1002, Récréations Dames, le 16 octobre 2023

01. Les glaces après la plage

Enoncé

1. Le garçon roux qui a pris une glace aux cookies n'est pas Jacques,
2. Laurent, qui est blond doré, n'a pas pris de glace à la vanille.

Résolution

Résultat

Didier, Cookies, Roux ; Jacques, Vanille, Auburn ; Laurent, Passion, Blond Doré.

02. L'âge de ces dames

Enoncé

Albert et Bertrand, tous deux amateurs d'énigmes et fins calculateurs, se promènent en discutant lorsqu'ils voient arriver au loin un groupe de 3 personnes en train de cueillir du muguet.
« Tiens, voilà Clémence, Dulcinée et Eugénie. Il faut que je te les présente, dit Albert. Mais, bien qu'elles aient toutes moins de 40 ans comme nous, il est impoli de mentionner l'âge des dames. Cependant, je suis sûr que tu peux les deviner si je te dis que le produit de leurs âges est égal à 3510 et que leur somme est le double de ton âge. »
Bertrand réfléchit quelques instants et dit : « Désolé, mais je ne trouve pas. »
« Ah oui, poursuit Albert, j'avais oublié de préciser que, contrairement à toi, je suis plus âgé que chacune des trois. »
« Ça y est, j'ai trouvé ! » s'écrie alors Bertrand.
Précisons que les âges de ces 5 personnes sont tous des nombres entiers.
Par ailleurs, Albert et Bertrand connaissent leurs âges respectifs. Question : Quel est l'âge des 5 protagonistes de cette histoire ?
On supposera que Clémence est la plus jeune des 3 filles et qu'Eugénie est la plus âgée.

Reprise de cet exercice

Cet exercice a été présenté le 27/3/23 (910.14) et le 2/10/23 (1001.13). Christophe souhaite détailler la démarche.
La démarche est en deux grosses étapes suivant les deux groupes d'informations données.
Premier groupe : produit, somme, âge de Bertrand, âges < 40. Décomposition en facteurs premiers : 3510 = 1.2.3.3.3.5.13

Ici, si Bertrand ne peut pas répondre c'est qu'il arrive sur une double solution. Ou bien il a 29 ans, ou bien il a 25 ans.
Deuxième groupe : Albert > Eugénie > Bertrand. Donc Albert max = 39 ; Eugénie max = 38 ; Bertrand max = 37
Eugénie ne peut pas avoir 39 ans, les possibilités 1 à 4 sont éliminées. Il reste 6, 7 et 8.
A ce point, Christophe a dit que Albert a 27 ou 28 ans (ou supérieur à 28). Les âges d'Albert de 28 ou >28 ne permettent pas de trancher.
Si Bertrand a trouvé c'est que Albert a 27 ans (âge connu de Bertrand), ce qui élimine 6 et 7. Il reste la possibilité 8.

Résultat

Les âges sont ; Albert : 27 ; Bertrand : 25 ; Eugénie : 26 ; Dulcinée : 15 ; Clémence : 9 ans.

03. Basse-cour

Enoncé

Six amis font six affirmations deux à deux. Pour chaque groupe de deux affirmations, l’un dit la vérité et l’autre ment.

• 1a. Andréanne : Je n’aime pas les chiens.
• 1b. William : J’aime les chats.
• 2a. Magalie : J’aime les chiens.
• 2b. Jeanne : Je n’aime pas les lapins.
• 3a. Antoine : J’aime les lapins.
• 3b. Pascal : Je n’aime pas les chats.

1. Si Andréanne dit la vérité, Magalie ment.
2. Si Andréanne ment, Jeanne et William mentent.
3. Si Jeanne dit la vérité, Pascal ment.

Identifiez les trois personnes qui mentent.

Résolution

L'affirmation 2 est incompatible avec le premier couple car Adréane et William mentent tous les deux.
Les affirmations 1 et 3 sont compatibles car Magalie et Jeanne sont bien opposées.

Résultat

Les menteurs sont : William, Magalie et Pascal.

04. Dominos d'Anne

Enoncé

Anne prend cinq dominos : (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3) et (3, 4). Elle veut les placer dans le diagramme pour qu’il y ait 14 points dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale. Trois dominos sont déjà posés.

Complétez le tableau.

Résolution

L'ordre de découverte des dominos est ; 1 : le 2^ème par la diagonale ; 2 : les 5^ème et 6^ème (en bas à gauche) ; 3 : les 3^ème et 4^ème (en haut à droite).

05. Rectangles de Félix

Enoncé

Félix découpe trois rectangles qu’il partage en deux parties. Dans chaque partie, il écrit un chiffre de 1 à 6. Il additionne les deux premiers nombres de deux chiffres et y soustrait le troisième nombre. Le résultat est 20. Le premier nombre est supérieur de 9 au deuxième. Le troisième est supérieur de 15 au deuxième.

Placez les chiffres de 1 à 6 dans chacune des cases.

Résolution

Résultat

35 + 26 - 41 = 20.

Variante

Christophe a proposé en cours qu'on essaye de faire la résolution en n'utilisant que les équations 1 et 3.
1 et 3 nous conduisent à : a = 35. Il nous reste les chiffres 1, 2, 4, 6 pour b et c.
Avec l'équation 3 on a la relation entre b et c : c = b + 15. Construisons b avec 2 chiffres pris dans les 4 restants et calculons c.

Balayage systématique

Les chiffres déjà utilisés sont en rouge. Les chiffres roses sont supérieurs à 6. La seule et unique solution trouvée avec toutes les équations est encadrée.

Recherche plus séduisante

Les unités de b et de c sont espacées de 5. On peut faire 6 (c) - 1 (b) = 5 ou bien 11 (c) - 6 (b) = 5. Pour les dizaines il reste 2 et 4.
Pour les dizaines de b et de c, il faut un espace de 1 sans retenue ou bien un espace de 2 avec retenue. C'est cette dernière qu'il faut utiliser : 4 (c) - 2 (b) = 2.
On a donc : b = 26 et c = 41, en accord avec les autres démarches.

1	5	6
	4
2	3	7

06. Un nœud central

Enoncé

Dans les cellules, disposez chacun des nombres de 1 à 7 pour que la somme soit 12 dans chacune des cinq rangées de trois cellules reliées par une droite.

Résolution

07. A dos d'éléphant

Enoncé

Mowgli se rend de chez lui à la plage à pied. Il revient à dos d’éléphant. Cet aller retour lui prend 40 minutes. S’il fait l’aller-retour à dos d’éléphant, il met 32 minutes.

Combien de temps mettrait-il s’il faisait l’aller retour à pied ?

Résolution

Durée d'un aller simple à dos d'éléphant : 32/2 = 16 minutes.
Durée d'un aller simple à pied : 40 - 16 = 24 minutes.
Durée d'un aller et retour à pied : 24 x 2 = 48 minutes .

Résultat

Aller et retour à pied : 48 minutes.

08. Coloriage

Enoncé

On colorie tous les chiffres de 1 à 9 en rouge, en bleu ou en vert de telle sorte que chaque chiffre rouge soit égal à la somme d'un chiffre bleu et d'un chiffre vert.

Quelle est la quantité maximale de chiffres rouges?

Résolution

Premier chiffre colorié en vert, deuxième en bleu pour obtenir le troisième en rouge. On peut par exemple faire :
4 + 5 = 9 ; 3 + 5 = 8; 2 + 5 = 7 ; 1 + 5 = 6.

Résultat

Il y a au maximum 4 chiffres rouges.

09. Assises sur un banc

Enoncé

Myriam, Lucie, Sophie, Virginie et Emilie sont assises sur un banc. Myriam n'est pas assise à l'extrême droite et Lucie n'est pas assise à l'extrême gauche. Sophie n'est ni à l'extrême gauche, ni à l'extrême droite. Emilie n'est pas assise à côté de Sophie et Sohpie n'est pas assise à côté de Lucie. Virginie est assise à droite de Lucie, mais pas forcément à côté d'elle.

Qui est donc assise à l'extrême droite du banc ?

Résolution

Ordre trouvé : Emilie, Lucie, Myriam, Sophie, Virginie.

Résultat

C'est Virginie qui est à l'extrême droite.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. Boules noires

Enoncé

Une urne contient trois boules blanches, six rouges et quatre noires. Pauline tire au hasard deux boules dans l'urne: elles sont de la même couleur.

Quelle est la probabilité qu'elles soient toutes les deux noires ?

Résolution

1^ère boule noire : 4/13 ; 2^ème boule noire : 3/12 ; (4/13)(3/12) = 1/13.
1^ère boule rouge : 6/13 ; 2^ème boule rouge : 5/12 ; (6/13)(5/12) = 5/26.
1^ère boule blanche : 3/13 ; 2^ème boule blanche : 2/12 ; (3/13)(2/12) = 1/26.
Globalement, pour avoir deux boules de la même couleur : 2/26 + 5/26 + 1/26 = 4/13.

Complément du 22 octobre

En fait il fallait comprendre que Pauline a déjà fait un tirage de deux boules identiques. La probabilité que ces boules soient noires est le rapport des probabilités globales de deux noires sur deux de la même couleur : (1/13)/(4/13) = 1/4.

Résultat

La probabilité est de quatre sur treize pour 2 boules quelconques identiques et de 1/13 pour 2 boules noires. A partir du moment où on a déjà fait un tirage qui a donné deux boules identiques, la probabilité (partielle) d'avoir deux noires est de 1/4.

12. Nombre de diviseurs premiers

Enoncé

Si un certain nombre possède exactement 32 diviseurs positifs distincts, combien au maximum de ces diviseurs sont premiers ?

Résolution

Si je prends 5 nombres premiers, le produit a déjà chacun des 5 nombres premiers comme diviseur.
Il y a ensuite les diviseurs formés par le produit de 2 nombres premiers. Il y a 5!/(2!3!) = 10 combinaisons de 2 parmi 5.
Puis les diviseurs formés par le produit de 3 nombres premiers dont le nombre est 5!/(3!2!) = 10.
Puis les diviseurs issus du produit de 4 nombres premiers. Il y en a 5!/4! = 5
Le total est 5 + 10 + 10 + 5 = 30 auquel il faut ajouter le diviseur 1 et le nombre initial lui-même. Donc 32 diviseurs.

Résultat

5 nombres premiers.

13. Surface du triangle isocèle

Enoncé

Soit ABC un triangle isocèle en A de périmètre 32 cm. Sa hauteur issue de A mesure 8 cm. Quel est son aire ?

Résolution

En partant de 2 fois le triangle rectangle caractéristique 3, 4, 5, le grand côté vaut 8 = 2 x 4, la petit côté est 2 x 3 = 6 et l'hypotènuse vaut 2 x 5 = 10.
Je construis le triangle isocèle avec 2 triangles rectangles 6, 8, 10. La hauteur est 8. Le périmètre est bien : 10 x 2 + 6 x 2 = 32.
La surface est 8 x 6 = 48

Résultat

Aire : 48 cm².

14. L'union fait la force

Enoncé

Dans le nouveau jeu télévisé sur TV Maths, il s'agit de deviner un nombre à 5 chiffres (pouvant éventuellement commencer par 0).
Chacun des 10 candidats fait d'abord une tentative séparément (une chance sur cent mille, ça se tente !)
Voici leurs propositions (dans l'ordre croissant) :

Résolution

La solution est 47228, mais je ne sais pas le démontrer.

Après plusieurs tentatives infructueuses, il y a peut-être une solution.
Globalement il y a 5 chiffres à trouver qui apparaissent 1 fois dans chacune des 10 tentatives, d'où 10 apparitions.
Donc en moyenne, les bons chiffres apparaissent 2 fois pour chaque position.
En réalité, on a :

• En position 1, tous les chiffres sont présents, aucun n'est doublé,
• En position 2, le 7 apparaît 3 fois et le 5 apparaît 2 fois,
• En position 3, le 3 apparaît 3 fois et le 2, 2 fois,
• En position 4, le 2 et le 5 apparaissent chacun 2 fois,
• En position 5, le 4, le 7 et le 8 apparaissent chacun 2 fois.

Statistiquement il y a de fortes chances pour que, en position 2 le bon chiffre soit le 7. Mais que se passe-t-il si on prend le 5 ?
Le fait de choisir 5 en 2 entraine que, en position 3, les chiffres 2 et 3 sont éliminés et il n'y a plus de double en position 3.
Donc démarrons avec le 7 en 2. Cela élimine le 0, le 2 et le 9 en position 1, puis le 3 et 6 en position 3, puis le 4, le 5 et le 6 en position 4, puis le 4, le 6 et le 5 en position 5, et bien sûr tous les autres chiffres de la position 2. La découverte des chiffres des autres positions s'enchaîne naturellement.

Résultat

Le nombre est : 47228.