1004, Récréations Crypta, le 27 novembre 2023

01. Planète des Puissants

Enoncé

Sur la planète des Puissants, chaque grand nombre représente des situations de bonheur. Le grand Puissantissimo veut savoir combien il y a de pigeons dans son bocage. Son grand valet lui fait le rapport suivant :
- Mézir Puissantissimo, par la grâce de vos puits de sagesse, le nombre de pigeons gris est formé de neuf chiffres différents. Le premier bloc de trois chiffres représente le nombre de pigeons jaunes ; le deuxième bloc les pigeons bleus et le troisième bloc les pigeons verts. De plus,

1. Il y a deux fois plus de pigeons jaunes que de verts.
2. Il y a le plus grand nombre possible de pigeons bleus.
3. Il y a 209 pigeons verts de moins que de pigeons jaunes.

- Maintenant, réplique le grand Mézir, va sur la planète Terre et dit aux habitants combien il y a de pigeons gris dans mon bocage.

Quel est ce nombre ?

Résolution

Résultat

Le nombre de pigeons gris est : 418 765 209.

02. Roland Garros

Enoncé

Pour les rencontres de Roland-Garros, la fédération de tennis a retenu cette année 128 joueurs de simple masculin, 128 joueurs de double masculin, 128 joueuses de simple féminin, 128 joueuses de double féminin et 128 joueurs de double mixte.

Combien faudra-t-il d'arbitres en tout si chacun d'eux ne peut arbitrer que 5 matchs au maximum ?

À vous de jouer

Résolution

Il s'agit donc de compter les matchs.
On peut remonter en partant de la finale qui se joue en un match à deux joueurs pour le cas du simple.
En demi finale, il y a 2 matchs entre 2 x 2 = 4 joueurs ...
128 joueurs ; 64 matchs ; 2⁷ = 128

Pour les matchs en double on a à la finale 4 joueurs ; en 1/2 finale il y a 8 joueurs et 2 matchs, ... en 32^ème de finale il y a 128 joueurs et 32 matchs ; total : 64 - 1 = 63 matchs.
Pour les mixtes supposons que les règles soient les mêmes.
Nombre total de matchs pour toutes les catégories : 127.2 + 63.3 = 443 matchs ; 443/5 = 88,9 ; Arrondi supérieur : 89

Résultat

Il faudra 89 arbitres.

03. Roman de lapins

Enoncé

1. Marcel (M) et Annie (A) ont huit lapins ensemble.
2. Oscarine (O) et Nadia (N) ont huit lapins ensemble.
3. Annie, Nadia et Roxanne (R) ont 10 lapins ensemble.
4. A + R + M = 11
5. A + R + O = 16

Écrivez ROMAN en un nombre de cinq chiffres.

Résolution

Résultat

ROMAN = 37 261

04. Car de race

Enoncé

CE CAR de RACE se promène dans les rues de la ville, même si la route est DURE. Cela se traduit de la façon de droite :
Chaque lettre a une valeur différente parmi les chiffres de 0 à 9. Par exemple C pourrait être égal à 5 mais ce n’est pas le cas. Pourtant, l’on sait que R = 7.

A quel nombre correspond DURE ?

Résolution

Aux unités : 2E + 7 = E + 10k1 ; E = 10k1 - 7 ; k1 = 0 non ; k1 = 2 non ; k1 = 1 ; E = 10 - 7 = 3 ;
Aux milliers : R <> D ; donc retenue 1 (k3 = 1) ; donc D = R + 1 = 8 ; Chiffres déjà pris : 3, 7, 8 ;
Aux dizaines : 1 +2C + A = 10k2 + 7 ; 2C = 10k2 + 6 - A ; A pair ; Et aux centaines : k2 + C + A = 10 + U ; U = k2 + C + A - 10 ;
Avec k2 = 0 ; 2C = 6 - A ; U = C + A - 10 ;
Si A = 0 alors C = 3 (non déjà pris) ; Si A = 2 alors C = 2 (non) ; Si A = 4 alors C = 1 et U = -5 (non) ; Si A = 6 alors C = 0 et U = -4 (non) ; Si A = 8 alors C négatif
Avec k2 = 1 ; 2C = 16 - A ; U = C + A - 9 ;
Si A = 0 alors C = 8 (non déjà pris) ; Si A = 2 alors C = 7 (non déjà pris) ; Si A = 4 alors C = 6 et U = 1 (oui) ; Si A = 6 alors C = 5 et U = 2 (oui) ; Si A = 8 alors C = 4 et U = 3 (déjà pris).
Finalement il y a deux solutions. Voir à droite.
Le corrigé n'indique qu'une solution. Est-ce que j'ai fait une erreur ?

Résultat

DURE = 8173 ou 8273

05. Cellules de Simon

Enoncé

Dans les cellules du pentagone, Simon place les nombres de 1 à 12 chacun une seule fois, sauf le 8 et le 10 qui ne sont pas admis. La somme des nombres sur chaque côté du pentagone doit être égale à 19. La somme des nombres dans les cellules de même couleur pris deux à deux est 13, sauf pour les deux blanches.

Disposez les nombres dans les cellules du pentagone.

Résolution

Il y a pas mal d'approches possibles. La plus efficace trouvée est de chercher les 3 possibilités des blanches confrontées aux 5 posibilités des couples de couleurs de 2 qui donnent 13.
Tout d'abord la somme des 10 nombres de 1 à 12 excepté 8 et 10 est : 13 x 6 - 8 - 10 = 60. Les 4 couples de couleurs prennent 13 x 4 = 52
Il reste 60 - 52 = 8 pour les blanches. Les possibilités sont : 7 + 1 = 6 + 2 = 5 + 3 = 8
Pour les couples de couleurs il faut faire 13 = 12 + 1 = 11 + 2 = 9 + 4 = 8 + 5 = 7 + 6
Les blanches 7 + 1 retireraient 2 combinaisons de couleurs, il n'en reste que 3 ; Idem pour les 6 + 2 ; Avec 5 + 3 on n'en retire qu'un, il en reste 4. C'est la solution, les blanches sont 5 et 3
Donc la grise médiane est 19 - 5 - 3 = 11 ; La seconde grise est 13 - 11 = 2 ; la jaune du côté (jaune, gris, blanc) est : 19 - 5 - 2 = 12 ;
la 2^ème jaune est : 13 - 12 = 1 ; la bleue qui suit est : 19 - 12 - 1 = 6 ; le 2^ème bleue est : 13 - 6 = 7 ;
La rouge du côté (blanc, bleu, rouge) est 19 - 3 - 7 = 9 ; La 2^ème rouge est 13 - 9 = 4
Remarque : si on intervertit les valeurs des deux blanches, à la place de 12 il faudrait mettre 19 - 3 - 2 = 14, ce qui n'est pas possible.

Après le cours

A remarquer que dès le départ on peut trouver assez facilement le bleu de gauche. Etant associé sur un côté à deux colorés (jaunes ou rouges), ce bleu vaut 19 - 13 = 6.

Résultat

Voir le résultat ci-dessus à droite.

06. Un H élargi

Enoncé

Dans les cellules, disposez chaque nombre de 1 à 8 pour que la somme soit 15 dans chacune des trois rangées de trois ou de quatre cellules reliées par une droite.

Résolution

La somme des 8 nombres de 1 à 8 est : 4 x 9 = 36 ; La somme des 3 branches est : 15 x 3 = 45 ; la somme des nombres au croisement est : 45 - 36 = 9 ;
On peut faire 9 avec 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 9 ;
Pour la branche horizontale on peut faire 15 avec : 1 + 2 + 4 + 8 = 1 + 2 + 5 + 7 = 1 + 3 + 4 + 7 = 1 + 3 + 5 + 6 = 2 + 3 + 4 + 6 = 15 ;
Pour les branches verticales : 8 + 6 + 1 = 8 + 5 + 2 = 8 + 4 + 3 = 7 + 6 + 2 = 7 + 5 + 3 = 6 + 5 + 4 = 15 ;
On ne retrouve pas à la fois 4 et 5 pour la branche horizontale ; Les choix (1, 8) ou (2, 7) ne permettent pas de retrouver les nombres souhaités pour les branches verticales ;
On peut faire 15 avec 3 + 1 + 5 + 6 puis avec 3 on a 8 + 3 + 4 et avec 6 on a 2 + 6 + 7
En plus des deux symétries horizontales et verticales il y a des permutations possibles entre 1 et 5, entre 4 et 8 et entre 2 et 7
2⁵ = 32. Il devrait y avoir 32 présentations différentes de la même solution.

Après le cours

Résultat

Voir la disposition ci-dessus à droite.

07. Le plus court chemin (terminale ES)

Enoncé

Le graphe ci-contre indique les différentes liaisons entre plusieurs lieux. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les différents lieux.

En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à L.

Résolution

Je mets en surbrillance les plus courts au niveau de chaque carré. Je trouve AFGDHL = 8 + 3 + 3 + 2 + 3 = 19

Après le cours

Le principe de l'algorithme utilisé par les applications du type "Mappy" est le suivant : En partant du départ on cherche tous les chemins possibles jusqu'au point suivant où on note la distance parcourue. A la deuxième étape on ajoute un deuxième tronçon sans revenir en arrière. Si on obtient un total plus faible qu'une valeur précédente on supprime la valeur précédente sinon on saute. On poursuit jusqu'à arriver au but final.

Résultat

Faux Le plus court trouvé est : AFGDHL. Le plus court est : AEIJFGDHL.

08. Combien d'Amis

Enoncé

Marc répartit 1260 cartes entre ses amis. On sait qu'il a moins de 100 amis, et chacun reçoit le même nombre de cartes.

Quel est le plus grand nombre d'amis que Marc peut avoir ?

Résolution

1260 = 2².3².5.7 ; La plus grande combinaison de facteurs dont le produit est inférieur à 100 est : 2.3².5 = 90

Résultat

Son nombre d'amis est 90.

09. Capital de vie

Enoncé

Chaque lettre représente un chiffre différent. Indices : C = 7, pas de 2 ni de 4 ni de 9

Déchiffrez cette addition.

Résolution

Avec k la retenue des unités portée sur les dizaines. T représente aussi la retenue des dizaines portée sur les centaines.
En partant des dizaines : k + 7 + P = 10T + A ; A = P + k + 7 - 10T ; T = 1 ou 2 ; Si T = 2 alors A = P + k - 13 ; Même avec k = 1, P - 12 n'est pas réalisable.
Donc T = 1 ; A = P + k - 3 ; En faisant ensuite les unités A + I = 10k + L, parmi les chiffres restants il n'y a qu'une possibilité :
k = 0 ; P = 6 ; A = 3 ; I = 5 ; L = 8

Résultat

Voir l'addition ci-dessus à droite.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. Une histoire de chats

Enoncé

Betty, Élise, Julie et Marianne sont les heureuses propriétaires d’un gros matou.
Quel est son nom, sa ville et son âge ?
Indices :
1. Zoulou n’habite pas à Tarbes, ni à Limoges.
2. Terminator n’appartient pas à Betty, n’a pas 2 ans, ni 5 ans et n’habite pas à Tarbes.
3. Le chat d'Élise ne s’appelle pas Félix, ni Terminator, il n’habite pas à Grenoble et n’a ni 2 ans, ni 3 ans.
4. Le chat de Marianne s’appelle Armagnac, il est âgé de 4 ans, mais n’habite ni à Limoges, ni à Tarbes.
Une ville manque dans l'énoncé : Paris.

Résolution

En fait, en un seul passage on remplit les trois pavés de la colonne de gauche. Il ne manque qu'une information entre le nom du chat et son lieu d'habitation. On complète donc avec le quatrième pavé Nom, Ville.

Corrigé

Il y a une erreur dans les âges des chats : il faut intervertir les âges de Félix (2 ans) et Zoulou (5 ans).

Résultat

Betty, Félix, Tarbes, 5 2 ans ; Elise, Zoulou, Paris, 2 5 ans ; Julie, Terminator, Limoges, 3 ans ; Marianne, Armagnac, Grenoble, 4 ans.

12. Hexagone

Enoncé

On constrit le cercle inscrit et le cercle circonscrit à une hexagone régulier dont le coté mesure 2 cm.
Quelle est la surface comprise entre ces deux cercles
Une curiosité : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse#%C3%89nonc%C3%A9_de_la_conjecture
Cette curiosité permet de créer une énigme difficile, mais je ne la retrouve plus !

Résolution

Rayon du cercle circonscrit = 2 ; aire = 4π
Rayon du cercle inscrit = π[(2√(3)/2]² = 3π
Surface comprise entre les deux cercles : 4π - 3π = π

Résultat

La différence est π cm².

13. Bons d'achats (très difficile)

Enoncé

J’ai en main une somme S en bons d’achat dont les valeurs sont des entiers compris entre 1 et 7 et je dois les répartir entre 11 personnes sans qu’aucun ne récupère un total supérieur à 30 . Je ne connais pas le nombre de bons ni leurs valeurs mais je suis certain de pouvoir tout distribuer alors qu’avec une somme S + 1 , j’aurais eu un doute .

Quelle est la valeur de S ?

Résolution

Ce problème est déconcertant. Imaginons que tous les bons ont une valeur de 1, on peut faire tout ce qu'on veut. Il y a surment une contrainte non mentionnée qui pourrait être que les 11 personnes reçoivent la même somme. Si donc au maximume chacune reçoit une valeur de 30, la somme S est 330. Si la somme S est 331 il ne pourra pas tout distribuer. Mais alors pourquoi n'est-ce seulement qu'un doute ?

Corrigé, Solution 62327 Diophante

Etablissons le résultat intermédiaire suivant :
D’un lot de bons d’une valeur totale 58, je peux toujours extraire une partie dont la valeur est comprise au sens large entre 28 et 30.
Considérons un tel lot et commençons par regrouper les bons de 1, 2 et 3 de façon à ne conserver que des bons de valeurs 4 à 7 . Au besoin, on laisse de côté un relicat d’une valeur strictement inférieure à 4. On a donc en main des bons d’achat de valeurs comprises entre 4 et 7 pour un total entre 55 et 58. On réalise 4 tas avec les bons de même valeur. Si l’un des tas a une valeur supérieure à 27 alors on a le total voulu en prenant nos bons dans ce tas.
Plaçons nous dans le cas contraire, les bons portent alors au moins 3 valeurs différentes parmi 4, 5, 6 et 7 . On va construire notre partie en prenant les bons en ordre décroissant de leurs valeurs jusqu’à ce que le total dépasse 27. Si ce total est inférieur à 30, le problème est réglé, plaçons nous dans le cas contraire donc avec une somme comprise entre 31 et 33. En remplaçant le plus gros bon par le plus petit on entre dans la fourchette sauf si le total était 33 et l’écart entre les deux bons échangés égal à 2. Dans ce dernier cas un nouvel échange règle le problème.
Montrons maintenant par récurrence sur n que l’on peut toujours distribuer une somme de 28n + 2 entre n personnes. Le résultat est évident pour n = 1. Supposons le résultat établi au rang n et considérons une somme 28(n + 1) + 2 à répartir entre n + 1 personnes. D’après le préambule on peut donner à une personne une somme comprise entre 28 et 30. Il reste au maximum 28n + 2 à distribuer entre n personnes ce qui est possible d’après l’hypothèse de récurrence.
On peut maintenant répondre au problème qui correspond au cas n = 11. On peut partager une somme 28 × 11 + 2 = 310 entre 11 personnes. D’autre part un total de 311 réparti en 44 bons de valeur 7 et un bon de valeur 3 ne pourra jamais être distribué à ces personnes. On conclut que S = 310.

Résultat

14. ABRA + CADRA + BRA = MAGIE

Enoncé

(à résoudre en excluant le 8). Problème et solution de Daniel

Résolution

Résolution avec un appui à tendance systématique.

Résultat

Voir le résultat ci-dessus.