Cadrans solaires, Tour d'horizon

Objectif

...
...

Faire un tour d'horizon sur : l'histoire de la mesure du temps, le gnomon, les différents types de cadrans, l'équation du temps, la construction d'un cadran.

L'idée initiale était de montrer comment réaliser un cadran solaire avec le minimum de calculs par une construction géométrique soignée. Puis les réalisations de Zarbula ont été découvertes. On trouve la recette sur Internet.

Site
Le site de Michel Lalos
pdf
Le fichier pdf de la recette, origine : Michel Lalos
Diapo
Le diaporama directement sur le site de Michel Lalos

Voici un exemple de la construction géométrique de Zarbula. C'est spectaculaire et c'est juste.
Très sommairement, globalement (pour plus de détails, aller sur le site de Michel Lalos), pour reconstituer l'objet dans l'espace, il faut plier :

Belle construction, mais on peut faire beaucoup plus simple en admettant d'utiliser la calculette un tout petit peu. Donc l'objectif est révisé : nous ferons une construction mixte basée sur ces principes :

  1. Acquisition expérimentale de la sous-stylaire CSs,
  2. Tracé des points caractéristiques à l'aide de formules simples (C, T, Q, W, H, P, E),
  3. Tracé géométrique des lignes horaires à partir du cadran équatorial.
  4. Précisions sur la dimension et la position de l'aiguille.

Mais commençons par l'histoire et l'aperçu des principaux cadrans.

Sommaire

Temps
Histoire de la mesure du temps
Astronomie
Astronomie et penseurs
Calendrier
Le calendrier autrefois
L'heure
Repères de nos anciens dans le jour
Appareils
Les différents appareils utilisés jadis pour la mesure de l'heure
Cad sol
Histoire et types de cadrans
Histoire
Histoire de la mesure de l'heure avec le soleil
Gnomon
Le gnomon des anciens
Equat
Le cadran équatorial
Pol
Le cadran polaire
Horiz, Vert
Les cadrans horizontaux et verticaux
Montre
Relations entre l'heure solaire et l'heure de la montre
Hiver, Eté
Le méridien de référence, correction n° 1
Eq Temps
Correction n° 2, Equation du temps
Hm = f(Hs)
Relation globale, Heure légale (de la montre) en fonction de l'heure solaire
Tables
Tables de la déclinaison terrestre et de l'Equation du temps
Faire
Construction d'un cadran solaire
Translation
L'homologue horizontal d'un vertical déclinant
Préparatifs
Les outils, les mesures
Sous-style
Recherche de la sous-stylaire
Dessin
Le dessin du cadran, méthode mixte
Maximes
Quelques maximes rencontrées

Histoire de la mesure du temps

La mesure du temps et les besoins de précision évoluent dans le temps suivant un schéma semblable, parallèle, à celui de l’humanité et de ses ressources.

Il y a très longtemps, l’homme vivait de la cueillette et de la chasse. Puis il s’est mis à cultiver et à élever du bétail. L’abondance a entraîné une croissance de la population. Puis, la surpopulation a demandé d’améliorer les méthodes de culture et d’élevage ... etc.

Le calendrier et l’heure ont permis aux sociétés de s’organiser de mieux en mieux. Les marins ont eu besoin de « transporter » l’heure d’un méridien de référence, pour calculer la longitude au cours de leur progression et ne plus perdre de temps à errer dans leur navigation à l’estime. Les scientifiques ont besoin d’analyser des phénomènes de plus en plus rapides. A d’autres périodes, les progrès réalisés dans la mesure du temps leur ouvre la porte vers des champs d’investigation de plus en plus fins ... etc. Les moyens sont en avance ou en retard par rapport au besoin. Où est la limite du besoin ?

Astronomie et penseurs

Les phénomènes naturels, réguliers, les astres sont des repères de choix.

Le calendrier

L'heure

Les appareils utilisés

Les cadrans solaires

Histoire de la mesure de l'heure avec le soleil

Le gnomon des anciens

Il est naturel de planter un bâton dans le sol et de regarder son ombre tourner autour. Sur le schéma de droite, la terre étant vue de face avec le soleil dans le dos, l'aiguille (le bâton) est superposée à l'ombre. A la latitude de 45° Nord, à 14h15 au soleil, l'ombre n'a pas du tout la même position suivant la déclinaison, c'est à dire à différentes dates de l'année. Cela obligerait à avoir des graduations différentes pour chaque jour.

Cependant, en isolant un disque équatorial qu'on fait tourner régulièrement autour de l'axe des pôles, on conçoit que, quelque soit l'orientation du disque face au soleil, les ombres progressent très régulièrement d'heure en heure, de 15 en 15°. C'est le secret : il faut que le bâton, le gnomon, l'aiguille, le style, soit parallèle à l'axe de rotation de la terre.

Le cadran équatorial

...
...
...

On peut installer un cadran équatorial à n'importe quelle latitude. C'est toujours le même dessin. Par contre, l'hiver il faut graduer la face inférieure du cadran, car le soleil est alternativement sur, ou sous, l'équateur.

Le cadran solaire équatorial est un cadran très facile à dessiner avec un trait tous les 15°. Il est plus difficile à positionner, car il faut que la table soit bien parallèle au plan équatorial terrestre.

Plions maintenant le disque équatorial à 90°.

le cadran polaire

...
...

Le pliage donne un cadran solaire polaire. Sa table est parallèle à l'axe des pôles. L'aiguille est évidemment aussi parallèle à l'axe des pôles et elle ne rencontre jamais la table. Pour la graduation ce n'est pas difficile : on prolonge les traits horaires du cadran équatorial, à l'endroit de la pliure par des traits parallèles à l'aiguille, et donc parallèles entre eux.

Cette construction géométrique nous donne une idée de la méthode qu'on utilisera pour construire un cadran solaire horizontal ou vertical, à partir de la graduation du disque équatorial.

Les cadrans horizontaux et verticaux

...
...

Il est naturel de chercher à construire localement, des cadrans au sol ou contre un mur. A condition de bien immobiliser l’aiguille dans sa position parallèle à l’axe des pôles, il est possible maintenant d’incliner le cadran équatorial, dans le sens Sud / Nord, dans le sens Est / Ouest, ou même dans les deux sens. L’image va se déformer, comme celle d’un projecteur face à un écran mobile. Il sera toujours possible de lire l’heure.

le cadran horizontal

A la latitude Φ de 45°, l'aiguille est inclinée à 45° vers le nord.

Le cadran vertical plein sud

A la latitude Φ de 45°, l'aiguille est toujours inclinée à 45° par rapport à la table, mais cette fois, vers le sud. Les méridiens tracés en traits pleins sont ceux des heures solaires paires (8, 10, 12, 14, 16 ...), c'est à dire des longitudes λ : 60, 30, 0, -30, -60° ... Les parallèles sont ceux des latitudes Φ : 0 (équateur) ; 23,44 (tropique) ; 45 ; 66,56 (cercle polaire).

...

Un cadran vertical déclinant

Un mur n'est jamais parfaitement face au sud. Il est plus moins tourné vers l'Est ou l'Ouest. Le cadran de ce mur est appelé déclinant. Toujours pour la latitude Φ de 45°, sur la terre de droite, le cadran est déclinant vers l’ouest. Sa table est exactement face au soleil à 14h30.

Il y a à observer sur la vue de ce cadran déclinant. Pour la déclinaison terrestre de 23,44°, correspondant au solstice d'été le 21 juin, la durée d’éclairage du cadran est diminuée. Par exemple le matin il fait jour, mais le cadran est éclairé par la face arrière. D’où la possibilité de faire un cadran orienté vers le Nord, avec des durées d’utilisation bien sûr très réduites. Le cadran est de profil à 9h28 et à 18h31.

Dessin des différents cadrans

...

On trouve de gauche à droite : l'équatorial, le polaire, l'horizontal, le vertical et le vertical déclinant.
Les couleurs sont utilisées pour la longueur de l'ombre :

Dernière remarque : mis à part le pivotement, il y a une ressemblance entre le cadran vertical et le cadran vertical déclinant.

Relations entre l'heure solaire et l'heure de la montre

Aujourd'hui, les cadrans solaires ne rivaliseront plus jamais avec nos montres à quartz. On en construira un par nostalgie des temps anciens, pour la beauté de l'appareil, et aussi peut-être pour le plaisir de comprendre un petit bout de la mécanique céleste. Donc essayons de le faire le plus juste possible.

On aborde une partie ardue qui fait intervenir la latitude, la longitude, le méridien de référence (heure d'été, heure d'hiver), la déclinaison terrestre, l'équation du temps ... Les gnomonistes ont l'habitude d'utiliser les lettres grecques phi (Φ), lambda (λ) et delta (δ), pour la latitude, la longitude et la déclinaison de la terre.

Heure d'hiver, heure d'été, Méridien de référence, Correction n° 1

Wikipédia nous donne les longitudes de Strasbourg : λ = 7° 45' 08" (Est), et de Brest : λ = 4° 29' 08" (Ouest). Traduites en décimal cela fait, -7,7522° pour Strasbourg et +4,4856° pour Brest. L'écart de longitude est : 4,4856 - (-7,7522) = 12,2378°. Sachant que le soleil parcourt 360° en 24 heures, c'est à dire 15° par heure, lorsqu'il est sur Strasbourg, pour arriver à Brest il faudra attendre : 12,2378/15 = 0,8159 = 48 minutes et 57 secondes.

A l'intérieur d'un pays, pour être sûr de prendre le train à l'heure, on doit tous avoir la même heure, celle d'un méridien pris comme référence. Pour le monde, la référence est Greenwich (ou presque). On peut ainsi calculer l'heure solaire (par rapport à Greenwich), lorsque,

Pour la France, le méridien de référence est 15° à l'Est de Greenwich, pour l'heure d'hiver (- 15°) et 30° à l'Est de Greenwich pour l'heure d'été (- 30°).

Application pratique, pour un cadran solaire à Le Catelet (02)

...

Correction n° 2, Equation du temps

Il faut savoir que le jour solaire n'est pas exactement de 24 heures tous les jours de l'année. Ce n'est pas un caprice. C'est au contraire le résulat de la mécanique céleste rigoureuse. Les deux causes principales de la variation de la durée du jour sont : la déclinaison terrestre et l'orbite légèrement elliptique de la rotation de la terre autour du soleil. La valeur de la correction globale s'appelle Equation du temps.

...
...

Réduction à l'équateur

La ligne verte représente le plan écliptique, ou presque, plan dans lequel évolue la terre pendant une année. Aux différentes dates, le soleil voit l'inclinaison de la terre (sa déclinaison), de différentes manières. La réduction à l'équateur est la différence entre les points A et B. Cette différence est importante le 5 mai. Elle s'annule aux équinoxes et solstices, puis elle change de sens ...

...
...

Equation au centre

Il s'agit simplement de la vitesse de la terre sur son orbite, qui s'accélère au périhélie.

Aperçu des variations de l'équation du temps

Ces courbes prises sur Wikipédia montrent bien les deux composantes (ellipticité et obliquité) de l'équation du temps. De plus, la légende en ordonnées à droite précise clairement : "Soleil en retard" ou "Soleil en avance". Il faut en effet faire très attention dans l'utilisation des tables à propos du signe de E (valeur de l'équation du temps). On trouve dans la littérature les deux cas de figures opposés.

Conclusion, relation globale entre Hs et Hm

Avec λ0 La longitude du méridien de référence (-15° l'hiver et -30° l'été)
λ La longitude du lieu d'observation exprimée en degrés
E La valeur de l'équation du temps le jour de l'observation exprimée en minutes décimales
Hs L'heure solaire exprimée sous forme décimale
Hm L'heure légale (heure de la montre) exprimée sous forme décimale
Relation Hm = Hs + (λ - λ0)/15 + E/60

Tables de la déclinaison terrestre (δ) et de l'équation du temps (E)

Les valeurs sont déterminées suivant le formulaire de Denis Savoie, La Gnomonique, Les Belles Lettres, méthode n° 1, page 53. Ce sont les moyennes des quatre années 2021 à 2024.

Date δ en degrés E en mn Date δ en degrés E en mn Date δ en degrés E en mn Date δ en degrés E en mn
1/1 -22,99 3,50 1/4 4,59 3,91 1/7 23,10 3,87 1/10 -3,24 -10,30
2/1 -22,90 3,97 2/4 4,98 3,62 2/7 23,03 4,06 2/10 -3,63 -10,62
3/1 -22,81 4,44 3/4 5,36 3,32 3/7 22,95 4,24 3/10 -4,01 -10,94
4/1 -22,71 4,89 4/4 5,74 3,03 4/7 22,86 4,42 4/10 -4,40 -11,25
5/1 -22,60 5,34 5/4 6,12 2,74 5/7 22,77 4,60 5/10 -4,78 -11,55
6/1 -22,48 5,78 6/4 6,50 2,46 6/7 22,67 4,77 6/10 -5,17 -11,85
7/1 -22,35 6,22 7/4 6,88 2,18 7/7 22,57 4,93 7/10 -5,55 -12,14
8/1 -22,22 6,65 8/4 7,25 1,90 8/7 22,46 5,09 8/10 -5,93 -12,43
9/1 -22,08 7,06 9/4 7,63 1,62 9/7 22,34 5,24 9/10 -6,31 -12,70
10/1 -21,94 7,47 10/4 8,00 1,35 10/7 22,22 5,38 10/10 -6,69 -12,97
11/1 -21,78 7,87 11/4 8,37 1,09 11/7 22,08 5,52 11/10 -7,07 -13,23
12/1 -21,62 8,26 12/4 8,73 0,83 12/7 21,95 5,65 12/10 -7,45 -13,49
13/1 -21,45 8,64 13/4 9,10 0,57 13/7 21,80 5,77 13/10 -7,82 -13,73
14/1 -21,28 9,01 14/4 9,46 0,32 14/7 21,66 5,89 14/10 -8,19 -13,97
15/1 -21,10 9,36 15/4 9,82 0,08 15/7 21,50 5,99 15/10 -8,56 -14,20
16/1 -20,91 9,71 16/4 10,17 -0,16 16/7 21,34 6,09 16/10 -8,93 -14,42
17/1 -20,72 10,05 17/4 10,52 -0,39 17/7 21,17 6,18 17/10 -9,30 -14,63
18/1 -20,51 10,37 18/4 10,87 -0,62 18/7 21,00 6,26 18/10 -9,66 -14,82
19/1 -20,31 10,68 19/4 11,22 -0,84 19/7 20,82 6,33 19/10 -10,02 -15,01
20/1 -20,09 10,98 20/4 11,57 -1,05 20/7 20,63 6,39 20/10 -10,38 -15,19
21/1 -19,87 11,26 21/4 11,91 -1,26 21/7 20,44 6,44 21/10 -10,74 -15,36
22/1 -19,65 11,54 22/4 12,24 -1,45 22/7 20,24 6,48 22/10 -11,10 -15,51
23/1 -19,41 11,80 23/4 12,58 -1,64 23/7 20,04 6,51 23/10 -11,45 -15,66
24/1 -19,17 12,05 24/4 12,91 -1,83 24/7 19,83 6,54 24/10 -11,80 -15,79
25/1 -18,93 12,28 25/4 13,24 -2,00 25/7 19,62 6,55 25/10 -12,14 -15,91
26/1 -18,68 12,50 26/4 13,56 -2,17 26/7 19,40 6,55 26/10 -12,48 -16,02
27/1 -18,42 12,71 27/4 13,88 -2,33 27/7 19,18 6,55 27/10 -12,82 -16,12
28/1 -18,16 12,91 28/4 14,20 -2,48 28/7 18,95 6,53 28/10 -13,16 -16,21
29/1 -17,89 13,09 29/4 14,51 -2,62 29/7 18,71 6,50 29/10 -13,49 -16,28
30/1 -17,62 13,25 30/4 14,82 -2,75 30/7 18,47 6,47 30/10 -13,82 -16,34
31/1 -17,34 13,41 1/5 15,12 -2,88 31/7 18,23 6,42 31/10 -14,15 -16,39
1/2 -17,06 13,55 2/5 15,42 -2,99 1/8 17,98 6,36 1/11 -14,47 -16,42
2/2 -16,77 13,67 3/5 15,71 -3,10 2/8 17,72 6,30 2/11 -14,79 -16,44
3/2 -16,48 13,79 4/5 16,01 -3,20 3/8 17,46 6,22 3/11 -15,10 -16,45
4/2 -16,18 13,89 5/5 16,29 -3,28 4/8 17,20 6,13 4/11 -15,41 -16,44
5/2 -15,88 13,97 6/5 16,58 -3,36 5/8 16,93 6,03 5/11 -15,72 -16,42
6/2 -15,58 14,05 7/5 16,85 -3,43 6/8 16,66 5,93 6/11 -16,02 -16,38
7/2 -15,27 14,11 8/5 17,13 -3,49 7/8 16,38 5,81 7/11 -16,31 -16,34
8/2 -14,95 14,15 9/5 17,39 -3,54 8/8 16,10 5,68 8/11 -16,61 -16,27
9/2 -14,63 14,18 10/5 17,66 -3,58 9/8 15,81 5,54 9/11 -16,89 -16,20
10/2 -14,31 14,20 11/5 17,92 -3,61 10/8 15,52 5,40 10/11 -17,18 -16,11
11/2 -13,98 14,21 12/5 18,17 -3,63 11/8 15,22 5,24 11/11 -17,45 -16,00
12/2 -13,65 14,20 13/5 18,42 -3,65 12/8 14,93 5,08 12/11 -17,73 -15,88
13/2 -13,31 14,19 14/5 18,66 -3,65 13/8 14,62 4,90 13/11 -17,99 -15,75
14/2 -12,97 14,16 15/5 18,90 -3,64 14/8 14,32 4,72 14/11 -18,26 -15,60
15/2 -12,63 14,11 16/5 19,13 -3,62 15/8 14,01 4,52 15/11 -18,51 -15,44
16/2 -12,29 14,06 17/5 19,36 -3,60 16/8 13,69 4,32 16/11 -18,77 -15,27
17/2 -11,94 13,99 18/5 19,58 -3,56 17/8 13,37 4,11 17/11 -19,01 -15,08
18/2 -11,59 13,91 19/5 19,80 -3,52 18/8 13,05 3,89 18/11 -19,25 -14,87
19/2 -11,23 13,82 20/5 20,01 -3,47 19/8 12,73 3,66 19/11 -19,49 -14,66
20/2 -10,87 13,72 21/5 20,21 -3,40 20/8 12,40 3,43 20/11 -19,72 -14,43
21/2 -10,51 13,61 22/5 20,41 -3,33 21/8 12,07 3,19 21/11 -19,94 -14,18
22/2 -10,15 13,49 23/5 20,61 -3,25 22/8 11,73 2,93 22/11 -20,16 -13,92
23/2 -9,78 13,35 24/5 20,79 -3,16 23/8 11,39 2,68 23/11 -20,37 -13,65
24/2 -9,41 13,21 25/5 20,97 -3,07 24/8 11,05 2,41 24/11 -20,57 -13,37
25/2 -9,04 13,06 26/5 21,15 -2,96 25/8 10,71 2,14 25/11 -20,77 -13,07
26/2 -8,67 12,89 27/5 21,32 -2,85 26/8 10,36 1,86 26/11 -20,96 -12,76
27/2 -8,29 12,72 28/5 21,48 -2,73 27/8 10,01 1,57 27/11 -21,15 -12,44
28/2 -7,92 12,54 29/5 21,64 -2,60 28/8 9,66 1,28 28/11 -21,32 -12,11
1/3 -7,54 12,35 30/5 21,79 -2,46 29/8 9,31 0,98 29/11 -21,50 -11,76
2/3 -7,16 12,15 31/5 21,94 -2,32 30/8 8,95 0,67 30/11 -21,66 -11,41
3/3 -6,77 11,95 1/6 22,07 -2,17 31/8 8,59 0,36 1/12 -21,82 -11,04
4/3 -6,39 11,73 2/6 22,20 -2,01 1/9 8,23 0,05 2/12 -21,97 -10,66
5/3 -6,00 11,51 3/6 22,33 -1,85 2/9 7,86 -0,27 3/12 -22,11 -10,27
6/3 -5,61 11,28 4/6 22,45 -1,68 3/9 7,50 -0,60 4/12 -22,25 -9,87
7/3 -5,23 11,05 5/6 22,56 -1,51 4/9 7,13 -0,92 5/12 -22,38 -9,46
8/3 -4,84 10,81 6/6 22,67 -1,33 5/9 6,76 -1,26 6/12 -22,50 -9,05
9/3 -4,45 10,56 7/6 22,77 -1,14 6/9 6,39 -1,59 7/12 -22,62 -8,62
10/3 -4,05 10,30 8/6 22,86 -0,95 7/9 6,01 -1,93 8/12 -22,73 -8,19
11/3 -3,66 10,04 9/6 22,94 -0,76 8/9 5,64 -2,28 9/12 -22,83 -7,74
12/3 -3,27 9,78 10/6 23,02 -0,56 9/9 5,26 -2,62 10/12 -22,92 -7,29
13/3 -2,87 9,51 11/6 23,09 -0,36 10/9 4,88 -2,97 11/12 -23,01 -6,84
14/3 -2,48 9,24 12/6 23,16 -0,15 11/9 4,50 -3,32 12/12 -23,08 -6,37
15/3 -2,08 8,96 13/6 23,22 0,05 12/9 4,12 -3,68 13/12 -23,15 -5,90
16/3 -1,69 8,68 14/6 23,27 0,26 13/9 3,74 -4,03 14/12 -23,22 -5,43
17/3 -1,29 8,39 15/6 23,31 0,48 14/9 3,36 -4,39 15/12 -23,27 -4,95
18/3 -0,90 8,10 16/6 23,35 0,69 15/9 2,97 -4,74 16/12 -23,32 -4,47
19/3 -0,50 7,81 17/6 23,38 0,91 16/9 2,59 -5,10 17/12 -23,36 -3,98
20/3 -0,11 7,51 18/6 23,41 1,13 17/9 2,20 -5,46 18/12 -23,39 -3,49
21/3 0,29 7,22 19/6 23,42 1,34 18/9 1,82 -5,82 19/12 -23,41 -3,00
22/3 0,68 6,92 20/6 23,44 1,56 19/9 1,43 -6,17 20/12 -23,43 -2,50
23/3 1,08 6,62 21/6 23,44 1,78 20/9 1,04 -6,53 21/12 -23,44 -2,01
24/3 1,47 6,32 22/6 23,44 2,00 21/9 0,65 -6,88 22/12 -23,44 -1,51
25/3 1,86 6,02 23/6 23,43 2,21 22/9 0,26 -7,24 23/12 -23,43 -1,01
26/3 2,26 5,72 24/6 23,41 2,43 23/9 -0,13 -7,59 24/12 -23,42 -0,51
27/3 2,65 5,41 25/6 23,38 2,64 24/9 -0,52 -7,94 25/12 -23,39 -0,02
28/3 3,04 5,11 26/6 23,35 2,85 25/9 -0,90 -8,29 26/12 -23,36 0,48
29/3 3,43 4,81 27/6 23,32 3,06 26/9 -1,29 -8,63 27/12 -23,32 0,97
30/3 3,82 4,51 28/6 23,27 3,27 27/9 -1,68 -8,97 28/12 -23,28 1,46
31/3 4,21 4,21 29/6 23,22 3,47 28/9 -2,07 -9,31 29/12 -23,22 1,95
30/6 23,16 3,67 29/9 -2,46 -9,65 30/12 -23,16 2,43
30/9 -2,85 -9,98 31/12 -23,09 2,91

Construire un cadran solaire

Le but est d'arriver à dessiner un cadran pour un mur vertical déclinant. C'est un exercice de géométrie dans l'espace. On va localiser le cadran équatorial, lequel nous servira de base pour dessiner le cadran vertical déclinant. Tout d'abord on va repérer qu'il existe sur terre un cadran horizontal dont le plan est parallèle à celui du mur sur lequel on veut travailler. Leur dessin sera identique.

Translation de cadrans

...

Au chapitre "Les cadrans solaires, dernière section "Les cadrans horizontaux et verticaux, et dernière sous-section "Dessin des différents cadrans", la ressemblance a été évoquée entre le dessin du vertical et celui du vertical déclinant. En fait maintenant on va comparer les deux cadrans suivants qui sont représentés sur ce dessin :

Les dessins de ces deux cadrans sont parfaitement superposables après une rotation de 20,71°, car leur table est parallèle l'une à l'autre. Qu'on se rassure il n'est pas question de calculer les caractéristiques de ce cadran horizontal. Il faut simplement retenir que ce cadran horizontal a un axe de symétrie vertical. Le but est de retrouver cet axe de symétrie sur le vertical déclinant. Par ailleurs, il y a une ligne très importante : la ligne noire horizontale du cadran horizontal. C'est la ligne par laquelle passe le cadran équatorial qui va nous servir de base. Cette ligne a bien sûr pivoté sur le vertical déclinant. Il faudra qu'on la retrouve.

A partir de maintenant, on se retrousse les manches.

Préparatifs

Ombre d'un point

...

On aura besoin de tracer la progression de l'ombre d'un point au cours d'une journée. Quel doit être ce point ?

Le soleil a un diamètre de 1,4 millions de km. Il est à une distance de 150 millions de km. Il nous apparait sous un angle de un demi degré. Un petit point opaque ne donne pas d'ombre. Une bille de 3,7 mm de diamètre ne donne pas d'ombre à 40 cm de distance. Pour avoir une ombre visible il ne faudrait pas dépasser 20 cm de distance. Sachant que dès qu'on s'éloigne du point H projection orthogonale, la distance de la bille à la table s'allonge, si on choisit de positionner la bille à 20 cm de la table, il faut que la bille ait un diamètre d'au moins 5 mm. On peut aussi utliser un œilleton. Le raisonnement est le même pour la taille du trou.

Matériel

...
...

Rappel de quelques rudiments de trigonométrie

Ce sont des rapports de longueur des côtés du triangle rectangle en relation avec l'angle.

Le sinus de l'angle sin α = AB/BC
Le cosinus de l'angle cos α = AC/BC
La tangente de l'angle tg α = AB/AC
...

Verticalité du mur

On mesure simplement la déviation d du mur en millimètres par rapport à une règle verticale de longueur L. L'angle recherché a une tangente dont la valeur est d/L. Par exemple, si ma règle a une longueur L = 1000 mm et que j'observe une déviation de 12 mm, je fais 12/1000 = 0,012 et avec la touche Arc Tg (ou bien tg-1), j'obtiens 0,69°. A condition que cette inclnaison ne soit pas trop importante on peut l'assimiler à un déplacement du cadran vers une latitude Φ augmentée de 0,69°.

Recherche de la sous-stylaire

La sous-stylaire est le fameux axe de symétrie qui représente le plan du midi du cadran, le moment où le cadran est exactement face au soleil. Pour la trouver nous devons tracer un arc diurne, trajectoire de l'ombre d'un point un jour donné. Notre matériel est prêt.

Méthode des cercles indiens

...

Nos cercles sont tracés. Par un jour ensoleillé, de temps en temps, et si possible au passage des cercles, on fait une croix sur la position de l'ombre et on note l'heure. La mesure est faite à Le Catelet (Φ = 50,000°, λ = -3,245°), le 8 août (δ = 16,10°, E = 5,68 mn). Voici les relevés effectués et les calculs correspondants :

Point A B C D E F Segment F - A E - B D - C Moyenne
Heure de la montre 12:17 12:56 14:32 16:53 18:29 19:08 (Hm1 + Hm2)/2 15:43 15:43 15,43 15:43
Heure solaire 10:25 11:03 12:40 15:00 16:37 17:15 (Hs1 + Hs2)/2 13:50 13:50 13:50 13:50
x -155 -91 -8 80 176 253 x2 - x1 408 267 88
y -221 -178 -130 -103 -95 -95 y2 - y1 126 83 27
Pente (y2 - y1)/(x2 - x1) 0,3088 0,3109 0,3068 0,3088
Angle e en degrés 17,161 17,269 17,057 17,162

La pente calculée est celle des lignes AF, BE et CD. L'angle e est l'angle de ces droites avec l'axe des x. L'axe de symétrie recherché est perpendiculaire. L'angle avec l'axe des y vaut également e. Nous avons la pente de notre sous-stylaire.

Les heures moyennes de celles des extrémités de chaque segment, sont évidemment faites en passant par la forme décimale. C'est l'heure à laquelle le cadran est exactement face au soleil. On pourra affiner cette valeur le jour suivant, après avoir tracé la médiatrice commune.
Rappel : Hm = Hs + (λ - λ0)/15 + E/60 = Hs + (-3,245 + 30)/15 + 5,68/60 = Hs + 1,8783 (ce jour là et à cette longitude).

Il y a une relation qui permet de vérifier la cohérence entre l'angle e et l'heure du midi du cadran.

...
Le décalage entre l'heure du midi du cadran et le midi local est : 13:50 - 12 = 1:50
On transforme ce décalage en angle horaire (l'angle QWE) : 1:50 = 1,8333
A raison de 15° par heure, on calcule l'angle c = QWE c = 15 x 1,8333 = 27,5°
On calcule l'angle f de Michel Lalos, angle WCZ' tg f = cos c/tg Φ
tg f = cos(27,5)/tg(50) = 0,8870/1,1918 tg f = 0,7443
Sur la calculette on fait tg-1 ou Arc tg Le résultat est : f = 36,6600°
On devrait maintenant retrouver la valeur de e, en faisant
cos e = sin Φ /cos f cos e = sin(50)/cos(36,660)
Le résultat est : e = 17,266 Comparé à 17,162
Un dixième de degré d'erreur.

Tracé du cadran

Comme promis au début, nous allons positionner quelques points, puis tracer les lignes horaires par construction géométrique. Les noms des repères sont ceux de Michel Lalos, avec en plus ceux qu'il n'a pas nommés, les points E et Z'.

La dimension de référence est j, celle du choix du segment QC.
Les coordonnées des points sont données par rapport à Q, pris comme origine. On dira par exemple xC pour l'abscisse du point C et yC pour son ordonnée.
Toutes les dimensions sont calculées en fonction de j et des trois angles c, e et f.
Rappel e = QCW est l'inclinaison de la sous-stylaire et f = WCZ' est en rapport avec la position de l'aiguille.

L'aiguille dans l'espace réel

Le plan méridien du cadran a été rabattu pour faciliter le tracé. Dans la réalité, il faut plier autour de EC pour ramener ce plan dans sa position orthogonale à la table. L'aiguille est CZ'. Elle est plantée en C sur la table, sur le cadran. Pour faciliter son positionnement, quelques dimensions sont données plus loin.

Position des points

Abscisse Ordonnée Avec j = 100 ; e = 17,266 et f = 36,660
Racine de l'aiguille C xC = 0 yC = j/cos e xC =0 yC = 104,72
Midi du cadran sur la ligne équatoriale E xE = j sin e yE = j sin e tg e xE = 29,68 yE = 9,23
Racine des lignes horaires équatoriales W xW = j sin e(1 + sin f) yW = j(sin e tg e - sin f cos e) xW = 47,40 yW = -47,79
Midi local sur la ligne équatoriale Q xQ = 0 yQ = 0 xQ = 0 yQ = 0
Projection de l'extrémité de l'aiguille Z' sur la table P xP = HP = j sin e cos2 f yP = j(1/cos e - cos2 f cos e) xP = 19,10 yP = 43,27
Distance de l'extrémité de l'aiguille à la table PZ' = j sin f cos f
corrigé en PZ' = j (signe de e) sin f cos f
PZ' = 47,90
Extrémité de l'aiguille Z' xZ' = HP + PZ' cos e yZ' = yP + PZ' sin e xZ' = 64,84 yZ' = 57,49
Point équatorial à 18 heures solaires T xT = yP/tg e yT = yP xT = 139,21 yT = 43,27

Position de l'aiguille

Segment CZ' PZ' EZ' CP PE QZ' (réél)
Formule j cos f j sin f cos f j sinf j cos2 f j sin2 f j sin f/cos c
Résultat avec j = 100 ; c = 27,5 ; e = 17,266 ; f = 36,660 80,22 47,90 59,71 64,35 35,65 67,31

Tracé des heures

Comme pour le plan méridien, pour faciliter le tracé, le plan équatorial est rabattu. En réalité il faut plier autour de la ligne QE (QT) jusqu'à ramener W sur le point Z'. A remarquer que le plan équatorial est réellement en Z' (non en Z), car l'aiguille est orthogonanale à ce plan. Il faut que EZ'C soit droit. En prenant Z au lieu de Z' cela ne change pas la justesse du cadran, cela change juste la longueur de l'aiguille et donc la longueur de l'ombre. L'utilisation de Z' permet de justifier le nom d'équinoxiale donné à QT. En effet aux équinoxes de printemps et d'automne, δ vaut 0°, la terre est droite, le soleil est pile face à l'équateur. Cela se traduit sur le cadran à des ombres de l'aiguille qui partent de C et s'arrêtent sur cette ligne équatoriale, l'équinoxiale, à condition que l'aiguille ait bien la longueur CZ'.

Pour tracer les heures on commence par le cadran équatorial en WQT. Le midi solaire est sur WQ. On place donc notre rapporteur, centré sur W et avec le zéro sur la ligne WQ. La ligne WT est sur 90°. On marque tous les angles de 15 en 15°. On trace les segments de chaque angle en partant de W et on poursuit jusqu'à la ligne QT.

On s'occupe ensuite des lignes horaires du vrai cadran. Il sufit de tracer les segments qui partent du point C jusqu'à chacun des croisements des heures équatoriales avec le ligne QT. Sur le croquis seul le cadran équatorial a été tracé. Pour voir le tracé complet, il faut remonter au croquis initial qui est le symétrique de celui-ci. Celui-ci est un cadran occidentental (tourné vers l'ouest), celui-là est un cadran oriental (tourné vers l'est). Les angles caractéristiques du cadran du début sont : Φ = 50°, λ = -3,245°, le 8 août (δ = 16,10°, E = 5,68 mn), c = -27,5°, e = -17,266°, f = 36,66°.

Utilisation des angles négatifs

...

Il faut savoir que : sin 30 = 0,5 ; sin -30 = -0,5 ; tg 45 = 1; tg -45 = -1 ; mais, cos 60 = 0,5 et cos -60 = 0,5. En trigonométrie il faut toujours avoir un œil critique, car par exemple avec l'utilisation des cosinus on peut perdre un signe moins.
Lorsqu'on trace un cadran oriental, la ligne CQ est à droite et il y a beaucoup d'abscisses qui sont négatives. Est-ce bien le cas ?
Pour le triangle oriental l'angle f reste positif (dans l'hémisphère Nord), seuls c et e sont négatifs.
En fait le plus simple est de refaire tous les calculs avec les nouveaux signes. On devrait trouver toutes les ordonnées identiques et les abscisses opposées.
Il y a un souci avec Z'. Pour rétablir les bonnes valeurs on doit orienter le segment PZ', en lui donnant le signe de e.

Tracé des heures (bis)

Si on n'est pas trop rebuté par la trigo, il y a une autre façon de faire.

Pour représenter une heure h par le segment WR puis CR, on peut calculer la distance ER.
Midi étant sur WQ, il faut d'abord déterminer la valeur de l'angle g = QWR. On fait d'abord h - 12 puis on multiplie par 15 pour avoir en degrés d'angle.
Par exemple pour h = 16 heures : g = 15(16 - 12) = 60°. Mais si je veux utiliser la tangente de EWR, je dois travailler avec g' = EWR.
Par chance je connais c qui est le décalage angulaire entre le midi du cadran (en WE) et le midi local (en WQ). g' = g - c
Et ER = WE tg g'. Avec WE = EZ' = j sin f, en définitive on a : ER = j sin f tg[15(h - 12) - c]

Heure h 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
g -30 -15 0 15 30 45 60 75 90 105
g' -57,5 -42,5 -27,5 -12,5 2,5 17,5 32,5 47,5 62,5 77,5
ER -93,7 -54,7 -31,1 -13,2 2,6 18,8 38,0 65,2 114,7 269,3

Il ne reste plus qu'à pointer et tirer les traits.

Les maximes

Beaucoup de maximes se rapportent à la mort, la fuite inexorable sans retour, mais il y a aussi les bons vivants et l’amour et, l’insouciance de la jeunesse, la religion et la nécessité de la présence du soleil. Voici un échantillon suivant le classement de Pierre Ricou et Jean-Marie Homet "Cadrans du soleil", éditions Jeanne Laffitte :

La Mort O voyageur voici l'heure, Pense à ta dernière demeure St Siméon de Bressieux 38
Ici tu verras l'heure, Et plus bas ta demeure Saint Savin 38
sur Les temps sont comptés Roybon 38
40 % Nous ne savons ni le jour ni l'heure Paladru 38
des La mort n'a point d'heure fixe Eybens 38
cadrans Vivre n'est pas autre chose que mourir Les Avenières 38
Redoute la dernière Claix 38
Une suffit Arandon 38
La dernière est cachée Névache 05
Tu vois l'heure, tu ignores la tienne La Colle 06
Prends garde à l'une d'elles Val, près de Brignolles 83
Le temps fuit et la mort le suit Le Périer 38
L'heure approche Saint Marcellin 38
L'ombre reviendra, l'homme jamais La Rivière 38
La vie passe comme les fleurs Moirans 38
Le temps passe et toi aussi Virieu 38
Toutes les heures nous blessent, la dernière nous tue Le Villar Saint Pancrace 05
Le Fontenil sous Briançon 05
Maison Claire 05
La Salle 05
La Cluze 05
Névache 05
Les Avenières 38
Elle fuit hélas Plamplinet 05
Elles blessent toutes, c'est la dernière qui tue Ossès 64
...
La Vie C’est l’heure de bien vivre Apprieu 38
C'est l'heure de boire Beaucroissant 38
sur A la bonne heure Villeneuve 04
25 % Autant boire ici qu'ailleurs Saint Didier de la Tour 38
des Ne les compte pas, mets les à profit Saint Hilaire du Rosier 38
cadrans Qu'elle soit aimable celle que tu désires Saint Chaffrey 05
Que l'heure présente vous soit favorable Briançon 05
Voici l'heure d'être heureux Peymeinade 06
...
Le Soleil Le soleil se lève pour toi Cervières 05
Pas de soleil, pas d’ombre Malaucène 84
sur Sans le soleil je suis silencieux Cervières 05
15 % Val des Prés 05
des Le Villard 05
cadrans Si le soleil se tait, je me tais Sospel 06
L'ombre obéit au soleil Sénanque 84
Œuvre du soleil et de l'ombre Grasse 06
Où l'ombre tombe je marque l'heure Bétenoud 05
Bon jour, bon soir Saint Hilaire 38
Saint Quentin 38
...
Le reste Sans le soleil je ne suis rien et toi sans Dieu tu ne peux rien Claix 38
Il est plus tard que jeunesse ne pense Pelvoux 05
sur Gloire à Dieu qui peut tout Sillans 83
20 % Le Christ est avec nous Larche 04
des Le jour chasse le jour Izeaux 38
cadrans Le temps court sans jamais s'arrêter Izeaux 38
Le printemsp ne dure pas toujours Hameau des Glaises 38
Tu les comptes, elles fuient Virieu 38
Nos jours passent comme l'ombre Grasse 04
Une de plus une de moins Annecy 74
Il est plus tard que vous ne croyez Abriès 05
Elle fuit, hélas Plampinet 05
N'en perds aucune Fontienne 04
Après le travail le repos Le Bez 05
C'est l'heure de faire le bien Beauvallon 83
N’importe quelle heure pour les amis St Nicolas xde Macherin 38
A qui sait aimer, les heures sont roses Le Bez 05
Dieu fait toujours de la géométrie Viroflay 78

Maurice Rignon