1003, Récréations Intégrammes, le 13 novembre 2023

01. Le chef de famille

Enoncé

Indices :

1. Le chat de Maurice s'appelle Léo. Il est plus âgé que celui de Paul, dont l'épouse ne se prénomme pas Isabelle.
2. Le Chat de Jessica a six ans, il ne s'appelle pas Cookie.
3. Fernand est le propriétaire de Guizmo, qui est plus vieux que le chat de Maurice.

Résultat

02. Ils sont fous ces Suédois

Enoncé

Dans la famille Andersson, il y a un farfar (grand- père), une farmor (grand-mère), un svärfar (beau- père), une svärmor (belle-mère), une svärdotter (belle-fille), deux dötrar (filles), deux systrar (sœurs), deux söner (fils), un bror (frère), deux fäder (pères), deux mödrar (mères), quatre barn (enfants) et trois barnbarn (petits-enfants). Ils veulent tous monter dans une même volvo.

Leur faudra-t-il plutôt un autobus?

Résolution

On devrait s'en sortir avec 7 personnes :
1 grand-père (GP) et 1 grand-mère (GM) qui ont 1 fils (F) marié avec la bru (B)
Le couple FB ont 3 enfants, 1 fils (fs) et 2 filles (fe1 et fe2)
GP et GM bien identifié ; GP est beau-père de B ; GM est belle-mère de B ; B est belle-fille de GP et GM
Les deux filles sont fe1 et fe2 ; les 2 sœurs sont fe1 et fe2 ; les 2 fils sont F et fs ; fs est frère de fe1 et fe2
Les 2 pères sont GP et F ; les 2 mères sont GM et B ; les 4 enfants sont F, fs, fe1 et fe2 ; les 3 petits enfants sont fs, fe1 et fe2.

Résultat

Est-ce qu'on peut avoir 7 places dans une Volvo ? Je crois que oui.

03. Quelles familles

Enoncé

Quatre familles participent à une fête pour souligner un anniversaire de naissance.

Pères : François, Gilbert, Jean, Roger
Mères : Aline, Claire, Lucie, Véronique
Fils : Benoît, Christian, David, Marc
Filles : Élise, France, Gabrielle, Lorraine

1. Chaque famille est composée de deux enfants : un garçon et une fille.
2. Le conjoint de Claire n'est ni Gilbert, ni Roger.
3. Marc et France sont frère et sœur. Leur père n'est pas François.
4. David est le fils de François. Il n'est ni le fils d'Aline ni de Claire.
5. Élise est la fille d'Aline et n'est pas la sœur de Christian.
6. Roger est le père de Lorraine. Il n'est ni le conjoint d'Aline ni de Lucie.

Pour chaque couple parental, quels sont les noms de leur fils et de leur fille ?

Résolution

Ici, je ne sais pas continuer.
La solution a été trouvée le 10 novembre à partir d'étiquettes nommées.

Après le cours

Il y a un mécanisme à mettre en place après l'introcuction des données primaires, pour transférer les infos d'un tableau à un autre lorqu'on a un Oui et un Non (X) sur la même ligne ou colonne et d'un tableau à un autre.
Exemple : David est le fils de François et France n'est pas la fille de François, donc David et France ne sont pas frères et sœurs.
Tout s'enchaîne de cette façon. On retrouve tous les O roses.

Résultat

Les familles sont : François, Lucie, David, Gabrielle ; Gilbert, Aline, Benoit, Elise ; Jean, Claire, Marc, France ; Roger, Véronique, Christian, Lorraine.

04. Code carré à trois chiffres

Enoncé

Pierre a oublié le code pour rentrer chez lui. Mais il sait, d'une part, que les trois chiffres sont différents, et, d'autre part, que le premier chiffre est le carré du quotient du deuxième chiffre par le troisième.

Quel est le nombre maximum de combinaisons que Pierre devra essayer pour entrer ?

Résolution

les carrés à 1 chiffre sont 4 et 9 ; Les racines sont 2 et 3 ; Le rapport du chiffre des dizaines sur celui des unités est 2 ou 3.
Les combinaisons possibles sont donc : 421 ; 463 ; 931 ; 962.

Résultat

Il y a quatre combinaisons à essayer : 421, 463, 931, 962.

05. Carrés d'Eric

Enoncé

Éric dessine les trois carrés ci-contre sur du carton. L’aire de chacun des petits carrés est de 16 centimètres carrés ; l’aire du grand carré est de 32 centimètres carrés. Il découpe les trois pièces. Il partage chacun des deux petits carrés en deux pièces. Il a maintenant cinq pièces.

Faites le partage des petits carrés et assemblez les cinq pièces en un carré.

Résolution

Le côté du grand carré est √(32) = 4 √(2) ; Le côté du petit carré est √(16) = 4 ;
Le côté du carré à obtenir est √(2x16 + 32) = √(64) = 8 ; La diagonale du grand carré est 4√(2)√(2) = 8
Voir ci-contre l'assemblage possible.

06. Vélos de Yannik

Enoncé

Yannik achète deux bicyclettes pour ses deux fils. L’une coûte YAN écus et l’autre NIK écus, soit un total de 829 écus. Chacun des cinq symboles représente un chiffre différent. Aucun chiffre n’est supérieur à 5 ; A est plus grand que I.

Quel est le coût de chacun des deux vélos ?

Résolution

Aux unités ; N = 5 et K = 4 ou N = 4 et K = 5 ; il n'y a pas de retenue aux dizaines ;
Aux dizaines ; on ne peut pas faire 12 ; pas de retenue aux centaines ;
Aux centaines ; si N = 4 alors Y = 4 (déjà pris) ; si N = 5 alors Y = 4 ;
Aux dizaines avec 3 déjà pris ; il reste A = 2 et I = 0.

Résultat

Les deux vélos valent 325 et 504 écus.

07. Poussins de Roméo

Enoncé

Roméo dessine un H dans l’intention d’y placer sept poussins. Au préalable, il les a numérotés de 3 à 9. Il désire les disposer pour que la somme des numéros soit la même dans chacune des trois rangées formant le H.

Quel poussin devra être placé dans la case centrale si la somme des numéros des rangées est la plus petite possible ?

Résolution

s1 = a + b + c + d + e + f + g = 9.5 - 3 = 42 ; avec s2 la somme de chacune des rangées :
s1 + b + f = 3s2 = b + f + 42 ; s2 = (b + f)/3 + 14 ; Pour s2 mini donc (b + f) mini ; on peut faire (b + f) multiple de 3 = 3 + 6 ou 4 + 5 = 9
s2 = 3 + 14 = 17 ; d = 17 - (b + f) = 17 - 9 = 8 ; 3 + 6 ne marche pas ; il faut prendre 4 et 5 pour b et f ; 3 permutations ; 8 solutions.

Après le cours

On peut aussi raisonner sur : a + b + c + e + f + g = 2s2 ; 2s2 + d = 42 ; d = 42 - 2s2 ; d pair, le plus grand 8 ; s2 = 17.

Résultat

Dans la case centrale (d) on devra placer le poussin n° 8.

08. Vin coupé

Enoncé

Un tonneau contient 64 litres de vin. On remplace 16 litres de vin par 16 litres d’eau. On suppose que les deux liquides se mélangent parfaitement. Maintenant on remplace 16 litres du mélange par 16 litres d’eau. On mélange bien et on recommence : on remplace 16 litres de mélange par 16 litres d’eau.

Finalement, combien de litres de vin pur reste-t-il dans le tonneau ?

Résolution

Dilution 1 : 64 - 16 = 48 ; 48 dans 64 = 3/4 ;
Dilution 2 : Les 3/4 de 48 litres = 36 ; 36 dans 64 = 9/16 ;
Dilution 3 : Les 9/16 de 48 litres = 27 litres ;
On peut aussi faire la somme de ce qui est jeté : 16 + les 3/4 de 16 + les 9/16 de 16 = 16 + 12 + 9 = 37 ; 64 - 37 = 27.

Résultat

Dans le tonneau il reste 27 litres du vin d'origine.

09. Probabilité d'être multiple de 11

Enoncé

En prenant un nombre à deux chiffres qui est le carré d'un entier, quelle est la probabilité qu'en ajoutant un chiffre de 1 à 9 à sa gauche on obtienne un multiple de 11 ?

Résolution

La liste des nombres de 2 chiffres, carrés d'un entier est : 16, 25, 36, 49, 64, 81 ;
Il nous faut compter les multiples de 11 qui se terminent par 16, 35, ..., 81 ; Mais déjà la périodicité pour la répétition du chiffre des unités est de 110 ;
Examinons la répétition du 6, du 5, du 9, du 4 et du 1 ;

Sur les 9 chiffres possibles aux centaines il n'y a qu'une possibilité qui répond à la question pour chacun des 6 carrés.

Après le cours

Pour du on a donc : 16 ou 25 ou 36 ou 49 ou 64 ou 81 ;
100c + du doit être divisible par 11 ou bien, 99 étant divisible par 11, il faut c + du = 11k ;
Avec du = 16 ; c + 16 = 11k ; c + 5 = 11 ; c = 6 ;
Avec du = 25 ; c + 25 = 11k ; c + 3 = 11 ; c = 8 ;
Avec du = 36 ; c + 36 = 11k ; c + 3 = 11 ; c = 8 ;
Avec du = 49 ; c + 49 = 11k ; c + 5 = 11 ; c = 6 ;
Avec du = 64 ; c + 64 = 11k ; c + 9 = 11 ; c = 2 ;
Avec du = 81 ; c + 81 = 11k ; c + 4 = 11 ; c = 7 ; Il n'y a qu'une solution pour chacune des 6 valeurs de du.

La règle des multiles de 11 de Bernard (voir congruence) : 100c + 10d + u est divisible par 11 si |c + u - d| est divisible par 11.
Donc, il nous faut : c = 11k + d - u.

Résultat

La probabilité est de 1/9.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. Hauteurs du triangle

Enoncé

Les côtés d'un triangle mesurent 15 cm, 20 cm et 25 cm. Quelles sont les longueurs des hauteurs de ce triangle ?

Résolution

C'est un triangle typique 3, 4, 5, qui est un triangle rectangle. Il ne manque que la hauteur sur l'hypoténuse qui vaut : (15 x 20)/25 = 12

Résultat

Les longueurs des hauteurs sont : 12, 15 et 20 cm.

12. L'autre face des cubes

Enoncé

Avec cinq cubes identiques on a réalisé l'assemblahge ci-contre. Que peut lire, sur l'autre face de l'assemblage, quelqu'un situé en face de nous ?

Résolution

Le développé assemblé est à droite ci-dessus. Il y a une incohérence sur le E qui est d'applomb à partir du cube de droite, mais devrait être à l'envers par rapport au deuxième cube en partant de la droite.

Résultat

Su la face arrière on lit : FACES avec le A retourné.

13. Jeu en 6 manches

Enoncé

Jeanne, Karim et Laura jouent à un jeu en six manches indépendantes. À chaque manche l'une d'entre elles gagne. Jeanne a une chance sur deux de gagner, et Karim a deux fois plus de chances de gagner que Laura.

Quelle est la probabilité que Jeanne gagne trois manches, Karim deux et Laura une ?

Résolution

D'une manière globale, sans tenir compte des probabilités partielles, il y a 28 configurations possibles de scores :
Jeanne peut gagner a manches de 0 à 6, soit 7 possibilités ; Karim peut gagner b manches, avec un nombre de possibilités nb de 1 à 6 ;
Si a = 0, b de 0 à 6, nb = 7 ; si a = 1, b de 0 à 5, nb = 3 ; ... si a = 5, b = 0 ou 1, nb = 2 ; si a = 6, b = 0, nb = 0 ;
Laura peut gagner c manches avec c = 6 - a - b :

Il n'y a qu'une configuration sur 28 qui correspond aux probabilités partielles, mais comment pondérer pour tenir compte justement des possibilités partielles ?

Solution calendrier dec Vendredi 18

Si on note j, k et l les probabilités de victoire respectives de Jeanne, Karim et Laura à chaque manche, on a : j = 1/2, k = 2xl et j + k + l = 1 (car il y a un et un seul vainqueur à chaque manche). La dernière équation se réécrit 3l = 1/2 . On a alors l = 1/6 et k = 1/3
Maintenant si Jeanne gagne trois manches, Karim deux et Laura une, le résultat dans l'ordre des manches est une permutation de JJJKKL, où la i-ième lettre du mot correspond à la victoire de la manche correspondante. Il y a en tout 6! = 6x5x4x3x2x1 permutations possibles d'un mot à six lettres, mais, parmi celles-ci, permuter les lettres J entre elles ou les lettres K ne change pas le mot obtenu. Comme il y a 3! façons de permuter les J et 2! façons de permuter les K, le nombre total de permutations du mot JJJKKL est 6! /(3!.2! ) = 6x5x4x3x2x1 / 3x2x1x2x1= 60. Enfin la probabilité que le résultat des manches soit, dans l'ordre, JJJKKL est (1/2)³x(1/3)²x(1/6). En multipliant par le nombre de permutations possibles du résultat des manches, on a donc une probabilité de 60 /(2³ x 3² x 6)= 5/36 pour trois victoires de Jeanne, deux victoires de Karim et une victoire de Laura.

Résultat

La probabilité est de 5/36.

14. Le reste de la division

Enoncé

Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de : 78^115+92^23+106^35 (^ veut dire puissance). Indice : La somme fait exactement :
38983363
671231728876124674230729742770
598228902857140757091425662177
669660598223639267840191035654
443493341559072545970659961286
475981425300448134679710943616
774473052277016429845244171536
324511235954249255956770717696
Après, pour le reste de la division par 7, t'as plus qu'à diviser. Non, il y a plus simple.

Résolution

il faut remarquer que 78 = 11.7 + 1 ; 92 = 13.7 + 1 ; 106 = 15.7 + 1 ; Avant l'élèvation à la puissance tous ces termes sont de la forme : 7a + 1 ;
Au carré : (7a + 1)² = 49a² + 14a + 1 ; 49a² + 14a est multiple de 7 ; 49a² + 14a + 1 est encore de la forme 7a + 1 ;
(7a + 1)³ est un multiple de 7 multiplié par (7a + 1) on devrait obtenir un résultat de la forme de 7a + 1. Vérifions par acquis de conscience ;
(7a + 1)³ = 343a³ + 147a² + 21a + 1 ; On a bien la forme de 7a + 1 ;
Quelle que soit la puissance appliquée on obtient toujours un résultat de la forme 7a + 1 ;
Comme il y a trois termes, on aura dans la somme trois fois le terme 1 ; Le reste de la division finale est 3.

Résultat

Le reste de la division de la somme par 7 est 3.