |
| = | 1 | 1 | 2 | 2 |
| a | b | E | F | T | R | M | G | A |
| 0 | 0 | 0 | 1 | -1 | ||||
| 1 | 1 | 9 | 1 | 8 | 2 | 0 3 | 3 0 | 8 Non 5 |
| 2 | 1 | 8 | 1 | 7 | 3 | 6 9 | 9 6 | 1 Non -2 Non |
| 1 | 1 | 9 | 1 | 8 | 2 | 3 | 0 | 5 |
FERMAT = 192358
| N° | Enoncé | Calcul | Résultat | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a |  | 4 sommets impairs | Non, on ne peut pas. | |||||||
| b |
|
8 - (2.6/3) = 4 | ||||||||
| c | Partagez 39 petites autos entre deux enfants de façon à ce que le premier en ait deux fois plus que le second. | 39/3 = 13 | 13 + 26 = 39 | |||||||
| d | Paule a placé dans un bocal un certain nombre de billes qui valent 5 points et d’autres 10 points. Son frère prend 10 billes pour un total de 65 points. Combien son frère a-t-il pris de billes de chaque valeur ? | 5x + 10(10 - x) = 65 ; x = 7 | 7.5 + 3.10 = 65 (7 de 5 et 3 de 10). |
La division du premier par le deuxième donne le troisième chiffre.
La multiplication des deux premiers donne la somme des trois derniers.
La soustraction du dernier avec l'avant dernier donne la somme du deuxième et troisième.
Tous les chiffres sont différents sauf deux chiffres qui sont identiques mais ne se suivent pas.
Quel est le code ?
| a | b | c | ab | b + c | d + e = ab - c |
d, e Il faut e - d = b + c | |||
| 2 | 1 | 2 | 2 Non | ||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 Non | ||||||
| 4 | 1 | 4 | 4 Non | ||||||
| ... | |||||||||
| 6 | 2 | 3 | 12 | 5 | 9 | 1, 8 | 2, 7 | 3, 6 | 4, 5 |
| 6 | 3 | 2 | 18 | 5 | 16 | 7, 9 | |||
| 8 | 2 | 4 | 16 | 6 | 12 | 5, 7 | 4, 8 | 3, 9 | |
| 8 | 4 | 2 | 32 | 6 | 30 Non | ||||
Dans le code 62327 on a la répétition des 2 non conjoints ; dans le code 82439 il n'y a pas de répétition.
Le code est : 62327.
Lors d’une soirée chez mes grands-parents chaque convive à sérré la main d’exactement 7 autres personnes, et a fait la bise à toutes les autres.
Montrer que le nombre de convives était pair.
Problème proposé par Marie-Claire.
Voici un tableau possible des échanges de poignées de mains (m) et de bises (b) entre 11 convives (de a à k). Les 8 convives de a à h se serrent la main (chacun en serre 7) :
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | Il vaut mieux regarder cet exemple avec n = 12 (Les bises sont remplacées par des points.) | l | k | j | i | h | g | f | e | d | c | b | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a | m | m | m | m | m | m | m | b | b | b | a | . | . | . | . | m | m | m | m | m | m | m | ||
| b | m | m | m | m | m | m | m | b | b | b | b | . | . | . | m | m | m | m | m | m | . | |||
| c | m | m | m | m | m | m | m | b | b | b | c | . | . | . | m | m | m | m | m | m | ||||
| d | m | m | m | m | m | m | m | b | b | b | d | . | m | m | m | m | . | . | . | |||||
| e | m | m | m | m | m | m | m | b | b | b | e | m | m | m | m | . | . | . | ||||||
| f | m | m | m | m | m | m | m | b | b | b | f | m | m | m | . | . | m | |||||||
| g | m | m | m | m | m | m | m | b | b | b | g | m | m | m | . | . | ||||||||
| h | m | m | m | m | m | m | m | b | b | b | h | m | m | m | . | |||||||||
| i | b | b | b | b | b | b | b | b | b | b | i | m | m | m | ||||||||||
| j | b | b | b | b | b | b | b | b | b | b | j | m | . | |||||||||||
| k | b | b | b | b | b | b | b | b | b | b | k | m |
Les 8 convives a à h ont bien serré les mains des 7 autres et fait la bise aux 3 convives i à k.
Chacun des trois convives i à k a bien à chacun des 8 convives a à h et à chacun des 2 autres convives i à k (excepté lui-même).
Je ne vois pas où est le problème du nombre impair (11 ici).
Une poignée de main implique deux personnes. Je peux compter le nombre de poignées de main données : 7N ou N est le nombre de convives.
Pour trouver le nombre de poignés de main il faut diviser par deux. Donc 7N/2.
Ce nombre est entier, donc N est pair.
Le nombre de convives est pair.
Prenons un nombre entier k et supposons que l'équation x10 + kx2 + 4 = 0 possède une solution entière.
Quelles sont alors les valeurs possibles pour k ?
On peut essayer de calculer k en fonction de x : k = -(x10 + 4)/x2
On ne peut pas faire x = 0 ; Si x = 1 alors k = -5 ; Si x = 2 alors k = -257 ; x = 3 donnerait k = -6561,444 ; on part dans les choux !
Il y aurait deux goupes de solutions : Gr 1 - avec k = -5 ; x = -1 ou x = 1 - Gr 2 - avec k = -257 ; x = -2 ou x = 2
Reconstituer la multiplication sachant que :
– Un chiffre est toujours représenté par la même lettre,
– Une lettre ne peut représenter qu’un chiffre,
– Il n’y a pas d’autre chiffre 3 que celui qui est écrit,
– Le chiffre 0 est représenté par la lettre O.
RIEN × 3 = CLOUS
| Retenues | h | g | f | ||
| 3 fois | R | I | E | N | |
| = | C | L | O | U | X |
Les relations :
• 3N = 10f + X
• f + 3E = 10g + U
• g + 3I = 10h + O = 10h
• h + 3R = 10C + L
Dans l'ordre de l'utilisation :
• O = 0
• 3I = 10h - g
• 3R - L = 10C - h
• 3E - U = 10g - f
• X = 3N - 10f
| O | I | C | R | L | E | U | N | X |
| 0 | 6 | 1 | 5 | 7 | 9 | 8 | 4 | 2 |
| 3 fois | 5 | 6 | 9 | 4 | |
| = | 1 | 7 | 0 | 8 | 2 |
| f | g | h | O | 3I | I | C | 3R - L | R | L | 3E - U | E | U | N | X |
| 0 | 0 | 0 | 0 Non | |||||||||||
| 0 | 1 | 0 | 10 Non | |||||||||||
| 0 | 2 | 0 | 20 Non | |||||||||||
| 1 | 0 | 0 | -1 Non | |||||||||||
| 1 | 1 | 0 | 9 | 3 | 1 | 9 | 5 | 6 | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 9 | 3 | 2 | 19 | 8 | 5 | ||||||
| 1 | 2 | 0 | 19 Non | |||||||||||
| 2 | 0 | 0 | -2 Non | |||||||||||
| 2 | 1 | 0 | 8 Non | |||||||||||
| 2 | 2 | 0 | 18 | 6 | 1 | 8 | 5 | 7 | ||||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 3 | 1 | 5 | 6 | 10 | 4 | 2 | 7 | 21 Non | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 3 | 1 | 5 | 6 | 9 | Non | |||||
| 2 | 1 | 1 | 0 | 3 | 1 | 5 | 6 | 8 | Non | |||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 3 | 2 | 8 | 5 | 10 | Non | |||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 3 | 2 | 8 | 5 | 9 | Non | |||||
| 2 | 1 | 1 | 0 | 3 | 2 | 8 | 5 | 8 | Non | |||||
| 0 | 2 | 2 | 0 | 6 | 1 | 5 | 7 | 20 | Non | |||||
| 1 | 2 | 2 | 0 | 6 | 1 | 5 | 7 | 19 | 9 | 8 | 4 | 2 | ||
| 2 | 2 | 2 | 0 | 6 | 1 | 5 | 7 | 18 | Non |
Voir ci-dessus, à gauche.