Au cours de l'été dernier, Louis a compté "abc" grenouilles.
De son côté, Marjolaine a compté un plus grand nombre de grenouilles, soit "cba". Puisque chaque symbole représente un chiffre différent, les
nombres sont donc de trois chiffres. En faisant le total des grenouilles comptées, Louis et Marjolaine ont réalisé que les deux derniers chiffres
de cette somme étaient 3 et 4 dans cet ordre. Voici comment on pourrait écrire cela (voir à droite) :
Au plus, combien Louis et Marjolaine ont-ils compté de grenouilles ensemble ? (Il y a plusieurs solutions, on demande la plus
grande)
Résolution
100a + 10b + c + 100c + 10b + a = ??34
101(a + c) + 20b = ??34
A remarquer que : ?? s'il y a un chiffre des 10 000 c'est qu 'il y a une retenue aux centaines et donc aussi aux
unités.
Louis et Marjolaine ont compté ensemble 1534 grenouilles.
02. Vin aux fruits
Enoncé
Quatre amis produisent du vin à partir de fruits différents. Le signe du zodiaque est unique à chacun.
Amis : Adam, Étienne, Guillaume, Simon
Fruits : abricot, gadelles, orange, pruneaux
Signes du zodiaque : bélier, lion, poisson, taureau
Celui qui produit du vin de gadelles n'est ni Étienne ni Guillaume.
Celui qui est bélier ne produit pas de vin d’abricot.
Étienne n’est pas poisson.
Adam n’est pas lion et ne produit pas de vin d’orange.
Guillaume n’est pas bélier et ne produit pas de vin d’orange.
Celui qui est lion produit du vin de gadelles.
Celui qui produit du vin d’orange n’est pas bélier.
Quel est le signe du zodiaque de celui qui produit du vin d’abricot ?
Résolution
Il y a deux façons de raisonner (Voir aussi 501.08 et 704.08) :
Adam
Etienne
Guillaume
Simon
Bélier
Lion
Poisson
Taureau
Adam
Etienne
Guillaume
Simon
Abricot
-
-
O
-
2 X
-
O
-
2 X
-
O
-
Gadelle
-
1 X
1 X
O
-
6 O
-
-
6 X
1 X
1 X
O
Orange
4 X
O
5 X
-
7 X
-
-
O
4 X
7 O
5 X
-
Pruneau
O
-
-
-
O
-
-
-
O
-
-
-
Bélier
O
-
5 X
-
O
-
5 X
-
Lion
4 X
-
-
O
4 X
-
-
O
Poisson
-
3 X
O
-
-
3 X
O
-
Taureau
-
O
-
-
-
7 O
-
-
Résultat
C'est Guillaume qui prodit du vin d'abricot et Guillaume est Poisson.
03. N pour Nathalie
Enoncé
9
8
8
3
7
4
5
6
4
9
3
6
5
7
Dans les cellules, disposez chacun des nombres de 3 à 9 pour que la somme soit 19 dans chacune des trois
rangées de trois cellules reliées par une droite.
Résolution
J = a + b + c + e + f + g =
19 x 2 = 38
K = a + b + c + d + e + f + g =
3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42
d = K - J =
d = 42 - 38 = 4
d = 4
c + e = 19 - 4 = 15
15 = 9 + 6 = 8 + 7
Donc 2 groupes de solutions
On complète a, b et f, g
Si c ou e = 9, le complément à 19 est 10 :
10 = 7 + 3
Si c ou e = 6, le complément est 13
13 = 8 + 5
Si c ou e = 8, complément = 11
11 = 6 + 5
Si c ou e = 7, complément 12
12 = 3 + 9
a et b peuvent être permutés, de même f et g, ainsi que c et e. Donc avec les deux groupes on a : 24 = 16 solutions.
Résultat
Voir les deux groupes de solutions ci-dessus à droite.
04. Scène monnayable
Enoncé
Écoutons les confidences de Martine et de Réjean :
Réjean : - Moi aussi, j’ai 76 pièces de monnaie.
Martine : - Ça me fait13 $ en pièces de 5¢ et de 25¢.
Réjean : - C’est curieux. J’ai également 13 $, mais en pièces de 10 ¢ et de 25 ¢.
Combien Martine et Réjean ont-ils individuellement de pièces de chaque sorte ?
Résolution
Avec x pièces de 25 centimes et (76 - x) pièces de 5 centimes
25x + (76 - x)5 = 1300
x = 46
Avec x pièces de 25 centimes et (76 - x) pièces de 10 centimes
25x + (76 - x)10 = 1300
x = 36
Résultat
Martine a 46 pièces de 25 et 30 pièces de 5 ; Réjean a 36 pièces de 25 et 40 pièces de 10.
05. Trois chifffres multiples de 9
Enoncé
Combien y a-t-il de nombes à 3 chiffres tels que le nombre à 2 chiffres obtenu en effaçant le chiffre du
milieu soit égal au neuvième du nombre initial ?
Résolution
A partir du nombre abc
100a + 10b + c = 9(10a + c) = 90a + 9c
10a + 10b = 8c
5(a + b) = 4 c
a + b et c sont entiers
a + b = 4
c = 5
Comment faire 4 ?
4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 0 + 4
On a 4 solutions pour abc
135 ; 315 ; 225 ; 405
Résultat
Il y a 4 nombres à 3 chiffres : 135 ; 315 ; 225 ; 405.
06. Le régime de Kangy
Enoncé
Kangy pesait entre 59 kg et 64 kg ; il a perdu entre 6 et 8 kg.
Lequel de ces poids ne peut pas être celui de Kangy ?
A) 59 kg B) 57 kg C) 55 kg D) 52 kg E) aucun de ces quatre poids
Résolution
Testons les quatre hypothèses :
Poids final
+ 6
+ 8
Poids initial
Conclusion
59
65
67
de 65 à 67
Non
57
63
65
de 63 à 65
Possible
55
61
63
de 61 à 63
Possible
52
58
60
de 58 à 60
Possible
Corrigé
Il y a beaucoup plus simple : La plage possible pour le nouveau poids est : 59 - 8 = 51 kg à 64 - 6 = 58 kg. On voit que seul 59 n'est pas
dans cette plage.
Résultat
A : Après son régime Kangy ne peut pas peser 59 kg.
07. Marché aux animaux
Enoncé
Les animaux suivants valent :
vaches, 1000 F
cochons, 300 F
poules, 50 F.
Vous avez 10 000 F et souhaitez acquérir des animaux de toutes catégories pour un nombre total de 100
Qu'achetez-vous?
Résolution
Avec v vaches et c cochons,
Nombre de poules, p = 100 - v - c
1000v + 300c + 50(100 - v - c) = 10 000
950v + 250c = 5000
19v + 5c = 100
c = 20 - 19v/5
v est un multiple de 5
Si v = 0
c = 20
p = 80
Si v = 5
c = 1
p = 94
Si v = 10
c = -18
p = 108
Non
Corrigé
On doit acheter au moins 1 animal de chaque catégorie. Donc il n'y a qu'une seule solution.
Résultat
Il y a deux une solution s - 1 : 0 vache, 20 cochons et 80 poules ; ou 2 : 5 vaches,
1 cochon et 94 poules.
08. Surface d'un triangle dans un carré
Enoncé
Dans le carré, chaque nombre indique la surface du triangle.
Trouver x
Indice : Compter tous les triangles visibles sur la figure.
Corrigé
Les triangles DEC et AFB ont même surface. 6 + x + losange = 3 + 5 + losange ; x = 3 + 5 - 6 = 2.
Résultat
x vaut 2.
09. Produit multiple de 175
Enoncé
Combien y a-t-il de nombre(s) de trois chiffres dont le produit est un multiple de 175 ?
Résolution
On va se limiter aux produits de deux facteurs. 1000/175 = 5 reste 125. Cela nous donne 5 nombres de 3 chiffres multiples de
175.
Chacun de ces 5 nombres peut être multiplié par tous les nombres de 3 chiffres de 100 à 999, c'est à dire 999 - 100 + 1 = 900 nombres.
900 x 5 = 4 500.
Corrigé
Dommage ! La solution du corrigé "Il y a 174 nombres dont le produit des chiffres est un multiple de 175 "
montre que l'énoncé n'est pas assez précis.
Il s'agit donc d'examiner la décomposition en facteurs premiers (175 = 52.7) et utiliser 2 chiffres 5 et 1 chiffre 7.
On a donc : 557, 475, 755 ; ce qui fait trois possibilités.
On peut ensuite tenter d'obtenir 2.5.5.7 ce qui implique d'avoir un des chiffres égal à 10 (nombre de 2 chiffres). Ce n'est pas possible.
On propose enfin un produit nul des chiffres qui serait un multiple de 175 (?).
Ces nombres sont de la forme ab0 ou a0b et c00 avec a, b et c de 1 à 9, d'où 2.81 + 9 = 171 possibilités.
Nombre total des possibilités : 3 + 171 = 174.
Résultat
Il y a 4 500 produits différents. Il y a 174 nombres qui répondent à la question.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
Rosalie est née un jour de la semaine qui a autant de voyelles que de consonnes. Quel est ce jour ?
3 voyelles et 3 consonnes pour le,
Samedi.
b
Amélie dessine deux hexagones de même forme et de même grandeur. Elle les accole par un côté. Combien la nouvelle
figure a-t-elle de côtés ?
10 côtés pour la nouvelle figure.
c
Régine a écrit 6, 7, 8 et 9 au moyen de cure-dents. Quel est le plus grand nombre de trois chiffres qui
nécessitent 16 cure-dents ?
Ce nombre est 994, corrigé : 997. (7 avec 4 cure-dents au lieu de 3 )
d
Distribuez les nombres 3, 5, 7, 8 dans les cercles pour que l’égalité (꙱ + ꙱)/꙱ = ꙱ soit vraie.
(7 + 8)/3 = 5 ou (7 + 8)/5 = 3.
11. Périmètre du losange
Enoncé
Le rapport des longueurs des diagonales d'un losange est de 3/4. Si la somme de ces longueurs est 56 m, quel est le
périmètre de ce losange ?
Résolution
Avec a et b les longueurs de chacune des deux diagonales. a + b = 56 ; b = 4a/3 ; a = 24 ; b = 32 ; a/2 = 12 ; b/2 = 16 ;
a/2 = 4 x 3 ; b/2 = 4 x 4 ; le côté du losange est 4 x 5 = 20 ; le périmètre du losange est 4 x 20 = 80.
Résultat
Périmètre du losange = 80 mètres.
12. Tableau avec somme divisible par 3
Enoncé
On place les nombres entiers de 1 à 6 dans les cases d’un tableau 2x3, un nombre par case.
Combien y a-t-il de façon de les placer de sorte que pour chaque ligne et chaque colonne, la somme des nombres
soit divisible par 3 ?
Résolution
Possibilités pour 3 chiffres de 1 à 6 dont la somme est divisible par 3 : 123, 126, 135, 156, 234, 246, 345, 456
Les associations possibles sont : 123 avec 456 ; 126 avec 345 ; 135 avec 246 et 156 avec 234.
Les quatre solutions possibles.
1
2
3
1
2
6
1
3
5
1
5
6
5
4
6
5
4
3
2
6
4
2
4
3
Corrigé
Inversion des lignes (2), permutation des colonnes (6), cela fait 12 pour chaque et donc en tout 4.12 = 48 solutions.
Résultat
Il y a quatre 48 façons de placer les nombres.
13. L'âge de ces dames
Enoncé
Albert et Bertrand, tous deux amateurs d'énigmes et fins calculateurs, se promènent en discutant lorsqu'ils voient arriver au loin un groupe
de 3 personnes en train de cueillir du muguet.
« Tiens, voilà Clémence, Dulcinée et Eugénie. Il faut que je te les présente, dit Albert. Mais, bien qu'elles aient toutes moins de 40 ans comme
nous, il est impoli de mentionner l'âge des dames. Cependant, je suis sûr que tu peux les deviner si je te dis que le produit de leurs âges est
égal à 3510 et que leur somme est le double de ton âge. »
Bertrand réfléchit quelques instants et dit : « Désolé, mais je ne trouve pas. »
« Ah oui, poursuit Albert, j'avais oublié de préciser que, contrairement à toi, je suis plus âgé que chacune des trois. »
« Ça y est, j'ai trouvé ! » s'écrie alors Bertrand.
Précisons que les âges de ces 5 personnes sont tous des nombres entiers.
Par ailleurs, Albert et Bertrand connaissent leurs âges respectifs.
Question : Quel est l'âge des 5 protagonistes de cette histoire ?
Résolution
Voir 910.14
Résultat
Albert : 27 ans ; Bertrand : 25 ans ; Eugénie : 26 ans ; Dulcinée : 15 ans ; Clémence : 9 ans.
14. Sudoku
Enoncé
Le principe du jeu est de placer une seul fois les nombres de 1 à 9 dans chacune des lignes, colonnes et carrés 3x3 de ce carré 9x9.
Les chiffres en grand sont déjà placés. Les chiffres en petit sont les possibilités restant pour chaque case, à ce stade du jeu.
Le 9 est surligné pour attirer votre attention. Observer les deux lignes du bas. On peut éliminer une possibilité pour le 6.
Laquelle ?
Résolution
En réalité, si on cherche les chiffres admissibles dans chaque cellule vide, on trouve les solutions réelles de la grille de droite.
L'énoncé donne la grille du milieu. Il y a donc un traitement préalable appliqué aux cellules A5, D3, D5, D8, E3, E8, G8, H7.
...
Corrigé
Très succinct : Carré du milieu en bas, ligne 8 Un pb apparait pour les 9.
